3-4 分块矩阵在线视频

同学们 大家好

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线性代数先修课

第三章 矩阵

3.4节 分块矩阵

在本节当中

我们将引入分块矩阵的概念

并且介绍几种常用的矩阵分块方式

以及矩阵分块的主要原则

本节的重点将介绍分块矩阵的运算

进一步 再讨论几类特殊的分块矩阵

好 首先我们先来看分块矩阵的概念

在处理有特点的大矩阵时

我们常常需要对矩阵进行分块处理

比如说 上一讲当中

我们在证明两个矩阵的乘积的行列式

等于各自行列式乘积的时候

我们就用到了这样的一个行列式

对于这一个有特点的行列式

我们采用了这样的分块方式

于是将它简记为A,O,-I,B的形式

从而使得表示和计算都得到了简化

那么 在大数据盛行的今天

人们常常要处理一些超大型的矩阵

这些矩阵的行数和列数往往都是上千的

甚至上万 上十万

所以这些超大型矩阵的运算

不适合储存在高速计算机的内存里

如果非要把它们放到计算机的内存里

这就相当于把大象装到冰箱里面一样

是不可能的事情

然而运用分块矩阵

允许计算机处理小块的子矩阵

使得我们处理超大矩阵的运算成为可行的

这就好比我们先把大象切成若干个小块

然后再把每个小块放进冰箱里

下面 来看分块矩阵的定义

对于一个m×n阶的矩阵

如果我们用若干个横线和竖线

把A的行分成p个部分

列分成q个部分

而整个矩阵就分成了p×q个小矩阵

也就是这样的形式

其中每个小矩阵A_ij

我们把它称为矩阵A的子块

同时A也可以看成

由子块A_ij构成的p×q阶的矩阵

于是我们就把这样的矩阵称为分块矩阵

这里需要注意一下

分块矩阵当中的A_ij和之前

我们介绍过的代数余子式是有区别的

代数余子式是行列式

计算之后是等于一个数

而这里的A_ij是一些矩阵

下面 我们来介绍矩阵的常用分块方式

第一种 是把矩阵分成四块

例如A是一个3行4列的矩阵

如果我们用这样的横线和竖线

就可以把矩阵分成四块

从而我们把它记为这样的形式

同样的一个A 我们改变分块方式

用这样的方式来分块

我们也可以分成这样的

一个四块的分块矩阵

同样把它记成这样的形式

这里注意

上面的Aij和下面的Aij

就代表不同的矩阵

另外一类常用的分块方式

我们是按行和按列来分

例如我们按列来分

就是把矩阵按这样的方式

分成所有的列的形式

并且把每一列记为

α1 α2 α3和α4

那么 同样我们也可以按行来分块

对这个矩阵A

我们用这样的横线把矩阵分成了3行

并且分别把它的行记成β1 β2和β3

接下来 我们来讨论矩阵分块的主要原则

我们有以下的三个主要原则

第一 根据矩阵的特点 按需划分

第二 除了乘法的次序以外

能够把子块看成是元素一样的进行运算

第三 保持原有的运算性质

换言之也就是

原来通过元素进行运算的各种性质和结果

当我换成子块进行运算之后

保持原来的运算性质和运算结果

下面 我们来看一个具体的例子

设A和B分别是这样的两个矩阵

请大家观察一下

这两个矩阵有什么样的特点？

那么 对它们进行分块的话

应该分成什么样的块比较合适？

好 也许你已经发现了

对于第一个矩阵A

由于它的右上角有一块整块的0

所以我们可以采用这样的分块方式

使得它的右上角整一块的都是0矩阵

同样对于矩阵B 也是右上角有一块0

因此我们用这样的分块方式

使得右上角的整块都是0矩阵

那么通过元素的计算我们会发现

矩阵A乘以矩阵B等于这样的一个矩阵

那么 这个时候我们同样

对这个乘积矩阵也可以采用

这样的分块方式

使得右上角有一个整块的0矩阵

接下来 我们会用第二个原则

也就是把子块当成元素一样进行运算

来验证这样的分块矩阵的乘积

依然是等于原来元素运算的乘积

所以我们先来介绍一下

分块矩阵的运算

第一种运算 分块矩阵的加法

设分块矩阵A与B的行数和列数均相同

也就是A B是同型矩阵

并且我们还要求

A和B采用同样的分块方法

