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线性代数先修课
第二章 行列式
2.6节 行列式的展开公式
在本讲当中 我们将首先回顾
将三阶行列式表示成
二阶行列式的展开公式
并进一步
把这一公式推广到一般的情况
也就是 n阶行列式转化为
n-1阶行列式的表达方式
我们把这样的方式称为
行列式按一行或者是一列的展开公式
首先 我们先来回顾一下
三阶行列式的展开公式
在第一章当中
我们曾经把三阶行列式表述为
下述3个二阶行列式的
一个计算组合的形式
对于第1个二阶行列式
它的系数是a_11
而这个二阶行列式
正好等于把a_11所在的行
和列划掉之后
剩下所对应的二阶行列式
那么同样
第2个二阶行列式的系数是a_12
它正好对应了把a_12所在的行和列
划掉之后剩下的一个二阶行列式
再取负号
那么 第3个行列式
它的系数是a_13
它就等于把a_13所在的行和列
划掉之后剩下的二阶行列式
于是
我们就把这3个二阶行列式称为余子式
再把它的符号考虑上
也就是在余子式的前面乘以(-1)的 i+j次方
我们把它记为A_ij
也就把它称为代数余子式
这个式子也称为
三阶行列式按第1行的展开公式
那么 同样的方法
我们也可以得到三阶行列式按第2行
第3行以及第1列
第2列以及第3列的展开公式
那么 在本讲当中
我们将把上述三阶行列式的
展开公式推广到一般的情况
下面 我们来看n阶行列式的展开公式
首先 我们来分析一下
在n阶行列式的完全展开式当中
含有n!项
每一项当中一定都包含
第1行中的1个元素
也就是a_11 a_12一直到a_1n当中的某一个元素
那么 我们第一个问题是
包含a_1k的项有多少个
我们的回答是(n-1)!项
下一步
如果我们用D_1k来表示所有
包含a_1k的(n-1)!项的求和
于是 我们原来的行列式
就可以表示成D_11加D_12一直加到D_1n
因为D_1k的每一项都含有a_1k
所以 我们可以把这个a_1k提出来
把剩下的项记成_1k
于是
我们的行列式就可以进一步地
化成这样的一个表达式
再利用求和符号
我们可以把表达式简记成这个样子
我们第1行的结论还可以推广到其他行
一般地 我们考虑第i行
同样的道理
我们可以把行列式
表示成这样的一个求和号
我们的问题
是这个表达式中的A_ik到底等于多少
下面 我们就来分析一下
首先 包含a_ik的项
一般形式是这样子的
其中 我们记j_i=k
而且 我们用黄色把a_ik
也就是a_{i j_i}这一项把它标记出来
那么 这一项的符号就是这个样子
它与列指标的排列的逆序数有关系
当然 我们也可以把行指标排列的逆序数也加上
因为行指标是按自然序排列的
它的逆序数等于零
由乘法交换律
我们可以把a_ik换到最前面
在不考虑符号的时候
我们就把a_ik提到了最前面
下面 我们来考虑该项的符号
根据我们之前对行列式等价定义的讨论
我们可以知道
这一项的符号
应该由它行指标排列的逆序数
以及列指标排列的逆序数共同决定
也就是等于这样的一个结果
进一步计算 又等于这样的一个结果
其中
指数当中的(i-1)是对行指标的逆序数
计算的结果
而(k-1)是由于原来的列指标的逆序数当中
恰有(k-1)对与k有关的逆序数
我们就可以把它提出来
于是就等于k-1
剩下的与k无关的逆序数
我们依然把它保留
经过计算我们就得到了
它的符号应该是这个样子
由以上推导
我们把D_ik表示成了这样的计算结果
根据我们的符号
我们把ai提出来之后
剩下红色方框的这些项
就等于我们的A_ik
那么 对于A_ik里边的这个(-1)的方幂
提出来之后也就是蓝色方框的这些项
我们把它们记作M_ik
于是 在这样的符号体系下
我们的D_ik
最终就等于a_ik 乘以(-1)的
(i+k)次方 再乘以 M_ik
好 我们的问题就是
从M_ik的表达式当中 你能看出什么
我们发现
它应该表示一个n-1阶的行列式
那么究竟
它又表达哪一个n-1阶的行列式
下面 我们来讨论这个问题
这个是M_ik的表达式
那么 我们会发现
在红色箭头标记的这几个地方
正好缺少了j_i这一项
实际上M_ik正好表示在
原来的这个n阶行列式中
划掉a_ik所在的第i行和第k列之后
剩下的元素按原来的位置排列
所构成的那个n-1阶行列式
于是 我们把它叫做a_ik的余子式
进一步
M_ik再乘以(-1)的i+k次方正好等于我们的A_ik
于是我们把这样的A_ik称为a_ik的代数余子式
把上面的推导总结一下
我们就得到了下面的定理1
n阶行列式D等于
它的任意一行的所有元素
与它们的代数余子式乘积之和
也就是这样的表达式
