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第七章
矩阵的特征值理论
7.3节 相似矩阵
在本讲当中
我们将从一钟特殊的情况入手
引入两个矩阵相似的概念
接着我们将讨论
相似矩阵的若干基本性质
特别是相似矩阵的
特征值的性质
最后我们将讨论
相似矩阵的一个基本应用
从中引出矩阵相似
对角化的问题
首先我们先来
考虑一种特殊情况下的例子
例1
设A为一个n阶方阵
并且设它有n个
互不相同的实的特征值
分别为λ1 λ2到λn
而X1 X2到Xn
为其对应的特征向量
于是我们就有n个
关于特征值和特征向量的
定义式如下
我们将上述
等式两边的n个列向量排列起来
就可以得到如下
分块矩阵的形式
其中左边可以写成
A乘Xi的形式
右边可以写成
λi乘以Xi的形式
我们再把左边的A提出来
右边的乘积把它写成
一个形式行向量与
一个对角阵的乘积
由于我们知道右乘对角阵
相对于对一个矩阵的每列做倍乘
所以它就等于
上面那个式子的右边
进一步我们把X1 X2
一直到Xn作为列向量
构成的矩阵记为P
而λ1 λ2到λn
为主对角线构成的对角阵
记为大Λ
则由上一讲的定理2
我们可以知道
由于X1 X2到Xn是属于
不同特征值下的特征向量
因此它们是线性无关的
从而P为可逆矩阵
因此上面的式子
可以写为AP=PΛ
于是对等式两边都左乘P逆
就得到红线上面的
P逆AP等于Λ的形式
这个式子说明
通过可逆矩阵P
我们可以把原方阵A
变换为对角阵Λ
其中Λ包含了A的特征值的信息
而可逆阵P包含了
A的特征向量的信息
下面
我们将讨论一般的情况
我们首先给出矩阵相似的概念
然后讨论矩阵相似问题与
矩阵特征值问题的联系
最后引出矩阵相似对角话的问题
二 相似矩阵的概念
根据上述讨论
我们给出如下的定义1
设A B是两个n阶方阵
如果存在一个n阶可逆阵P
使得P逆AP等于B
我们则称方阵B
相似于方阵A
并且记成这样的符号
我们需要说明的是
在这个定义当中是有顺序之分的
也就是A和B
在定义1当中地位是不相同的
然而我们可以证明
相似作为n阶方阵之间的一种关系
满足以下三条性质
第一条我们称为自反性
也就是A和A自己是相似
那么我们需要找出一个可逆阵P
使得P逆AP要等于A
这个很容易
只需要取这个可逆阵
为n阶单位阵I即可以
第二条相似满足对称性
也就是说如果B相似于A
则一定可以推出A相似于B
具体地 由条件
我们可以设
A和B之间相差的可逆阵为P
推出反过来的关系
只需要取P逆作为
这里的可逆阵即可
第三条相似满足传递性
也就是B相似于A
C又相似于B
则一定可以推出C相似于A
证明只需要把条件中
涉及的两个可逆阵P1
和P2乘起来
即可以得到我们结论中
所需要的可逆阵
由于矩阵的相似关系具有对称性
因此若A相似于B
则B也相似于A
于是在相似定义中
A和B的地位就可以视为相同的
从而以后我们就可以
简单地称作A与B相似
或者A B是相似矩阵
而无需考虑其次序
三 相似矩阵的基本性质
相似的两个矩阵
有很多共同的性质
首先我们先来看性质1
若A与B相似
A1与B1相似
则我们可以推出kA与kB相似
A的m次方与B的m次方相似
而A+A1与B+B1是相似的
进而把上述三条
综合起来我们还可以得到
对于任意多项式g（x）
关于A的多项式g(A)
和关于B的同一个多项式
g(B)是相似的
由于很容易证明
相似是保持加法和数乘的
下面我们只给出