也就是如果A和B表示成

这样的两个分块矩阵

首先我们要求A的行的分块数和

B的行的分块数完全一样

同时A的列分块数与B的列分块数也一样

进而我们还要求A的子块Aij

与B的子块Bij的行数和列数均相同

也就是Aij和Bij都要求是同型矩阵

也就是说

这里的A11和B11是同型矩阵

A1q和B1q是同型矩阵

以此类推

所有的Aij和Bij都是同型矩阵

由于Aij和Bij均为同型矩阵

所以我们就可以规定

A和B这样两个分块矩阵的相加

就等于它们对应子块分别相加再取矩阵

总结一下就是

分块矩阵的加法 分块需全部相同

下面我们来看分块矩阵的数乘

假设A是这样的一个分块矩阵

而这时我们分块的方式 可以任意

λ是一个数 那么对于λ和A做数乘

就等于A的每个子块A_ij分别做数乘

例如

如果我们有这样的一个分块矩阵

并且设λ=2

则我们去计算2A的时候

就相当于在原来的矩阵基础之上

每个位置都乘以2

这又相当于在A的每个子块上面都做数乘2

下面来看分块矩阵的转置

首先 我们先来看一个例子

设A是这样一个4行3列的矩阵

那么A的转置很容易求

就是这样的一个3行4列的矩阵

如果我们把A分成这样的

一个四块的矩阵

并且把它表示成分块矩阵的形式

其中呢A11 A12

A21和A22分别为

这样的四个矩阵

同样 我们也可以对A转置

进行这样的分块

于是 我们把A的转置也表示成

分块矩阵的形式

其中B11 B12 B21

和B22分别为这样的形式

于是 通过对比我们会发现

A的子块和A转置的子块之间

分别有这样的一个关系

那么总结起来

我们可以得到这样的一个关系

也就是Aij 等于Bji 的转置

相当于分块矩阵的转置等于

每一个子块均进行转置

并且交换子块下边的行坐标和列坐标

那么根据我们这个例子

我们可以对一般的分块矩阵的转置

进行如下的规定

也就是说 A的转置等于这个样子

即A的每一个子块均做转置

且行下标列下标互换

接下来 我们来介绍分块矩阵的乘法

这一部分是我们本讲当中的重点

假设A与B可乘 并且它们的矩阵为C

那么 我们下面给出分块矩阵乘法的可乘条件

第一条 我们先将A，B，C分别表示为

这样的分块矩阵的形式

那么 我们分块矩阵的可乘条件的

第一个要求就是

A的列数等于B的行数

这个是我们一般的矩阵乘法

就已经有要求的

进一步

我们还要求A的列的分法等于

B的行的分法 也就是说

如果A的列n能够拆分为

n1+n2+...+ns的形式

那么对应的 B的行的分法

也要拆分为n1+n2+...+ns的形式

这里的n1+n2+...+ns对应了

n的一个有序的加法拆分

例如 3能够拆分为1+2和2+1

但是在有序的这种原则下

1+2这种拆分不等于2+1这种拆分

接下来 我们再来看乘积矩阵的描述

对于分块矩阵乘积矩阵C

我们先来看C的行

我们要求C的行数及行分块的方法

由A的行数及行分块方法来决定

在这里也就是说

如果A的行数为m

则C的行数也要为m

如果A的行能够拆分为

m1+m2+...+mr 的形式的话

那么C的行的分块也必须拆为 m1 + m2 +...+ mr

再来看C的列

我们要求C的列数及列分块方法

由B的列数及列分块方法来决定

在这里也就是

如果B的列数l能够分拆为

l1+ l2+...+ lt的形式

那么C的列及列分块方式就是

l以及l1+l2+...+lt

我们把上述两个原则统称为

左行右列中同分

具体来说

也就是乘积矩阵的行

由A,B四个下标当中最左边那个下标

以及其分块方式来决定

而乘积矩阵C的列由这四个下标

最右边那个也就是l的拆分方式来决定

那么四个下标当中的中间两个下标以及

它们的分块方式必须完全相同

简称为左行右列中同分

最后来看乘积矩阵的每个子块计算方式

那么根据我们分块矩阵的原则二与原则三

我们可以得到

C的每个子块有这样的计算公式

它和我们元素的计算公式是相同的

我们用一个口诀来说

就是“左行右列中求和”

