当前课程知识点：简明线性代数 > 第5章 线性方程组的解理论 > 5-1 齐次线性方程组的解理论 > 5-1 齐次线性方程组的解理论
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线性代数先修课
第五章
线性方程组的解理论
5.1节
齐次线性方程组的解理论
在本讲当中
我们将用矩阵秩的概念
讨论齐次线性方程组的
解的判定法则
进一步我们将分析
齐次线性方程组
有无穷解时
它的解集合
也即解空间与基础解系
最后我们将给出
齐次线性方程组
求解的统一步骤
在本章当中
我们将进一步讨论
线性方程组相关的
更多的问题
那么首先我们
先来回顾一下
之前介绍过的
线性方程组的
不同的表出形式
第一种表出形式
我们成为普通形式
也就是对于
这样一个n个未知数
m个方程的线性方程组
我们把所有的方程
列出来之后呢
就是这样的一个形式
第二种形式
就是把系数
表示为系数矩阵
未知量表示为
一个未知量的向量
而常数项表示为
一个常数向量b
从而有这样
一个矩阵形式
其中
矩阵A是一个
m×n阶的矩阵
而位置向量X
是一个n维的列向量
而常数向量b
是一个m维的列向量
第三种表出形式
我们称为向量形式
也即把矩阵A按列的
方式表出以后
那么方程组就可以写为
矩阵A的列向量的
线性组合等于
b的形式
下面我们再来回顾一下
线性方程组的
几个基本问题
第一个问题
即解的存在性
第二个问题
即解的个数问题
也就是在有解的时候
方程组是有唯一解呢
还是有不唯一的解
第三个基本问题
是解的求解问题
也就是在有解的时候
能否求出所有的解
那么对于前三个问题
我们在第一章当中的时候
已经用Gauss消元法
给出了回答
接下来
对于线性方程组
第四个基本问题
也就是方程组解
不唯一的时候
它的解集合的
结构是如何的
第五个问题
也就是在方程组
无解的时候
能否给出一个
求近似解的方法
第六个基本问题
也就是线性方程组
对应的几何意义
是什么样的
在本章当中
我们将讨论
问题四和问题六
下面我们来看
本章问题的引入
首先我们先来看
线性方程组的
以下四个基本问题
那么在第一章当中
我们已经讨论过
Gauss消元法
只能对于具体的
每个系数矩阵展开计算
那么我们的问题就是
能否对前两个问题
给出更加本质
或者更加简单的回答
那么在我们第四章当中
曾经介绍过
秩是向量组和
矩阵的数量本质
而线性方程组
与向量组的线性相关性
以及矩阵都有密切的联系
这就启发我们
用秩的观点
来重新考虑
线性方程组的前两个问题
此外
利用向量空间的理论
我们还会详细分析
线性方程组的解的结构
即给出问题四的回答
并且进一步
我们还将给出
线性方程组
清晰明确的
一般的求解方法
也就是对问题三
给出更明确的解答步骤
那么我们将按
齐次线性方程组和
非齐次线性方程组
分别展开讨论
第一点
齐次线性方程组
解的判定法则
对于齐次线性方程组来说
它一定有解
也就是一定有零解
下面呢
我们将用矩阵形式
和向量形式来
表示线性方程组
并加以考虑
设A是一个
m×n阶的矩阵
它作为线性方程组的
系数矩阵
每个分量用aij表示
并且将A的
第j列表示为αj的形式
于是
齐次线性方程组
AX等于0有非零解
就当且仅当 表出来以后
这个向量形式有非零解
那么利用向量组
线性相关的定义
我们就知道
这又当且仅当
A的列向量组
α1 α2…αn
n个列向量线性相关
利用秩的理论
它就当且仅当
这些列向量组的秩小于n
也就是
A不是一个列满秩的矩阵
从而我们可以用
系数矩阵秩的关系
给出线性方程组
解的判定法则
即 齐次线性方程组
AX等0有非零解
也即有无穷多解
当且仅当A的秩小于n
也即A是
一个非列满秩的矩阵
反之 齐次线性方程组
AX=0 只有零解
也即有唯一解
当且仅当A的秩等于n
也即系数矩阵A
是一个列满秩的矩阵
第二点
齐次线性方程组的解空间
与基础解系
下面 我们对齐次线性方程组
讨论问题四
也即在齐次线性方程组
有非零解的情况下
它的解集合
有什么样的性质
设齐次线性方程组的
系数矩阵为A
它是一个
m×n阶的矩阵
并且记齐次线性方程组的
解集合为N(A)
下面我们将来讨论
