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同学们 大家好
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第二章 行列式
2.1节 2阶 3阶行列式的性质
在本节当中
我们将给大家介绍2阶行列式的性质
3阶行列式的展开式
以及3阶行列式的性质
并且利用性质去计算2阶 3阶行列式
首先 先来看2阶行列式的性质
性质1 行列互换 2阶行列式的值不变
首先 我们先来解释一下什么叫做行列互换
所谓行列互换，就是把原来行列式的一行换成列
那么 它的第一行就换成第一列
第二行就换成第二列
好 那么当我们把这个2阶行列式的行列互换以后
我们可以证明:它的行列式的值不变
证明很简单
我们把等式两边都按行列式的定义
按对角线法则展开以后
发现它都等于a_11乘以a_22再减去a_12乘以a_21
所以 我们就证明了这个性质
对于性质1,我们做如下的说明
性质1告诉我们:在2阶行列式当中
行与列的地位相同
也就是说,如果一个性质它对于行成立的话
那么 对列也同样成立
第二 行列互换对应到每个元素
实际上就是交换其下标的表示
换言之 就是说行列互换以后
第一个下标的表示就由行数就变成了列数
而第二下标表示就由列数就变成了行数
性质2 若2阶行列式中某一行的每个元素
分成两个数之和
则行列式可以关于该行 拆成两个行列式的和
拆开时 其他行均保持不变
我们以第一行为例
我们把第一行写成
a_11加上b_11 a_12加上b_12的形式
那么我们可以看
它的每一个元素都能写成两个数之和
于是 这个行列式就可以拆成
等式右边的两个行列式
那么 由性质1告诉我们
在行列式中行和列是等价的
我们对性质2 只对行证明结论成立即可
好 下面我们来看证明
证明很简单
对等式的左边
我们按照行列式的定义展开以后等于这个
那么括号拆开以后重新组合
就等于这两个算式
那么 这两个括号里边我们很熟悉
就是2阶行列式的定义
用2阶行列式的符号表示出来
就是等式右边的两个行列式相加
所以 我们就证明了性质2
性质3 两行或者是两列互换
行列式的值变号
也就是大家看
当我把第一行用黄色标记以后
那么 它和第二行交换位置以后
整个行列式取一个负号
证明很简单
只需要用行列式的定义把两边展开以后
发现它们是相等的 我们就证明了性质3
对于性质3 我们做如下说明
1.由行列等价 我们只需对行来证明
这个结论就可以了
2.由性质3可知
若2阶行列式的性质对某一行成立
则对另一行也成立
最多相差一个符号
例如 刚才的性质2
我们只对第一行证明了加法拆分
那么 根据性质3的这条性质 我们就知道
性质2对第二行的加法拆分也同样成立
性质4 2阶行列式中某行有公因子k时
k可以提到行列式外面
我们以第一行为例
当我的第一行都乘以黄色的k之后
k可以整体的提到行列式外边去
下面我们来证明它 我们可以看
对等式左边我们按2阶行列式的定义展开
再把这个k提到括号外边
那么 我们就会发现这个括号里边的这一项
正好就是原来行列式
所以 我们就证明了性质4
性质5 二阶行列式中某一行加上
另一行的k倍时行列式的值不变
我们仍然以第一行为例
当我们把第二行乘以k倍加到第一行之后
我们可以证明新得到的这个行列式
和原来的行列式相等
下面我们来证明性质5
证明很简单
对等式左边按2阶行列式的定义
也就是对角线法则展开以后是这个式子
那么 我们会发现带k的两项相互抵消掉
最后只剩下这两项
而这两项正好就是原来行列式的展开式
因此 我们就证明了性质5
下面我们来看3阶行列式
首先 我们考察3阶行列式
由它的定义它可以展开成以下的六项
在这六项代数和当中 我分别选取含有a_11的两项
并且把a_11提出来
剩下的用括号括起来
接下来我选取含有a_12的两项
把a_12提出来 剩下的用括号括起来
同样我选取含有a_13的两项
再把a_13提出来 剩下的放到括号里
你仔细的观察一下这个等式
你会发现我们所选取的三个元素
均是从行列式的第一行里边选取的
而与这三个元素相乘的那三个括号
正好就等于三个2阶行列式
这个就叫做3阶行列式的展开公式
那么 这个关系式反映了3阶行列式
和其内部的2阶行列式之间的关系
但是 你很难在短时间内
记住这个3阶行列式可以表示成
哪三个2阶行列式的组合
而且 你也会很奇怪
为什么在这个表达式当中
我要把第二个行列式当中提出一个负号来
