7-2 特征多项式与特征子空间在线视频

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线性代数先修课

第七章 矩阵的特征值理论

7.2节特征多项式与特征子空间

在本讲当中

我们将围绕

特征值与特征向量

的几个基本问题展开讨论

首先通过讨论

特征多项式的性质

来分析特征值之间的关系

其次我们将分析

属于同一个特征值的

特征向量的性质

进而引入特征子空间的概念

最后我们将分析

属于不同特征值的

特征向量之间的相互关系

首先

我们先来讨论

特征多项式的性质

由于特征多项式

是关于λ的首一n次多项式

所以我们不妨把它

所有的系数设出来

其中这里的ci表示

它第n-i次方的系数

均为实数

我们将用两种方式将

特征多项式的上述系数表示出来

第一种方式

就是用矩阵的元素aij来表示

第二种方式

就是用矩阵的特征值

好

我们先来看

特征多项式的部分系数

与矩阵的元素的关系

首先

我们把A按列分块表示

为α1、α2和αn

并且将单位阵也表示

为n个自然基的列向量的排列

于是我们把这个

n阶行列式的每一列都表示

成为λ倍的ei再减去αi的形式

那么根据行列式的

列加法的拆分性质

我们就可以得到

上述行列式可以拆分为

2的n次方项

于是

我们可以得到

如下两个系数与A中元素的关系

也就是我们发现常数项

应该等于A的行列式

再乘以-1的n次方

而它的次高项

也就是n-1次方的系数就应该

等于所有主对角线上元素相加

再乘以-1

在这里我们

把一个方阵A的主对角线上元素之和

称为A的迹

也就是把它记为tr（A）的形式

另外一方面

我们来看特征多项式的

部分系数与A的特征值之间的关系

我们假设方阵A的特征多项式的

全部复根为λ1、λ2到λn

于是特征多项式就可以表示为

λ-每一个根再相乘的形式

将此式展开

我们利用韦达公式

也就是根与系数之间的关系

我们也可以得到常数项应该

等于所有特征根相乘

再乘以-1的n次方

而次高项的系数应该等于

所有特征值的求和再乘以-1

比较上述两方面所得到的

四个等式

我们就可以得到如下的结论

也就是我们的定理1

对于一个n阶方阵A

设λ1、λ2

到λn为它的全部特征值

则所有特征值的和就等于

A的主对角线上元素的求和

也就是等于A的迹

而所有特征值的乘积

就等于A的行列式

根据定理1

我们就可以得到

一个利用特征值来判断

A是不是可逆的结论

也就是我们的推论

即n阶方阵A可逆

当且仅当A的

行列式不等于0

又当且仅当A的

特征值不全为0

它的等价命题也就是

n阶方阵A不可逆

当且仅当行列式等于0

这又当且仅当0是

A的一个特征值

我们提出

如下的扩展性问题

除了常数项cn

与次高项系数c1以外

特征多项式的其他项系数ck

实际上也可以由韦达公式表示

为特征值的表达式

那么另外一方面

ck与A的分量元素

有什么关系呢？

这个问题留给

大家课后进行思考

下面

我们来看两个例子

第一个例子

是这样的一个上三角阵

那么我们很容易求出

它的特征多项式就等于

λ减去主对角线上的元素

再相乘

从而三角阵A的特征值

就为主对角线上的全体元素

也即a11、a22一直到ann

推广一下

我们设A为这样的

一个准三角阵

其中每一个大Ai为ni阶的方阵

那么很容易我们

可以计算出A的特征多项式

就等于它的主对角线上的

每一个子块的特征多项式

再相乘

从而准三角阵A的特征值

就是主对角线上

每一个子块A1、A2

一直到An的全部特征值的并集

下面我们进一步讨论

特征值与特征向量的性质

我们分为如下几条

假设λ0为A的一个特征值

X0为对应的特征向量

则第一条

kλ0就为kA的特征值

而X0依然为对应的特征向量

第二条性质就是

λ0的h次方就为A的h次方的特征值

其中h为任意正整数

而X0依然为对应的特征向量

第三条性质

对于矩阵A的多项式g（A）

它的特征值就为g（λ0）

其中X0依然为对应的特征向量

进一步

如果A可逆

则还有如下两条性质

也就是性质四

λ0的逆就为A的逆的特征值

而对应的特征向量还是保持不变

还是X0

第五条

λ0的逆再乘以A的行列式

就为A的伴随的特征值

X0依然为对应的特征向量

这这里我们只验证后两条性质

首先先来看性质四

由特征值和特征向量的定义式

我们有AX0=λ0X0

那么对于等式的两边