N(A)的性质
第一点
对于N(A)里的
每一个元素
都为齐次线性方程组
里的一个解
它是一个n维向量
因此
解集合N(A)构成了
n维向量空间
R^n中的一个子集合
第二点观察
假设η1 η2是
解集合中的两个元素
也即η1 η2是
齐次线性方程组
AX等0的两个解
那么把它们代到方程组里
就知道它们
左乘以A以后
都等于零向量
把这两个式子相加
并且把左边的
A提到括号外边
就能得到η1加η2
也是齐次线性方程组的一个解
从而η1加η2
依然属于解集合N(A)
简言之
解集合N(A)对于
向量的加法是封闭的
第三点观察
假设解集合当中
有一个元素
也就是η是
方程组的一个解
对于任何实数k
我们知道
kη代到原方程里边
我们可以把
k作为系数提出来
由于η是原方程的一个解
因此它等于k乘以0
从而也等于0
也就是说
对于任何实数k
如果η是
解集合里边的一个元素
那么kη也是
解集合当中的元素
简言之
解集合N(A)
对于向量的数乘也是封闭的
那么 我们在4.1节当中
曾经定义过
R^n当中对于
加法和数乘
都封闭的子集合
就称为R^n的
一个子空间
那么对于任何
一个子空间来说
它的一个极大无关组
就构成了子空间的一组基
而子空间的数量本质
也就是极大无关组的
个数就对应了
子空间的维数
于是根据刚才的讨论
我们可以给出如下的定理
即定理一
齐次线性方程组
AX等0的解集合
N(A)是Rn当中的子空间
从而我们可以
给出如下的定义
即解集合N(A)
称为齐次线性方程组
AX等0的解空间
而N(A)的一组基
称为齐次线性方程组
AX等0的一组基础解系
具体地
假设η1 η2…ηt
是一组基础解系
则齐次线性方程组的
任何一个解
均可以表为
基础解系的线性组合
也即这样的一个形式
其中
c1 c2…ct可为任意实数
上述形式的解
就称为齐次线性方程组
AX等0的一般解
或者是通解
于是
有上面的讨论我们就知道
齐次线性方程组的求解问题
关键就是求出通解
而求通解的关键问题
就是求出基础解系
然而我们知道
基础解系并不是唯一的
但其包含的向量个数
是确定的
于是
齐次线性方程组的
另一个关键问题
就是决定N(A)的维数
下面我们就给出
关于N(A)的维数的结论
即定理二
设A是一个
m×n型的矩阵
并且
设A的秩为r
则齐次线性方程组
AX等0的基础解系
含有n减r个解向量
即N(A)的维数等于n减r
对于定理二
我们作出如下的分析
要证明N(A)的
维数等于n-r
第一步就要求出
n-r个线性无关的解
第二步再验证
任意解均可由
这n-r个解线性表出
于是
这n-r个解
就构成了N(A)的
一个极大无关组
也即N(A)的一组基
当然与此同时 我们还希望
在证明定理的同时
能够给出
求一组较简单的
基础解系的方法
下面
我们就来证明定理二
在第一章当中
我们已经讨论了
用Gauss消元法
求解线性方程组的方法
下面
把这一个过程
再明确化和严格化
首先
Gauss消元法
把系数矩阵A
化为简化的阶梯型矩阵
在这里为了方便表示
我们不妨假设
阶梯型矩阵C的主元素
位于前r列
也即C是
这样子的一个矩阵
其中
主元素位于它的第1列
第2列一直到第r列
那么根据Gauss消元法
我们知道简化的阶梯阵
就可以给出
线性方程组的一组解
即这个样子
由于主元素在前r列
因此这个解当中
x1 x2…xr对应了主变量
而非主元素所在的列
也即第r+1列
一直到第n列
他所在列对应的未知量
也就是x(r+1)
一直到xn就是自由变量
那么我们知道
主变量可以表为
自由变量的线性组合
而这些组合的系数
就有简化阶梯型矩阵
右上角的这些元素
取上负号以后来得到
进一步 上述解也可以
表示为这个样子
其中
我们让k(r+1) k(r+2)…kn
为n-r个实数
再进一步
我们可以把这个式子
表示为向量相加的形式
也即这个样子的一个式子
我们可以把这个式子
简记为下面这个样子
其中
最左边这个量表示为η
也即线性方程组的一个解
而第二个列向量
我们表示为η1
而第三个列向量
我们把他表示为η2
最后一个列向量
我们把他表示为η(n-r)
从而
我们把任何一个解η
表示成为了η1 η2
…η(n-r)的
