2-6 行列式的展开公式在线视频

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线性代数先修课

第二章 行列式

2.6节 行列式的展开公式

在本讲当中 我们将首先回顾

将三阶行列式表示成

二阶行列式的展开公式

并进一步

把这一公式推广到一般的情况

也就是 n阶行列式转化为

n-1阶行列式的表达方式

我们把这样的方式称为

行列式按一行或者是一列的展开公式

首先 我们先来回顾一下

三阶行列式的展开公式

在第一章当中

我们曾经把三阶行列式表述为

下述3个二阶行列式的

一个计算组合的形式

对于第1个二阶行列式

它的系数是a_11

而这个二阶行列式

正好等于把a_11所在的行

和列划掉之后

剩下所对应的二阶行列式

那么同样

第2个二阶行列式的系数是a_12

它正好对应了把a_12所在的行和列

划掉之后剩下的一个二阶行列式

再取负号

那么 第3个行列式

它的系数是a_13

它就等于把a_13所在的行和列

划掉之后剩下的二阶行列式

于是

我们就把这3个二阶行列式称为余子式

再把它的符号考虑上

也就是在余子式的前面乘以(-1)的 i+j次方

我们把它记为A_ij

也就把它称为代数余子式

这个式子也称为

三阶行列式按第1行的展开公式

那么 同样的方法

我们也可以得到三阶行列式按第2行

第3行以及第1列

第2列以及第3列的展开公式

那么 在本讲当中

我们将把上述三阶行列式的

展开公式推广到一般的情况

下面 我们来看n阶行列式的展开公式

首先 我们来分析一下

在n阶行列式的完全展开式当中

含有n!项

每一项当中一定都包含

第1行中的1个元素

也就是a_11 a_12一直到a_1n当中的某一个元素

那么 我们第一个问题是

包含a_1k的项有多少个

我们的回答是(n-1)!项

下一步

如果我们用D_1k来表示所有

包含a_1k的(n-1)!项的求和

于是 我们原来的行列式

就可以表示成D_11加D_12一直加到D_1n

因为D_1k的每一项都含有a_1k

所以 我们可以把这个a_1k提出来

把剩下的项记成_1k

于是

我们的行列式就可以进一步地

化成这样的一个表达式

再利用求和符号

我们可以把表达式简记成这个样子

我们第1行的结论还可以推广到其他行

一般地 我们考虑第i行

同样的道理

我们可以把行列式

表示成这样的一个求和号

我们的问题

是这个表达式中的A_ik到底等于多少

下面 我们就来分析一下

首先 包含a_ik的项

一般形式是这样子的

其中 我们记j_i=k

而且 我们用黄色把a_ik

也就是a_{i j_i}这一项把它标记出来

那么 这一项的符号就是这个样子

它与列指标的排列的逆序数有关系

当然 我们也可以把行指标排列的逆序数也加上

因为行指标是按自然序排列的

它的逆序数等于零

由乘法交换律

我们可以把a_ik换到最前面

在不考虑符号的时候

我们就把a_ik提到了最前面

下面 我们来考虑该项的符号

根据我们之前对行列式等价定义的讨论

我们可以知道

这一项的符号

应该由它行指标排列的逆序数

以及列指标排列的逆序数共同决定

也就是等于这样的一个结果

进一步计算 又等于这样的一个结果

其中

指数当中的(i-1)是对行指标的逆序数

计算的结果

而(k-1)是由于原来的列指标的逆序数当中

恰有(k-1)对与k有关的逆序数

我们就可以把它提出来

于是就等于k-1

剩下的与k无关的逆序数

我们依然把它保留

经过计算我们就得到了

它的符号应该是这个样子

由以上推导

我们把D_ik表示成了这样的计算结果

根据我们的符号

我们把ai提出来之后

剩下红色方框的这些项

就等于我们的A_ik

那么 对于A_ik里边的这个(-1)的方幂

提出来之后也就是蓝色方框的这些项

我们把它们记作M_ik

于是 在这样的符号体系下

我们的D_ik

最终就等于a_ik 乘以(-1)的

(i+k)次方 再乘以 M_ik

好 我们的问题就是

从M_ik的表达式当中 你能看出什么

我们发现

它应该表示一个n-1阶的行列式

那么究竟

它又表达哪一个n-1阶的行列式

下面 我们来讨论这个问题

这个是M_ik的表达式

那么 我们会发现

在红色箭头标记的这几个地方

正好缺少了j_i这一项

实际上M_ik正好表示在

原来的这个n阶行列式中

划掉a_ik所在的第i行和第k列之后

剩下的元素按原来的位置排列

所构成的那个n-1阶行列式

于是 我们把它叫做a_ik的余子式

进一步

M_ik再乘以(-1)的i+k次方正好等于我们的A_ik

于是我们把这样的A_ik称为a_ik的代数余子式

把上面的推导总结一下

我们就得到了下面的定理1

n阶行列式D等于

它的任意一行的所有元素

