当前课程知识点：简明线性代数 > 第3章 矩阵 > 3-5 初等矩阵 > 3-5 初等矩阵
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线性代数先修课
第三章 矩阵
3.5节 初等矩阵
在本节当中
我们将引入初等矩阵的概念
并且介绍初等矩阵的性质
重点呢我们将给出初等矩阵
与初等变换之间的关系
最后呢 我们还将初等矩阵的概念
推广到分块矩阵的情形
首先我们先来回顾一下
矩阵的三种初等变换
第一种叫做倍乘变换
也就是用一个非0数k
乘以矩阵的某一行或者是某一列
用数学符号表示出来就是这样子
其中ri和ci分别表示矩阵的
第i行和第i列
第二种变换我们称为倍加变换
也就是将矩阵的一行或者是
一列的k倍加到另一行
或者是另一列上
用数学符号表示就是这样子
箭头表示替换的意思
第三类变换
我们称为对换变换
也就是交换矩阵的两行
或者是两列的位置
分别用这样的双箭头来表示交换
矩阵的三种初等行变换和
三种初等列变换
统称为矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是
线性代数课程当中
最重要的算法和工具之一
它来源于线性方程组的
三种同解变换
目前我们知道的用途有以下两点
第一 将矩阵化为阶梯形矩阵
第二 化简行列式的计算
当然它的作用并不局限于此
在本门课程当中
它还有很多重要的应用
表示方法如下
若矩阵A经过初等变换变为矩阵B
则我们用这样的数学符号
来表示这个变化的过程
其中箭头上下侧表示具体的变换
或者 也可以把具体的变换省略
但是 经过变换以后
大家一定不能把它表示成A=B
因为经过变换后
矩阵的形式和分量发生了变化
因此它不满足两个矩阵相等的条件
我们的问题就是
如果矩阵A经过一次
初等变换变为矩阵B
那么A与B之间究竟有何种关系
换言之
也就是如果你非要在
矩阵A和B之间画上一个等号的话
那么应该再补上一个什么量
为此 我们首先先来引入
初等矩阵的概念
定义1
单位矩阵I经过一次初等变换
所得到的矩阵
我们就称为初等矩阵
由于我们有三种初等变换
所以我们先来看
单位矩阵经过倍乘变换后
所得到的矩阵
首先 我们先来看
把矩阵I的第i行乘以非0数k
也就是对I做倍乘变换后
所得到的矩阵
是这样的一个矩阵
我们把它记为Ei k 的形式
并且把这样的一个矩阵
称为倍乘矩阵
那么另外一方面这个矩阵
也可以看成是单位矩阵I的第i列
乘以非0数k之后所得到的矩阵
其次 我们来看单位矩阵I
把它的第i行的k倍
加到第j行上所得到的矩阵
是这个样子
我们首先做下标记
这是第i行 这是矩阵的第j行
那么对应的这是第i列
那么这是对应的第j列
于是 这个倍加所乘以的
这个倍数k就落在
第 j 行第i 列的位置上
我们把这样的一个矩阵呢
记为Ei j k 的形式
并且把它称为倍加矩阵
另一方面 我们也可以看到
这个倍加矩阵实际上
也是将单位矩阵I的第j列的k倍
加到第i列所得到的矩阵
特别说明一下
在倍加矩阵Ei j k 当中
这个k的位置正好在第j i分量上
也就是第j行第i列上
正好这个下标的顺序
正好和倍加矩阵的下标顺序相反
接下来我们再来看
第三种初等变换作用在单位阵上
假设我们把单位阵I的
第i行和第j行交换
所得到的矩阵就是这样的一个矩阵
这是第i行和第j行
经过交换以后就得到了这样的矩阵
并且我们把这样的矩阵记为Ei j
表示第i行和第j行进行交换
并且把它称为对换矩阵
另一方面
我们也可以把对换矩阵看成是
把单位阵交换第i列和第j列