其中 需要注意的就是

A_ik与B_kj相乘的时候

一定要保持原来乘积的顺序

下面 我们还是来看一个例子

这个例子就是我们之前介绍过的例1

例1 我们给出了

两个矩阵A和B以及它们的乘积

并且我们根据A，B的特点进行了分块

其中A是一个4行3列的矩阵

并且它的行分成了2+2的形式

列分成了1+2的形式

而对于矩阵B

是一个3行5列的矩阵

它的行分成了1+2的形式

而列分成了2+3的形式

我们来检验A的列数以及

列分块方式与B的行数

以及行分块方式完全一样

因此这两个分块矩阵可以相乘

那么 分块矩阵相乘之后

根据左行右列的原则

那么乘积矩阵的分块方式

它的行分块方式就由A的行分块方式

也就是2+2来决定

也就是说我们用这样的一条横线

把乘积矩阵分成这样的两块

同样 乘积矩阵的列分块方式

由B的列分块方式

也就是2+3的形式来分块

所以我们用这样的一条竖线

分成了一个2列和3列的形式

所以乘积矩阵就得到了

这样的一个分块方式

下边我们来逐一地验证

乘积矩阵当中每一个子块的结果

根据左行右列中求和的方式

C11应该等于A1k乘以Bk1

再对k求和

代入具体的子块

那么计算结果就等于这样

于是我们发现

它确实是等于

乘积矩阵最左上角的那一块

同样 我们来算一下C_21

代入具体的矩阵

计算结果是等于这样的一个矩阵

它确实是等于矩阵左下角的这个子块

再来看C12

把具体子块代入之后的计算结果

是一个0矩阵

而确实我们发现

这个分块矩阵的右上角是一个零矩阵

最后再来看C22

计算结果是等于这样的一个矩阵

那么确实也是等于

原矩阵的右下角的这块子块

下面 我们再来看一个例子

我们通过分块矩阵的方式来

对AB=C进行不同的理解

首先 根据左行右列中同分的原则

在保持A的列以及列分块

以及B的行及行分块的同时

我们可以自由地调整A的行的分块方式

以及B的列的分块方式

于是 我们可以对矩阵B进行按列来分块

而不影响分块矩阵的乘积

于是 就可以得到这样的一个等式

再根据分块矩阵的原则二

也就是把子块当作元素一样进行运算

就可以把矩阵A乘到每一个子块里面

得到这样的一个矩阵

另一方面

我们又可以把乘积矩阵C也按列进行分块

对比上下两个式子我们就发现

C的每一列就等于A乘以B的每一列

类似地 我们也可以把矩阵A按行来进行分块

分完以后可以把矩阵B右乘到每一个行上

于是 我们就得到了

C的每一个行就等于A的每一个行乘以矩阵B

类似地

我们也可以把矩阵A按行来进行分块

对矩阵B进行按列来分块

于是 乘积矩阵C呢

就可以看成是一个

列向量乘以一个行向量

它乘积之后就等于一个矩阵

这个矩阵的每一个分量就应该等于Ai乘以Bj

如果按矩阵乘积的方式把它展开

结果就正好等于我们熟悉的

乘积矩阵每个元素的计算公式

换言之 我们用分块矩阵的方式

再一次验证了矩阵乘积当中

每一个分量的计算公式

特别地 如果A乘以B等于零矩阵的时候

根据我们刚才的方式

我们把矩阵B按列分块之后

就可以得到每一个A乘以B_j都等于零向量

说明B的每一列都是

齐次线性方程组Ax=0的一个解

类似地 我们也可以考虑A按行分块

而B作为一个整块的信息

就得到这样的一个式子

从而我们会发现

A的每个行再乘以矩阵B

就等于一个零的行向量

再把这个式子做转置

说明A的每一个行的转置都是

齐次线性方程组B的转置

乘x等于零（向量）的一个解

这样的观点在

我们将来的讨论当中非常有用

它把矩阵乘积与齐次线性方程组的解

联系到了一起

本节的最后 我们来介绍

几类特殊的分块矩阵

第一类 我们称为准对角矩阵

设A为方阵 如果A有这样的分块方式

其中 这里空白的地方表示零矩阵

并且 我们把这个分块矩阵

简记为这样的形式

其中A_11一直到A_nn都是小方阵

则我们就把这样的一个分块矩阵

称为准对角矩阵

准对角阵可以看成是对角矩阵的推广情形

是一类最简单的分块矩阵

例如 这样的一个矩阵

那么根据0的位置

我们作这样的一个划分

得到这样的分块矩阵

就是一个准对角阵

同样 对这样的一个矩阵B

我们根据0的位置作这样的一个划分