一个线性组合
下面 我们就来证明
上述由Gauss消元法
给出的n-r个列向量
即η1 η2…η(n-r)为
齐次线性方程组的
一组基础解系
首先 我们先来说明
任何一个ηi均为
齐次线性方程组的一组解
那么我们为了证明这一点
在上述一般解当中
取系数k(r+i)等1
而其余的kj等0
于是就可以知道
η等ηi为
原方程组的一组解
其次我们来说明
η1到η(n-r)是线性无关的
由于η1 η2…η(n-r)
按列的方式排列起来
得到的就是这样的一个矩阵
其截短向量
也就是它的后半部分
构成了一个
n减r阶的单位阵
于是它的截短向量
就是线性无关的
根据线性相关性的理论
我们就知道原向量组
ηi就是线性无关的
最后一点
我们来说明
齐次线性方程组
AX等0的任意解
均可以由ηi线性表出
假设ξ是
解空间当中的
一个向量
即Aξ等0
我们把ξ的分量
设为b1 b2一直到bn
另一方面我们取
η0为η1 η2…η(n-r)的
一个线性组合
而组合的系数
正好就为ξ的
后n-r个分量
由前面的讨论
我们就知道η0
是解空间当中的一个元素
下面我们就来说明
必有ξ等η0
由于我们可以
把η0的定义式
写为如下行向量与
列向量的乘积的形式
并且把前面的向量
表示为矩阵的形式
就是这样一个
n×(n-r)的矩阵
它的上半部分为负c1
下半部分为n-r阶的单位阵
于是乘积展开以后
我们就知道η0
后面n-r个分量
就一定为b(r+1)
b(r+2)…bn
于是 我们把η0和ξ
都按列向量的方式
表示出来
它们都为原方程组的一组解
而由于我们前面
已经假设了原方程组当中
前r个变量为主变量
而后面的n-r个
变量为自由变量
由于η0和ξ
均为原方程组的解
那么经过观察我们又发现
它们的自由变量部分是相同的
而当自由变量取定以后
主变量也随之唯一地确定
从而我们就知道必有ξ等η0
因此 ξ可由η1 η2
一直到η(n-r)线性表出
综合上述三点
我们就知道了
η1 η2…η(n-r)为
齐次线性方程组
AX等0的一组基础解系
因此NA的维数就等于n减r
我们就完成了
定理的证明
第三点
齐次线性方程组的求解步骤
由定理二的证明
我们实际上还得到了
齐次线性方程组
AX等0的一般求解步骤
具体如下
第一步 用初等行变换
将系数矩阵A
化为简化的阶梯型矩阵C
由于A的秩等于r
所以C的非零行数必为r
第二步
若r等n
则方程组只有零解
计算停止
若r小于n
则r个主元素
所在列对应的
r个变量为主变量
其余的n-r个
变量就为自由变量
第三步
我们如下取定
一组基础解系ηi
其中ηi的
自由变量部分取为
n-r维向量空间当中的
第i个自然基
而ηi的主变量部分取为
简化阶梯型矩阵C中
第i个非主元素
所在列的前r个
元素再乘-1
第四步
得到齐次线性方程组的通解为
第三步当中
求出的一组
基础解系的线性组合
其中组合系数ki
跑遍所有的实数
以上就是
齐次线性方程组
求解的一般步骤
下面
我们就用这样的步骤
求解如下的
一个线性方程组
例1 观察一下
我们会发现
这是一个
四个变量两个方程的
齐次线性方程组
我们只需要
对其系数矩阵
进行考虑即可
我们将其
系数矩阵写出来
这已经是一个
简化的阶梯型矩阵了
因此我们会发现
它的主元素落在
第1列和第3列
因此
x1和x3就对应了主变量
而x2和x4
就对应了自由变量
也就是可以取
任意实数的变量
于是我们可以由简化的
阶梯型得到通解
也即 对于自由变量部分
我们分别取1 0和0 1
那么对于主变量部分
分别由简化阶梯型当中
第2列以及
简化阶梯型当中的
第4列得到
分别是需要乘以-1
从而原方程组的通解
就可以写为基础解系
当中的向量的线性组合
展开以后就是这个样子的
其中k1 k2
跑遍所有的实数
下面再来看一个例子
这是一个五个未知量
三个方程的
齐次线性方程组
我们依然用
初等行变换
将系数矩阵A
化为简化的阶梯型
好 通过观察
我们会发现
主元素位于
第1列和第3列当中
因此矩阵的秩等于2
主变量分别是x1和x3
那么其余的列
就对应了3个自由变量
分别为x2 x4和x5
于是我们如下
取定基础解系
分别将自由变量部分
x2 x4和x5取为