上式称为n阶行列式按第i行展开的公式
完全类似地
我们也可以得到n阶行列式的列展开公式
也就是这样的一个表达式
那么
我们可以把这两个式子的右边
分别表示为求和号的形式
其中求和号当中的每一项
均为a_ij 乘以A_ij
这样的话便于我们方便地记住这个公式
那么 对于行展开公式和列展开公式
我们观察一下
它的每一项都是a_ij 乘以A_ij
而且是求和号的求和范围不同
行展开公式对列进行求和
而列展开公式对行进行求和
下面利用展开公式
我们再来讨论一下二阶行列式
对于二阶行列式来说
余子式M_11和代数余子式A_11都等于a_22
而M_12等于a_21 A_12等于-a_21
那么我们把这个行列式按第1行展开以后
计算结果就是这个样子
它与用对角线法所得到的结果完全一致
我们再来看一个例子
这是一个五阶行列式
请大家观察一下
这个五阶行列式有什么样的特点
对 我们已经用黄色字迹标记出来了
也就是在它的最后一列
只有一个元素非零
而其他元素都等于零
于是 这就启发我们
对这个行列式
我们首先先把它按最后一列展开
在展开过程中
只有第二位置上的元素非零
于是 我们去计算2这个元素
所对应的代数余子式时
就将它所在的行和列划掉
再乘以(-1)^(2+5)就可以起到
降阶的作用
于是 我们就把一个五阶行列式
降成了一个四阶行列式
那么 对于这个四阶行列式
我们再进一步地观察
会发现在它的第1列当中
除了一个元素以外
其他都等于零
于是 我们进一步
把四阶行列式按第一列展开
其中 只有一项是非零的
那么 它所对应的代数余子式就应该是
把它所在的行和列划掉之后
剩下的这个三阶行列式
再进一步
对于这个三阶行列式
我们就可以采用我们过去
常用的初等变换的方法
在这些位置上化零
那么 对这个三阶行列式
我们又发现了它的第1列
除了第一位置以外其他都等于零
于是 再把这个三阶行列式按第一列展开
就得到了这样的二阶行列式
对于二阶行列式
计算已经很简单
对角线法则计算以后
整个行列式结果就等于-1080
回顾一下我们整个的计算过程
我们分别经历了展开 打洞 降阶
再展开 再打洞 再降阶的过程
最终 可以把一个高阶行列式
逐渐地降阶 起到简化计算的作用
下面我们再来看例4
这是一个三阶的含参的行列式
我们把这个行列式按第二行展开
有这样的一个公式
我们的问题是
请大家思考
当我把这个展开式当中的x y z
换成新的参数p q r之后
它所得到的新的表达式
应该表示哪个行列式的展开式?
这个问题很简单
它就应该等于把第2行直接换成
p q r之后对应的行列式展开公式
进一步 我们考虑n阶的情况
如果i≠k
下面的这个式子应该表示的
是哪个行列式的展开公式
根据代数余子式提供的信息
它应该等于这样的一个行列式
按第k行展开之后的一个公式
那么 这个行列式相当于
把原来的行列式D的第k行
换成第i行的元素
然后再把新的行列式
按第k行展开之后得到的式子
可是
由于它的第i行和第k行两行是相同的
所以 这个新的行列式
计算结果应该是等于0的
从而 我们就得到了这样的结果
当我们再用sigma
求和号的方式表达出来以后
我们就会发现
在i≠k的时候
a_ij 乘以A_kj再对j求和之后
计算结果统统都等于零
于是 我们就得到了如下的定理2
n阶行列式D的某一行的元素
与另一行对应代数余子式的乘积之和
等于零
也就是i≠k时
我们刚才这个表达式
同样的道理
由行列对称性
对列来说也有类似的结论
也就是这样的一个表达式
我们把定理2称为"替换以后的展开公式"
进一步我们可以把
定理1和定理2的结论统一地写到一块
得到这样的一个结论
也就是当i=k时候
就是我们按第i行的展开公式
当i≠k的时候
就是我们替换后的行展开公式
同样的道理
对列来说 当j=k的时候
就是我们行列式按第j列的展开公式
当j≠k的时候
就是我们替换以后的
行列式的展开公式
进一步
如果我们引入Kronecker符号
也就是这样的δ_ik的符号以后
那么我们就可以把上述公式
统一地书写为如下形式
也就是这个样子
那么 这个公式简洁明了
涵盖了我们本节介绍的所用内容
本讲小结
在本讲中
我们在二阶与三阶行列式之间的关系的启发下
讨论了用n-1阶行列式
表示n阶行列式的方法
即行列式按一行或者是
一列的展开公式
有了展开公式后
利用初等变换 打洞化零
再加上展开公式
降阶这一手段
将成为我们计算行列式最常用的方法
最后 我们讨论了替换以后的展开公式
利用Kronecker符号
可给出了统一简洁的公式
我们本讲的内容就到这儿
下讲 再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