我们都左乘以A逆

于是就可以得到X0=λ0

再乘以A逆X0

由于A是可逆的

其特征值不为0

所以我们再可以把λ0再除过来

于是就得到了

A逆乘以X0就等于λ0的逆

再乘以X0

所以从这个式子

我们就得到了想要的结论

第五条

利用伴随的性质

我们有A星乘以A

等于A的行列式倍的单位阵

对等式的两边我们都右乘X0

进一步利用ax0=λ0x0

我们就可以得到这样的等式

最后把λ0除到等式右边

就得到这个等式

而这个等式就说明性质5是成立的

下面

我们用性质来求一些具体的问题

例2 设a是三阶方阵

已知它特征值为1 2 -1

另外我们知道一个矩阵b

和a有这样的代数关系

也就是b=a3-5a2

请大家求矩阵b的行列式

我们首先来分析下这个问题

从题设题条件我们

只能得到A的部分信息

而题目还要求

利用A与B的代数关系

来求B的行列式

那么由于

我们之前给出了

行列式与特征值之间的关系

因此

我们转而希望

能够求出B的特征值

于是可以假设

λ为a的一个特征值

x为属于λ的特征向量

于是就得到了这样一个定义式

下面

我考虑矩阵b乘以x

再把a和b之间的代数关系

代到这个式子里

就可以计算的

它等于λ3-5λ2

这个等式就说明了λ3-5λ2

就为b的特征值

那么当我们把a的特征值

也就是λ=1 2 -1

分别代进去可算得

b的特征值-4 -12 -6

最后

根据b的行列式

应该等于

它所有特征值的乘积

计算结果

就可得到它

的行列式等-288

说明一下

本例

就是上述性质3

的一个简单应用

由于我们

没有验证前3条性质

故在本例当中

我们给出了具体的推导

而性质1 性质2和性质3的

证明方法与本例类似

下面再来看一个例子

例3 已知n阶方阵

a的n个特征值为λ到λn

请大家求2I-A的特征值

及其行列式

这个问题和刚才的

例2类似的

首先

由题设可以知道

a的特征多项式

就等于λ-λi

再乘起来

为求2I-A的特征值

我们首先考虑

2I-A的特征多项式

它的特征多项式应该等于

当我们用μ来代替λ

就等于

这样的行列式

当我们把整个行列式

提出（-1）n

之后

它就等于这样的行列式

这里把2-μ看成上式当中λ

借助A的特征多项式

我们就得到了这个式子

再把这是做变形

我就知道2-λi

即为我们所求

矩阵的全体特征值

所以我就是知道了

2I-A的n个特征

就为2-λi

从而

它的行列式就等于所有特征值

相乘就等于这样的一个结果

同样本列也可以

由上述性质3来直接得到

例4 已知A的平方等于A

求矩阵A的特征值

首先我们

假设λ是A的一个特征值

并且设X是λ所属的特征向量

于是可以得到这样的一个等式

所以对这个等式两边左乘以A

就可以知道A平方乘X应该

等于λ平方乘X

那么另一方面利用已知条件

也就是A的平方等于A

于是我们就知道A乘X就

应该等于A平方再乘以X

再利用上式

它就等于λ平方再乘X

于是我们再把它们移到

等式的同一边

就得到了这样的一个等式

由于X为特征向量

所有它是一个非零向量

因此我们就知道

只有系数等于0

也即λ平方要等于λ

这就是A的特征值

要满足的要求

所以这说明了

只可能等于0或者1

本例可以推广为一般的情形

也就是如果A满足某个多项式

也就是g（A）=0

则A的特征值

λ也满足该多项式

也就是g（λ）也要等于0

也就是我们的性质3

二 特征向量的性质与特征子空间

下面我们来讨论

特征向量的性质

取定n阶方阵A的一个特征值λ

则第一点如果我们

设X是A的属于特征值

λ的特征向量

于是就有这样的一个定义式

又设k是一个实数

则对X做数乘k倍

再左乘A

就等于kA再乘X

进而又等于k乘λ再乘X

由于k和λ是两个数

可以交换次序

所以它就等于

λ再乘以k倍的X

于是这就说明

在k不等于0的时候

k倍的X就是

A的属于特征值λ的

一个特征向量

另外一方面

如果我们设X1、X2

同样是A的属于λ的特征向量

于是有这样的两个定义式

把这两个式子相加

并且同样的都利用分配率

把A提出来

也把λ提出来

我们就可以知道

当X1+X2不等于0的时候

则它也为A的

属于特征值λ的特征向量

那么以上两点说明

属于同一个特征值的特征向量

对于数乘和加法运算都保持封闭

所以就说明A

属于特征值λ的特征向量的

任意非零线性组合仍是λ的特征向量

再加上零向量它们