第一个自然基
第二个自然基
和第三个自然基
而主变量部分分别取为
阶梯型矩阵
第2列当中的
前两个元素取负号
第4列当中的
前两个元素取负号
以及第5列当中的
前两个元素取负号
把它们代进去就得到了
这样的三个列向量
构成了一组基础解系
那么于是方程组的通解
就是这三个
列向量的线性组合
其中k1 k2 k3跑遍所有实数
下面我们提出一个问题
也就是在这个例子当中
我们能否取x3 x4和x5
为自由变量
或者我们能否取x2 x3和
x4为自由变量
请大家课后思考这个问题
下面我们再来看一个例子
这个例子是
在4.7节我们的结论一
也就是两个矩阵相乘等于零的话
证明两个矩阵的秩
加起来≤n
其中n是第一个矩阵的列数
也是第二个矩阵的行数
之前我们是用分块矩阵思想
来证明结论的
下面我们将利用矩阵的秩
与齐次线性方程组的
解空间的维数之间的关系
来证明这个结论
对应地我们只需要去证
B的秩≤A的
解空间的维数
即n减r(A)
具体证明如下
我们将B按列来分块
也就是记βi
表示矩阵B的第i列
由AB等于0
我们可以知道
AB的每一个列向量
βi均要等于零向量
所以β1 β2…βs都是
齐次线性方程组
AX等0的解
又因为这个
齐次线性方程组只有
n-r(A)个线性无关的解
因此我们可以知道
B的秩等于β1 β2…βs的秩
小于等于n减去A的秩
从而
我们就完成了这个结论的证明
例4
设A为m×n型的实矩阵
请大家证明
A的秩等于A转置乘A 的秩
又等于A乘A转置的秩
我们还是先来分析一下
我们先证第一个等号
要证第一个等号
我们只需要去证
n减A的秩等于
n减A转置乘A的秩
A转置乘A是一个
n×n的方阵
则等价的
我们只需要去证明
第一个齐次线性方程组
即AX等0
和第二个齐次线性方程组
A转置乘A在乘X等0为
两个同解的方程组即可
具体证明如下
首先
我们很容易说明
方程(I)的解
一定是方程(II)的解
通过代入法即可验证
反之假设向量X
是方程(II)的任何一个解
则对于这个式子
两边同时左乘以
X的转置就有
这样的一个式子
我们假设列向量AX他的分量
分别为b1 b2… bm
则把这个式子代到
上式中的第二个等式当中
就可以得到他等于
b1的平方加上b2的平方
一直加到bm的平方等于右边
也就是等于零
由于bi均为实数
这个式子告诉我们
它只有b1等于b2
一直等于bm等0
所以 也就是说
AX只能等于零向量
也就是说
X也是方程(I)的解
从而
方程(II)的解
也是方程(I)的解
综上我们就证明了
方程(I)和方程(II)
是两个同解的方程组
也即解空间
N(A)等N(A转置*A)
从而它们的维数相等
进而可以推出
A的秩就等于A转置*A的秩
同样的道理
我们对A转置去考虑
可以去证明A转置的秩
等于A*A转置的秩
再利用A和
A转置的秩相同
我们就可以证明
原命题当中的第二个等号
我们对于例4
作一个补充说明
它的结论非常重要
在我们后续课程当中还要用到
此外若A为
一个m×n型的实矩阵
则A转置*A与A*A转置分别
就是一个n阶
和m阶的方阵
并且
它们都满足转置之后
等于它自己
也就是说A转置*A与
A*A转置分别为
n阶和m阶的实对称阵
利用这个结论我们来看例5
若A是一个
m×n型的实矩阵
并且A的秩等于n
也即A是一个列满秩的矩阵
请问大家
下面成立的项是哪一个
利用例4的结论
我们知道A的秩
与A转置A 的秩是相等的
因此答案应该选D
本讲小结
在本讲当中
我们利用系数矩阵的秩
给出了齐次线性方程组
解的判定法则
进一步我们分析了
齐次线性方程组
解集合的结构
首先我们说明了
它的解集合N(A)
构成n维向量空间的解空间
进而
我们定义这个解空间
当中的一组基
就为齐次线性方程组的基础解系
而基础解系的个数
必然等于未知量的
个数n减A的秩r
最后利用Gauss消元法
我们给出了
齐次线性方程组
求解的一般步骤
需要说明的是
经过Gauss消元法
化为简化阶梯型矩阵之后
该矩阵当中
已经包含了解的所有信息
本讲的内容就到这儿
我们下讲再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