从而 它也是一个准对角阵

另外一类特殊的分块矩阵 是准三角阵

首先 我们先来看准上三角阵

设矩阵A的行与列均分为n个子块

并且 分块矩阵当中主对角线下方呢

全为零（矩阵）

对这样的矩阵

我们把它称为准上三角形矩阵

类似地 我们也可以定义准下三角矩阵

同样要求A的行与列 分的子块数相同

并且 右上方全为零（矩阵）

于是 把这样的矩阵称为准下三角矩阵

需要说明的是 一般情形下

准三角形矩阵不一定要求是方阵

比如 在例1当中A和B都不是方阵

但是经过这样的分块划分之后

我们会发现

A和B均可以表示成如下的两个（准）下三角矩阵

那么 如果我们按

分块矩阵的乘积方式计算A乘B

那么 有这样的计算结果

其中 做运算的时候

请大家注意做乘积时的次序

于是我们就发现

乘积矩阵也为准下三角形矩阵

实际上 在可乘的情况下

上面这个式子的推导

对所有分成四块的

准下三角形矩阵均是成立的

我们提出一个问题

对于一般的准三角形矩阵

是否有类似的结论

下面 我们简单讨论一下

准三角形矩阵的运算性质

我们的回答是肯定的

结果用下面的定理来表述

我们说在可运算的条件下

准上三角形矩阵的加法 数乘与乘法

仍然是准上三角形矩阵

同样的结果 对准下三角形矩阵也成立

下面 我们来证明这个结果

第一 先来看加法和数乘

对于有两个相同分块的准三角形矩阵

我们用A和B来表示

很容易验证加法

即子块逐位相加

仍然为准上三角形矩阵

同样 数乘是子块逐块数乘

依然是准上三角形矩阵

接下来 我们来考虑乘法

如果准上三角形矩阵A和B可乘

则A的行列均可拆分为相同的块数

假设可以拆分为n块

下面我们来证明A乘B

一定是等于这样一个形式的

准上三角形矩阵

我们的证明是对分块数n进行归纳

当n=2时 我们可以把子块当作元素

也就是对于这样的两个2阶矩阵进行运算

会发现依然为准上三角形矩阵

我们假设结论对于n-1成立

下面考虑n的情况

矩阵A和矩阵B都分成了n^2块子块

对矩阵A 我们再进行如下的分块

也就是把第一块A_11单独地放在左上角

并且记为这样的一个新的分块矩阵

同样对矩阵B 我们也做相同的分块

并且记为这样一个新的分块（矩阵）

于是 对于这两个新的分块矩阵

又可以把它们看成是2阶矩阵的乘法

计算结果依然是一个准上三角阵

其中右下角的这两个矩阵A''

与B''均为行列均拆分为

n-1个子块的准下三角形矩阵

那么由归纳假设

我们就知道A''乘以B''

就是我们想要的那种形式的

准下三角形矩阵

从而我们就证明了AB依然为

准下三角形矩阵

也就是结论对n也成立

由于三角形矩阵是

特殊的准上三角形矩阵

那么 根据上述的定理

我们也可以得到如下的推论

也就是在可运算的条件下

上三角形矩阵的加法 数乘

与乘积 仍然是上三角形矩阵

同样的结论 对下三角形也成立

本讲小结

在本讲中

我们介绍了矩阵分块的方法

目的是把大型矩阵化为小的子矩阵块

从而简化运算

我们首先给出了

矩阵分块的三条基本原则

第一 按需划分

使得方便操作

第二 分块后

子块可以看成元素一样进行运算

除了乘法的次序以外

第三 子块运算后的结果

与原来按照元素运算后的结果保持相同

其次 我们介绍了

几种常用的矩阵分块方式

又分成四块法 按行分块法与按列分块法

以及按特殊矩阵分块法

如准对角阵 准三角阵等

本节的重点是给出了分块矩阵的运算

包括分块矩阵的加法、数乘、转置

以及分块矩阵的乘法

分块矩阵的乘法

是继行列式的计算之后

本课程中又一个难点

我们分别用“左行右列中同分”

和“左行右列中求和”的口诀

来总结分块矩阵的可乘原则

乘积矩阵的分块方式

以及乘积矩阵的子块计算公式

由于分块方式是根据

具体矩阵的特点按需划分 并无定法

这就要求我们在做分块矩阵乘法的时候

一定要仔细检验可乘条件

分块矩阵及其运算的方法和技巧

好比一根如意金箍棒

可大可小 大可上天 小可入耳

作为初学者

同学们需要做大量练习以增加理解

并不断提高分块矩阵运算的熟练度

将来一定可以运用好这根“如意金箍棒”

本讲的内容就到这儿

我们下节再见