方幂和多项式相关的结果
由条件可知
A与B相似
则存在可逆矩阵P
使得P逆AP=B
于是我们要算B的m次方
相当于要算P逆AP的m次方
根据矩阵的乘法
我们把它展开以后
就可以得到m个括号相乘
那么再根据矩阵的结合律
我们把这些式子当中的
P乘P逆优先计算
因此最后我们就得到了
B的m次方就等于P逆
乘以A的m次方再乘以P
那么这个式子
就说明A的m次方
和B的m次方是相似的
另一方面
如果我们把
g（x）的具体形式设出来
把它的系数设为bi
则我们对g（A）的两边
分别乘以P逆
和P就得到这样的式子
那么再利用
矩阵乘法的分配率
乘进去以后就得到了这个式子
进而利用P逆AP
等于B我们就得到了
计算结果就等于g（B）
从而我们就证明了g（A）
和g（B）是相似的
性质2
相似的矩阵有相同的秩
即如果A和B是相似的
则我们可以推出
A的秩等于B的秩
进而
相似的矩阵
还有相同的可逆性
具体来说
如果A和B是相似的
则我们还有A的逆
相似于B的逆
下面我们来证明它
由于乘以可逆阵
不改变矩阵的秩
所以我们很容易由P逆AP=B
推出A的秩等于B的秩
特别地
当A满秩的时候
B也满秩
从而A可逆
则B可逆
并且我们还可以
把P逆AP等于B
等式两边同时求逆
计算结果就可以得到
P逆乘以A逆再乘以
P就等于B逆
从而就证明了A逆
与B逆是相似的
性质3
相似的矩阵
有相同的特征多项式
我们的证明依然
从相似的定义式出发
也就是设B=P逆AP
则我们去计算
B的特征多项式
也就是λI-B求行列式
那么对这个式子当中
我们首先先把
B=P逆AP代进去
其次我们把单位阵I
写成P逆乘P的形式
那么再把P逆
和P分别从左边提出来
又从右边提出来
就等于P逆
乘以λI-A再乘以P
对整个乘积再求行列式
接着再利用
乘积的行列式
等于行列式的乘积
那么我们就可以
把P逆的行列式
与P的行列式相互抵消掉
从而它就等于A的特征多项式
因此我们就证明了性质3
那么由性质3
我们很快可以得到性质4
也就是
相似的矩阵具有相同的特征值
它可以由性质3直接来得到
因此我们就不再给出证明
进而由性质4
我们还可以得到
相似的矩阵
具有相同的行列式与迹
只需要把行列式
与迹表示为特征值的
计算组合就可以由
性质4得到性质5
那么由我们之前的讨论
就可以知道
对于方阵而言
秩和特征值都是在
相似意义下的不变量
然而秩反映了
非零特征值的个数
但是即便秩相同
也可以有不同的特征值
从而这说明特征值
是比秩更为精细的
数量本质和不变量
那么反过来
我们提出一个问题
也就是
如果两个矩阵的特征值相同
是不是能推出它们是相似的呢
我们的回答是否定的
也就是性质4的
逆命题是不成立的
我们举出一个反例如下
设A是二阶单位阵
而B是这样的一个上三角阵
很容易知道
它们的特征值都是两个1
但是它们一定不相似
因为A等于单位阵
所以P逆AP
一定就等于P逆
再乘以P从而等于
A就等于I2
也就是对单位阵来说
只能自己和自己相似
从而A和B不相似
下面我们来讨论
相似矩阵的特征向量的关系
也就是性质6
假设A和B相似
且满足P逆AP=B
并且λ0为A的特征值
X为相对应的特征向量
则P逆乘以X
就为B的属于
特征值λ0的特征向量
请注意性质6
和我们前面的5条性质
是不一样的
因为前5条性质
均是相似的不变量
而本条性质说明
相似是不保持特征向量的
我们的证明如下
由λ是A的特征值
我们可以得到这个式子
对这个式子两边
左乘P逆就得到这个等式