所得到的矩阵
接下来我们来讨论初等矩阵的性质
首先我们先来看初等矩阵的转置
由于倍乘矩阵Ei k
是一个对角矩阵
所以很容易知道
它的转置就等于它自己
那么对于对换矩阵
很容易发现它是一个
关于主对角线对称的矩阵
这样的矩阵 我们称为对称阵
它的转置是等于它自己的
所以倍乘矩阵
对换矩阵转置不变
并且它们转置之后仍然为初等矩阵
下面我们来讨论倍加矩阵
假设指标i<指标j
于是我们知道
倍加矩阵就是这样子的
一个下三角形矩阵
其中k正好落在
第j行第i列的位置上
那么对这个矩阵
进行转置之后 我们就知道
它是根据主对角线作对称
于是k的位置就变到了
第i行第j列的位置
那么根据倍加矩阵的定义
这正好就是另一个倍加矩阵
所以我们就给出了这样的一个等式
倍加矩阵转置之后
仍然为倍加矩阵
但是下标的顺序要交换一下
下面我们来计算一下
初等矩阵的行列式
很容易知道
倍乘矩阵和倍加矩阵
它们是对角阵和下三角阵
它们的行列式都等于
主对角线上元素相乘
于是倍乘矩阵的行列式等于k
其中我们要求k≠0
而倍加矩阵的行列式等于1
下面我们来讨论对换矩阵
由于对换矩阵大多数分量都等于0
所以我们用定义的方法
来计算行列式
说明一下
我们这里用定义方法来计算
另一个目的
是为了将来用初等矩阵的方式
再去验证行列式的性质
那么根据行列式的定义
不同行不同列的选取原则
我们会发现展开式当中
只有这一项不等于0
其中除了第i行第j列
以及第j行第i列上的元素以外
其他元素均取自主对角线
由于这里的每一个a都等于1
所以关键就是计算前面的逆序数
那么由于i和j的顺序交换了
所以计算结果等于-1
接下来我们来看初等矩阵的分块表示
假设ei是这样一个列矩阵
将来我们也把它叫成列向量
其中它只有第i位是等于1
其他位置上全都等于0
那么 由这样的定义
我们就可以知道
n阶单位阵就可以表示成
这样按列分块的方式
或者是表示成这样按行分块的方式
从而由初等矩阵的定义
我们就知道
对换矩阵就是交换单位矩阵In的
第i列和第j列之后所得到的矩阵
因此我们很容易地
把它的列分块方式写出来
是这个样子
其中对比这两个列分块方式
我们会发现它们只有
第i列和第j列上的位置进行了交换
那么由于对换矩阵的行列对称性
我们也可以得到它的行分块方式
下面来看倍乘矩阵
根据倍乘矩阵是由
单位阵的第i列做数乘所得到的矩阵
因此我们也可以写出
倍乘矩阵按列的分块方式
是这个样子
其中它只有第i列做了一个
统一的数乘
最后 我们来看倍加矩阵
根据倍加矩阵的定义
我们可以把它写成按行分块
以及按列分块的方式
好 有了上述初等矩阵的基本性质
下面我们来讨论本节的重点
也就是初等矩阵与
初等变换之间的关系
我们回顾一下我们本节的主要问题
也就是如果矩阵A
经过一次初等变换变为矩阵B的话
那么A与B之间有何种关系
我们考虑用初等矩阵分别
左乘和右乘任意可乘的矩阵
首先我们用倍乘矩阵左乘一个矩阵A
这里我们假设矩阵A是m行n列的
那么要可乘的话
就要求这个倍乘矩阵是一个m阶方阵
具体表示出来是这个样子
由于我们之前讲过
左乘以一个对角阵相当于
对每一行做对应的倍乘变换
所以计算结果就相当于
对A的第i行进行了一个k倍的倍乘
所以左乘倍乘矩阵Ei k 相当于
对矩阵A的第i行做一个
k倍的倍乘变换
反过来
我们在矩阵A的右侧乘以倍乘矩阵
由于A是一个mxn阶的
所以这个时候的倍乘矩阵
应该选取那个n阶的倍乘矩阵
具体表达出来是这个样子
由于右乘以一个对角矩阵
相当于对原矩阵的每一列
进行一个列的倍乘变换
所以计算结果是这个样子