就构成了Rn当中的一个子空间

把上述讨论总结一下

我们就可以得到如下的定义

也就是定义1

设A为n阶方阵

λ是A的一个特征值

则我们把满足AX=λX的所有向量

这里包含了零向量

它们构成的集合称为

A的关于特征值

λ的特征子空间

记为Vλ

其维数称为

特征值λ的几何重数

对于定义1

我们有如下的说明

第一点

特征子空间

Vλ中并不全都是特征向量

因为它还包含了零向量

第二点

很容易知道

它的几何重数实际上就等于

对应λI-A为系数

的齐次线性方程组

的解空间的维数

也就是等于n减去它的

系数矩阵的秩

而根据我们之前的讨论

几何重数是大于等于1的

至此

我们就解决了

之前提出的结构问题

也就是属于A的同一个特征值

λ的特征向量再加上零向量

就构成了Rn当中的子空间

我们就把它称为特征子空间

自然的问题是

属于A的不同特征值的

特征向量有什么关系呢

下面我们就来回答这个问题

也就是第三节

特征向量的相互关系

也就是定理2

属于A的不同特征值的

特征向量是线性无关的

下面我们来证明这个结论

设λ1到λs为

A的s个互不相同的特征值

这里s小于等于n

而设X1到Xs是

相应的特征向量

于是对于λi和Xi

就满足这样的定义式

下面我们对不同特征值的

个数s做归纳法

当s=1的时候

由于特征向量是非零的

所以我们知道一个特征向量

一定是线性无关的

假设我们的结论

对s-1的时候成立

那么下面考虑矩阵

具有s个不同的特征值时的情形

那么我们要证这s个特征向量

是线性无关的

那么首先先把它们的

线性组合等于0设出来

并且记为1式

我们用A来左乘1式的两边

就得到了这样一个等式

那么利用

特征值和特征向量的定义式

我们可以把左乘以A写为

左乘以特征值λi

于是就可以写成这个式子

我们把这个式子记为2式

另一方面

我们用λs去左乘1式的两边

我们又可以得到这样的一个式子

这样的式子我们把它记为3式

那么对比2式和3式

我们会发现它们的

最后一项是相同的

于是我们就把2式和3式相减

就得到了这样一个等式

这个等式观察一下

我们就会发现

它是X1、X2到Xs-1，s-1个

向量的线性组合

等于0

由归纳假设X1到Xs-1是

线性无关的

于是我们只有组合的

系数要等于0

那么由已知条件

我们会知道这里的λi

是互不相同的特征值

所以λi-λs均不等于0

于是得到ki=0

这里i从1跑到s-1

再把这s-1个0代回到1式里边

就得到了ks倍的Xs就等于零向量

那么又因为Xs是特征向量

它是非零的

所以只能有系数ks也要等于0

从而我们就推出了

1式当中的所有组合的系数均为0

所以X1到Xs是线性无关的

我们定理的结论成立

如果我们再把几何重数考虑上

那么我们的定理2

还可以推广为以下的结论

也就是定理3

我们设λ1到λs为

A的s的互异的特征值

并且通过

求解对应的齐次线性方程组

我们可以得到属于

λ1的m1个线性无关的特征向量

把它记为X11、X12到X1m1

而这m1个特征向量就是

对应齐次线性方程组的

一个基础解系

同样的道理

对于特征值λ2

我们也可以得到

m2个线性无关的属于

λ2的特征向量

以此类推

对于λs我们可以得到

ms个线性无关的特征向量

于是我们把上述

所有的特征向量合并起来

得到了m1加m2

一直加到ms个特征向量构成的集合

我们得到的结论

就是这个向量组是线性无关的

定理3的证明方法与

定理2是类似的

我们需对每组特征向量

使用归纳法

即可证明

在这里我们就不再展开

请同学们课下进行推导

本讲小结

在本讲当中

我们进一步讨论了

特征值与特征向量的基本问题

首先我们通过

特征多项式的系数的

不同表示方式

得到了两个关于特征值的

重要性质

即全体特征值之和

等于矩阵对角线上元素之和

也即等于矩阵的迹

而全体特征值之积

等于矩阵的行列式

进一步

我们讨论了

特征向量的性质

一方面

对于属于

同一个特征值的特征向量

我们证明了

它们组成的集合

再加上零向量构成了

Rn中的一个子空间

称为特征子空间

从而回答了之前提出的结构问题

其维数称为特征值的几何重数

这与特征值的代数重数是相对应的

它们俩的关系

将来将成为一个重要的理论判则

另一方面

对于属于不同特征值的特征向量

我们证明了

它们必然线性无关

从而回答了之前提出的关系问题

好

本讲的内容就到这

我们下讲再见