下面 我就来具体的解释一下这个问题
首先 如果我们把a_11所在的行和列划掉
剩下的四个元素组成了一个2阶行列式
大家看这个2阶行列式正好是这个式子当中
和a_11相乘的那个2阶行列式
同样 如果我们把a_12所在的行和列划掉
剩下的四个元组成的2阶行列式
就正好是和a_12相乘的(二阶行列式)
那么我们再来看a_13
把a_13所在的行和列划掉 剩下的2阶行列式
确实也是和a13相乘的那个行列式
所以 我们在上述3阶行列式当中
划去第i行第j列后
剩下的2阶行列式我们给它取个名字
就叫做元素a_ij的余子式
原因呢 它可以由a_ij所唯一决定
余子式 余子式
言下之意就是划掉a_ij之后
剩余的那个2阶子行列式
我们把它记做M_ij
好 如果我们再令A_ij等于M_ij
乘以-1的i+j次方
这样的话 我们就把这个Aij
称为aij的代数余子式
所以 这个代数余子式和余子式相比
其实就是增加了一个负1的方幂
而这个方幂由a的脚标i和j共同决定
例如A_11等于M_11
A_12由于它的脚标之和是个奇数
所以它等于负的M_12
而A_13就等于M_13
有了上面的符号
我们可以把刚才的关系式重新表述如下
好 大家再来看这个关系式时
你是不是很容易记住这个关系式了
我们把这个关系称为3阶行列式
对其第一行的展开公式
那么 返回到3阶行列式的定义式当中
刚才我们选取的是第一行当中的三个元素
那么 类似的
如果 我们选取第二行当中的三个元素
把它分别提出来
并且 再用2阶行列式表出之后
就等于这样的一个等式
而这个等式 我们再利用代数余子式的定义
就可以把它表述成这个样子
这个形式和刚才那个表出形式是一致的
我们把这个关系式
叫做3阶行列式按其第二行的展开公式
因此 我们已经有了这样的两个关系式
类似的 我们也可以得到第三个关系式
而这第三个关系式
分别选取的是
第三行当中的三个元素
及其对应的代数余子式
所以 我们把这三个关系式
分别称为3阶行列式对其
第一行、第二行以及第三行的展开公式
有了按行展开的公式 一个自然的问题
我们有没有按列展开的公式呢?
我们的回答是肯定的
用类似的方法 我们也可以得到3阶行列式
对其第一列、第二列、第三列的展开公式
我们把它表出如下
同样 对于2阶行列式
我们可以验证它也满足这个结论
所以 我们就证明了如下的定理
关于2、3阶行列式等于它的任一行或者是
列的元素与自己的代数余子式的乘积之和
有了3阶行列式的展开式之后
下面我们来看3阶行列式的性质
根据我们已经证明了的2阶行列式的性质
3阶行列式也有同样的性质
比如说性质1: 行列互换
3阶行列式的值不变
也就是这样的等式
下面 我们来证明这个结论
等式左边我们按照第一列进行展开
可以得到这个式子
那么这个式子展开以后
再利用2阶行列式的行列等价性
我们就可以把它的行列互换
就得到第二个式子
而这第二个式子大家观察一下
正好是右边这个3阶行列式
按第一行展开的结果
所以 它就等于右边的这个3阶行列式
所以 我们就证明了3阶行列式
关于行列的等价性
那么 这个证明的思路我们总结一下
就是把3阶行列式按行或者是按列展开
那么 再利用2阶行列式所对应的性质
就可以证明3阶行列式
同样满足这样的性质
我们以性质3 为例
两行互换 3阶行列式的值变号
那么 我们这里
只考虑前两行互换的情况
其他的证明类似
大家可以看 我们用黄色标记原行列式的第一行
那么 在新的行列式当中
我们把它换到第二行
用红色标记原行列式的第二行
那么 把它换到第一行
那么 这两个行列式之间就相差一个负号
这个证明的思路和刚才一样
同样 我们把左端的行列式
按照第三行展开以后 再利用性质3
我们就可以证明这个结论
类似的 我们可以把刚才2阶行列式的性质
纷纷推广到3阶行列式
在这里我们就不再具体展开
下面 我们用性质来计算行列式
先看这样的一个例题
看到这个题目之后 你思考一下
应该用哪一条性质来解决这个问题
好 你是不是已经想到了
应该用我们的性质2
也就是 按列加法拆项的方法
下面 我们来证明这个结论
首先 我们把原行列式的第二列和第三列固定
拆开第一列 于是就得到了
这样的两个行列式相加
进一步 我们对于这两个行列式再拆项
对于第一个行列式
我把第三列拆成两项相加之后
整个行列式就能写成两个行列式相加
其中 第二个行列式
我发现里边有两个列完全相同
那么 我就判断这个行列式的值等于0
那么 我把这个问题留给大家作为课后思考
为什么行列式当中有两列相同?