与它们的代数余子式乘积之和

也就是这样的表达式

上式称为n阶行列式按第i行展开的公式

完全类似地

我们也可以得到n阶行列式的列展开公式

也就是这样的一个表达式

那么

我们可以把这两个式子的右边

分别表示为求和号的形式

其中求和号当中的每一项

均为a_ij 乘以A_ij

这样的话便于我们方便地记住这个公式

那么 对于行展开公式和列展开公式

我们观察一下

它的每一项都是a_ij 乘以A_ij

而且是求和号的求和范围不同

行展开公式对列进行求和

而列展开公式对行进行求和

下面利用展开公式

我们再来讨论一下二阶行列式

对于二阶行列式来说

余子式M_11和代数余子式A_11都等于a_22

而M_12等于a_21 A_12等于-a_21

那么我们把这个行列式按第1行展开以后

计算结果就是这个样子

它与用对角线法所得到的结果完全一致

我们再来看一个例子

这是一个五阶行列式

请大家观察一下

这个五阶行列式有什么样的特点

对 我们已经用黄色字迹标记出来了

也就是在它的最后一列

只有一个元素非零

而其他元素都等于零

于是 这就启发我们

对这个行列式

我们首先先把它按最后一列展开

在展开过程中

只有第二位置上的元素非零

于是 我们去计算2这个元素

所对应的代数余子式时

就将它所在的行和列划掉

再乘以(-1)^(2+5)就可以起到

降阶的作用

于是 我们就把一个五阶行列式

降成了一个四阶行列式

那么 对于这个四阶行列式

我们再进一步地观察

会发现在它的第1列当中

除了一个元素以外

其他都等于零

于是 我们进一步

把四阶行列式按第一列展开

其中 只有一项是非零的

那么 它所对应的代数余子式就应该是

把它所在的行和列划掉之后

剩下的这个三阶行列式

再进一步

对于这个三阶行列式

我们就可以采用我们过去

常用的初等变换的方法

在这些位置上化零

那么 对这个三阶行列式

我们又发现了它的第1列

除了第一位置以外其他都等于零

于是 再把这个三阶行列式按第一列展开

就得到了这样的二阶行列式

对于二阶行列式

计算已经很简单

对角线法则计算以后

整个行列式结果就等于-1080

回顾一下我们整个的计算过程

我们分别经历了展开 打洞 降阶

再展开 再打洞 再降阶的过程

最终 可以把一个高阶行列式

逐渐地降阶 起到简化计算的作用

下面我们再来看例4

这是一个三阶的含参的行列式

我们把这个行列式按第二行展开

有这样的一个公式

我们的问题是

请大家思考

当我把这个展开式当中的x y z

换成新的参数p q r之后

它所得到的新的表达式

应该表示哪个行列式的展开式?

这个问题很简单

它就应该等于把第2行直接换成

p q r之后对应的行列式展开公式

进一步 我们考虑n阶的情况

如果i≠k

下面的这个式子应该表示的

是哪个行列式的展开公式

根据代数余子式提供的信息

它应该等于这样的一个行列式

按第k行展开之后的一个公式

那么 这个行列式相当于

把原来的行列式D的第k行

换成第i行的元素

然后再把新的行列式

按第k行展开之后得到的式子

可是

由于它的第i行和第k行两行是相同的

所以 这个新的行列式

计算结果应该是等于0的

从而 我们就得到了这样的结果

当我们再用sigma

求和号的方式表达出来以后

我们就会发现

在i≠k的时候

a_ij 乘以A_kj再对j求和之后

计算结果统统都等于零

于是 我们就得到了如下的定理2

n阶行列式D的某一行的元素

与另一行对应代数余子式的乘积之和

等于零

也就是i≠k时

我们刚才这个表达式

同样的道理

由行列对称性

对列来说也有类似的结论

也就是这样的一个表达式

我们把定理2称为"替换以后的展开公式"

进一步我们可以把

定理1和定理2的结论统一地写到一块

得到这样的一个结论

也就是当i=k时候

就是我们按第i行的展开公式

当i≠k的时候

就是我们替换后的行展开公式

同样的道理

对列来说 当j=k的时候

就是我们行列式按第j列的展开公式

当j≠k的时候

就是我们替换以后的

行列式的展开公式

进一步

如果我们引入Kronecker符号

也就是这样的δ_ik的符号以后

那么我们就可以把上述公式

统一地书写为如下形式

也就是这个样子

那么 这个公式简洁明了

涵盖了我们本节介绍的所用内容

本讲小结

在本讲中

我们在二阶与三阶行列式之间的关系的启发下

讨论了用n-1阶行列式

表示n阶行列式的方法

即行列式按一行或者是

一列的展开公式

有了展开公式后

利用初等变换 打洞化零

再加上展开公式

降阶这一手段

将成为我们计算行列式最常用的方法

最后 我们讨论了替换以后的展开公式

利用Kronecker符号

可给出了统一简洁的公式

我们本讲的内容就到这儿

下讲 再见