也就是说 右乘倍乘矩阵Ei k
相当于对矩阵A的
第i列做k倍的倍乘变换
综上我们把左乘和右乘都表示出来
就可以得到
左乘或者是右乘一个倍乘矩阵
等价于对矩阵A的第i 行
或者是第i列
做对应的倍乘变换
好 下面我们还是假设ei
表示这样的一个列向量
于是 单位阵和对换矩阵
都有这样的列表示
从而我们可以把单位阵
按列拆分之后
再用A左乘它
相当于把A乘到每一列上
那由于等式又等于A
从而我们说明了A乘以ei
相当于A的第i列
类似地
我们可以把Im按行来拆分
计算结果等于这样
从而这个式子说明了
ei 的转置乘以A呢
等于A的第i行
用这样的观点
我们下面来讨论矩阵A
左乘以一个对换矩阵
具体地表示出来
同样由于A是一个mxn阶矩阵
所以我们要求这个对换矩阵
是一个m阶方阵
把它按行的方式分块以后
计算结果是这样子
根据我们刚才讨论
这个ei的转置乘以A呢
正好就对应了A的第i行
所以这个矩阵相当于
把原来矩阵的第i行和第j行
进行了一个对换
所以左乘对换矩阵Ei j
相当于对矩阵的
第i行和第j行做对换变换
反过来 我们也可以考虑
矩阵A的右侧乘以对换矩阵
那么这个类似地
我们要求这个时候
对换矩阵是一个n阶方阵
那么对对换矩阵按列分块之后
有这样的计算结果
那么从而我们就知道了
计算结果相当于对矩阵的
第i j两列做了一个对换变换
综上 我们把左乘和右乘
都表示出来
就有这样的一个数学表达式
最后 我们考虑倍加变换
与倍加矩阵的乘积
如果我们把矩阵A的左边
乘以倍加矩阵
与前面类似
我们首先先把倍加矩阵按行分块
接着 再把A乘到每一个块上
对于这个带括号的这一项
再把它乘到括号里面来
就得到了这样的一个结果
根据划红线的这个式子
我们就知道左乘以
倍加矩阵Ei j k
相当于对A做第i行的k倍
加到第j行上的倍加变换
反过来 A的右侧乘以倍加矩阵
类似地我们也可以
把倍加矩阵按列分块
计算结果是这样
于是这个式子告诉我们
右乘倍加矩阵Ei j k
相当于对矩阵A做第j列的k倍
加到第i列上的倍加变换
综上 我们把它表示成
这样的数学算式
我们需要说明的是
如果是左乘倍加变换
就相当于按其下标从左到右做倍加
也就是左边的第i行乘以k倍
加到右边下标 也就是第j行上
如果是右乘倍加变换
就相当于其下标从右到左做倍加
也就是右边的下标第j列的k倍
加到左边的下标
也就是第i列的上边
得到的倍加变换
下边我们利用初等矩阵与
初等变换的关系
以及初等矩阵的行列式
再一次来验证行列式的几条性质
首先我们先来验证
行列式的逐行保数乘
如果我们把一个方阵A
经过一个倍乘变换变成方阵B
那么我们就知道它等价于
对矩阵A左乘以倍乘变换
对这个式子两边取行列式
我们就知道了B的行列式
就等于A的行列式的k倍
于是我们就验证了
行列式的这条性质
下面来验证交错性
也就是交换行列式的两行
行列式的值取反
首先我们假设交换方阵A的
i j两行之后得到了方阵B
那么它等价于对方阵A
左乘以对换矩阵Ei j
得到矩阵B
那么对这个式子两边
同样取行列式
利用对换矩阵的行列式
等于-1这一点
我们就知道了
这两个行列式之间差一个-1
最后我们来验证倍加不变性
如果我们对方阵A做这样的
一个倍加变换得到了方阵B
那么它等价于对方阵A
左乘以倍加矩阵得到方阵B
那么对这个等式两边同样取行列式
再利用倍加矩阵的行列式
等于1的性质
就可以得到A和B的行列式相等
把我们刚才的讨论总结一下
就得到了如下的定理1
即用初等矩阵左乘矩阵A
相当于对A进行一次
相应的初等行变换
用初等矩阵右乘矩阵A