则它的值一定等于0
同样 我对第二个行列式拆开第二列
也可以得到两个行列式相加
而且其中一个行列式等于0
好 那么到了这一步大家就知道了
剩下呢 我就把这个行列式的第二列拆开
得到两个行列式并且其中一个等于0
对于这个行列式
我把它的第三列拆开
得到两个行列式其中一个为0
最后剩下的两个不为0的项正好是相同的
加起来就等于等式的右端
我们就证明了这个结论
再来看一个例题
对于这个3阶行列式
请你证明它等于乘以a_1乘以一个2阶行列式
你观察一下左边的这个行列式
思考一下应该用哪条性质来证明？
好 我们利用的是行的展开公式
当我们把行列式的左端按第一行展开之后
应该等于第一行上的三个元素
及其代数余子式的乘积 再相加
但是 由于第一行的剩下两个元素都等于0
所以 它只等于它的第一项乘以它的代数余子式
就是我们等式的右边
好 从这个例子当中
我们可以看到在计算3阶行列式时
我们可以利用初等变换和行列式的性质
把某一行的三个元素中的两个变成0
然后 再对此行展开
就可以化成一个2阶行列式
整个计算就得到了化简
再来看下面3阶行列式的例子
对于第一个题 我们看
第一列里边已经有一个0了
那么 我们就用初等行变换
把第二行当中的第一位置也把它化成0
就得到了这个行列式
这个行列式我们用刚才的性质
对它的第一列进行展开
就化成了2阶行列式
计算这个2阶行列式很简单
对角线法则展开一算等于25
计算就变得很简单
所以 这个例题给我们一个启示
在计算具体行列式的过程当中
我们要想办法化出更多的0
这样的方法形象的我们叫把它做打洞法
好 再来看第二个行列式
这个行列式请大家观察一下
它有什么样的特点
它的特点就是
每一列的三个元素相加以后都等于2x加2y
我们把这样的行列式称为
行和（或者是列和）相等的行列式
对于这种行列式我们有固定的套路
怎么做？
就是把第二行和第三行都加到第一行上去
于是 根据行列式的性质
可以把第一行的这个公因子：2倍的x加y提出去
第一行就变成了三个1
那么 再利用初等列变换
倍加的方法把第一行当中后边的两个元素都化0
于是就可以得到这个行列式
再把它化成2阶行列式
把2阶行列式展开以后
就算得到了最终的结果
再来看第三题
对于这个行列式
我们很容易发现它的第一行是三个1
那么 很自然的做法就是通过列变换
把它的第二位置和第三位置都化成0
于是 我就可以用把第一行展开的方式
把它化成一个2阶行列式
这个2阶行列式里边 观察一下
它的第一列和第二列当中都具有公因子
于是 我们把这个公因子都提出去之后
就得到一个更简单的2阶行列式
对这个2阶行列式
用对角线法则展开以后
它就等于这样的一个结果
对于这个行列式我们给它取个名字
叫做3阶范德蒙行列式
对于范德蒙行列式
我们将在后面专门的作介绍
在本讲当中我们介绍了
2阶行列式和3阶行列式的性质
我们把这些性质简化总结一下
为以下6条
分别是
1.转置不变 也就是行列等价
2.行(或者是列)加法拆项法则
3.行(或者是列)做倍乘
4.行(或者是列)做对换 则行列式取反
5.行(或者是列)做倍加 行列式值不变
6.行列展开公式
其中 我们可以看到第3、第4和第5条
正好对应了我们在上一章当中
介绍过的三种初等变换
于是 这三种初等变换
就成为了计算行列式当中最常用的方法
-宣传片
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-序论
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-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
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-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
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-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
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-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
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-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
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-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
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--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
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-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
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-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
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-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
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-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
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-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
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-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
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-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
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-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
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-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
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-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