那么为了构造出B
我们在上述等式A
和X中间加上了
P成P逆的这么一项
于是黄色方框里的就等于B
从而我们就得到了
B乘以P逆X等于
λ0乘以P逆X
而这个式子就说明了
P逆X就为B的属于
特征值λ0的特征向量
从而我们就证明了性质6
第四点 相似矩阵的简单应用
下面我们来看这样的一个例子
设A是这样的一个二阶矩阵
而Λ是主对角线为
1和0.8的对角矩阵
P是这样的一个二阶矩阵
由于很容易验证
P的行列式是不等于0的
因此P是一个可逆矩阵
请大家验证P逆乘以A
再乘以P就等于对角阵Λ
并且通过这个式子
去计算A的k次方
具体地
为了验证A与
对角阵Λ是相似的
我们只需要
分别去计算A乘P和P乘Λ
并且验证这两个乘积
是否相等即可
这样的方法可以避免
此步去计算P逆
一方面
我们计算A乘P
等于这样的一个二阶矩阵
另外一方面
我们去计算P乘Λ
由于Λ是一对角阵
左乘以对角阵
相当于对原矩阵的
每一列进行一个倍乘计算
所以很容易验证
这两个乘积是相等的
下面我们去计算A的k次方
那么根据我们之前的讨论
我们去计算A的k次方
相当于k个括号相乘
利用结合律
我们优先去计算P逆乘以P的项
最终它就等于
P乘以Λ的k次方
再乘以P逆
那么对于一个对角阵Λ
它的k次方
就等于它主对角线上
每一个元素k次方
因此我们就得到了
这样一个计算式
最终我们就算得了
A的k次方等于这样的一个结果
我们需要说明的是
本例实际上是
上一讲例1的
人口迁移问题的
一种求解方式
我们只需要
将k=20代入上页的计算结果
就可以得到
A的20次方等于这个式子
那么直接计算
就可以验证它
约等于这样一个数值矩阵
而当k趋向于无穷的时候
很容易验证
A的k次方就趋近于
这样的一个二阶矩阵
它的四个分量
分别是3/4 3/4 1/4和1/4
从而我们无需借助计算机
也可以对人口迁移问题的
长期发展状态进行预测
得到城市人口长期发展的
结果是总人口的3/4
而郊区人口是总人口的1/4
进一步分析
我们会发现
上述讨论的关键在于
验证了矩阵A
在相似意义下等于对角阵Λ
于是我们就提出了
这样的一个问题
即任意给定一个n阶方阵A
是否存在可逆阵P与对角阵Λ
满足上述相似关系
如果存在
如何确定可逆阵P和对角阵Λ
实际上
由本节开始的讨论
我们就知道
当A有n个互不相同的
实特征值的时候
满足上述关系的
可逆阵P和对角阵Λ是存在的
并且对角阵Λ
包含了A的所有特征值的信息
可逆阵P包含了
A的所有特征向量的信息
而这
正是我们引入特征值
和特征向量的概念的原因之一
我们将在下一讲中
详细讨论方阵的
相似对角化问题
本讲小结
在本讲中
我们首先从一种特殊情况入手
引入两个矩阵相似的概念
即存在可逆阵P使得P逆AP=B
我们说明了相似关系是
同阶矩阵集合中
一种等价的关系
其次
我们讨论了相似矩阵的若干基本性质
我们发现相似的矩阵有很多共同点
例如相似的矩阵具有相同的秩及可逆性
相似的矩阵有相同的特征多项式
相同的特征值
相同的行列式与相同的迹
但是需要特别注意的是
相似矩阵的特征值虽然不变
但是对应的特征向量是不同的
我们推出了两个特征向量之间
相差一个可逆阵P的逆
最后我们用相似矩阵的方法
讨论了本章初提出的人口流动问题
从中引出矩阵相似对角化的问题
对于这一问题
我们将在下一讲中详细讨论
本讲的内容就到这
再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