相当于对矩阵A进行一次
相应的初等列变换
那么我们给出一个简单的口诀
即 左行右列做变换
本节的最后
我们把初等矩阵的概念推广到
分块矩阵的情形
我们说
对分块矩阵同样可以引进
初等变换和初等矩阵的概念
下面我们只以分成四块的情形
进行简单的解释
假设矩阵M可以分成A B C D
这样一个四块的分块矩阵的情形
下面我们去定义
对分块矩阵M的三种变形
并且把它们统称为
分块矩阵的初等变换
第一种变换叫做倍乘
即是用特定的矩阵P左乘以
M的某一行
第二叫倍加
即用矩阵Q乘以M的某一行
或者是某一列再加到另外一行上
第三 交换M当中的两行或者是两列
我们对定义2作如下说明
这里我们要加上一个
假定运算满足可行性的原则
第二 这里加引号的行和列
表示由子块组成的行和列
第三 我们提出一个问题
对应于一般倍乘变换和
倍乘矩阵当中的k≠0这个条件
那么对于分块情形
这个矩阵P的特定要求
到底是什么样的要求
类似于普通的初等矩阵
我们也可以得到如下的定义
定义3 将单位矩阵分成
如下准对角矩阵的情形
那么对其进行一次初等变换
得到的分块矩阵就称为
分块初等矩阵
具体 我们得到了如下的
三类分块初等矩阵
第一 分块倍乘矩阵
是这个样子
第二 分块倍加矩阵
是这个样子
第三 分块对换矩阵
是这个样子
其中我们要求
矩阵P满足一定条件
那么对于分块矩阵的初等变换
和分块初等矩阵也有如下的关系
也就是定理2
定理2
对分块矩阵进行一次初等行列变换
相当于对它进行左乘或者是
右乘一个相应的分块初等矩阵
下面我们来证明它
由于这里对应的都是
2阶的分块矩阵
所以我们可以直接进行验证
首先先验证倍乘
根据矩阵的乘法原则
我们会发现
由于这里的第2行和
单位矩阵的第2行一样
所以乘积之后第2行保持不变
而这里的第1行是这个样子
所以它相对应于对第1行
做一个左乘P的倍乘变换
同样 对于这个等式
我们第1行和单位阵第1行一样
所以第1行保持不变
而对于第2行
相当于对矩阵的第2行
做左乘P的倍乘变换
下面我们来验证倍加变换
同样我们用黄线表示和
单位阵相同的行
因此做左乘这样一个矩阵
第2行保持不变
而第1行就对应了
把第2行左乘以Q之后
加到第1行上
得到的矩阵 是这样子
同理 对于左乘这个初等变换
也是黄色保持不变
而红色表示做倍加
对于对换矩阵 可以直接验证
就相当于交换其第1行和第2行
同样道理
我们也可以逐一地去验证列变换
黄色表示不变 而红色表示做变换
对于这样2x2的初等分块矩阵
我们在本门课程当中有很多应用
比如行列式当中的第二打洞法
以及之后我们会介绍的
分块矩阵的求逆
都需要我们用到
分块矩阵的初等变换
和分块的初等矩阵
本讲小结
在本讲当中
我们引入了初等矩阵的概念
具体为倍乘矩阵
倍加矩阵和对换矩阵
初等矩阵是由单位矩阵经过一次
对应的初等变换所得
我们讨论了初等矩阵的性质
并进一步验证了
对一个矩阵的初等行变换
就等价于该矩阵左乘对应的初等矩阵
同样对一个矩阵的初等列变换
就等价于该矩阵右乘对应的初等矩阵
初等变换是操作方法
左乘右乘初等矩阵是数学运算
因此 我们本讲的核心内容就是
用初等矩阵的数学运算
准确清楚地把初等变换
这一操作方法刻画出来
进一步
我们还把初等矩阵的概念
和结论推广到了分块矩阵的情形
最后 在分块倍乘矩阵中
及其中的子块P
要求为特定矩阵
这个要求到底是什么样呢
这就是我们下一讲
要给大家介绍的可逆矩阵的内容
好 本讲的内容就到这儿
我们下讲 再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
