1-3 线性方程组解的判定在线视频

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线性代数先修课

第一章 线性方程组

1.3节 线性方程组解的情况的判定

在本讲当中

我们将引入阶梯形矩阵、简化的阶梯形矩阵的概念

以及线性方程组解的情况的判定定理

好，首先我们先来回顾下上一讲

在上一讲当中

我们介绍了线性方程组的一般解法

也就是Gauss消去法

那对于一个一般的m个方程、n个未知数的线性方程组

我们用线性方程组的初等变换，对它进行同解变换

这里的初等变换就是对换、倍乘和倍加

我们把这样的方法叫做Gauss消元法

另一方面呢

通过引入增广矩阵的概念

我们把线性方程组等价地表示成为增广矩阵

于是，对线性方程组的初等变换

就等价于对增广矩阵的初等行变换

那么，我们要提出的问题是:Gauss消元法什么时候停止?

增广的系数矩阵在Gauss消元法下最终

的形态是什么样的?

这就是我们本讲要介绍的内容

为了回答这个问题

我们需要引入如下的两个概念：定义2.1

一个矩阵若满足下列条件

则称其为阶梯形矩阵

一、矩阵若有零行

即元素全为零的行

则零行一定全在矩阵的下方

二、对于矩阵的每一个非零行

从左起第一个非零元素，称为此行的主元

那么，我们的第二个条件就是:矩阵下面行的

主元所在的列，一定在上面行主元所在列的右端

满足这两个条件，我们就称(它)为阶梯形矩阵

为了理解这个定义

我们下面来看几个例子

这是两个矩阵

我们首先先来看

它的零行全在下方

其次，我们可以看在第一个矩阵里边

第一行中的1以及第二行中的2，分别为两个主元

那么，第二行的主元确实是在第一行右边

于是，我们画上这样一条阶梯形的曲线来表示

这确实是一个阶梯形矩阵

用同样的方法，我们也可以看到

第二个矩阵也是阶梯形矩阵

它的主元分别为1、6和1

下面，我们再来看第三个例子

请大家来看一下，这个矩阵是不是阶梯形矩阵？

我们沿着零的位置，画了一条这样的阶梯形曲线

那有同学会说

这确实也是一个阶梯型啊

可是，根据我们的定义

它的第二行的主元和第三行的主元，位置没有发生变化

所以，这不是一个阶梯形矩阵

换言之

也就是说：如果一个矩阵是阶梯形矩阵

则它的主元前面的零一定要严格地增加

如果没有严格地增加

这个不是阶梯形矩阵

好，有了阶梯形矩阵

我们进一步引入简化的阶梯形矩阵的概念

定义2.2

一个阶梯形矩阵如果满足下列条件

则称其为简化的阶梯形

第一、主元都是1

第二、每个主元所在的列中

除主元以外

其他的元素都是零

那满足这两个条件的一个阶梯阵

我们就把它称为简化的阶梯阵

同样，我们还是来看一个例子

首先，先检查它是不是一个阶梯形矩阵

通过零的位置

我们画出这样一条阶梯形曲线

确实，这是一个阶梯矩阵

第二，我们来看它的主元所在的位置

经过检查

它的主元正好就在前r列

也就是r个1

第三，我们来看主元所在的列中

除了主元以外是不是都是零元素

经过检查我们发现确实是这样

因此，这是一个简化的阶梯形矩阵

好，有了这两个概念以后

我们可以来回答在本节初我们提出的问题

也就是：Gauss消元法的终极形态是什么样

好，我们的结论如下

命题2.1

任何一个矩阵A都可以通过矩阵的初等行变换

化成阶梯形矩阵

进而，可以再化为简化的阶梯形矩阵

下面，我们来证明这个结论

我们的方法是用归纳法

我们对矩阵A的行数m做归纳

当m等于1时

A已经是一个阶梯形矩阵

结论成立

二，设结论对m减1行的矩阵成立

则对任意m行的矩阵来说

若A的每个元素都为零

则A是阶梯形矩阵

若A中有非零元素

则取列指标最小的一个非零元素

设它在第j列

于是，A的第1到第j-1列上的元素都为零

由于可以进行行对换

所以，我们可以假设a_1j不等于零

也就是可以把非零元素换到第1行

对于任意2到m行

我们把A的第1行做合适的倍数加到第2到第m行上

这样得到的矩阵，我们假设为B

则这个矩阵B的第j列上除了第1行的元素以外，其他全部为零

也就是说矩阵B可以表示成这个样子

设B的后m-1行作成的矩阵为B_1

也就是黄色框里的为B_1

则B_1为m-1行的矩阵

那么，由我们的归纳假设

B_1可以通过初等行变换化成阶梯形矩阵

再加上B的第1行，得到的这个矩阵仍然为阶梯形矩阵

也就是矩阵A通过初等行变换可以化为阶梯形矩阵

于是，我们就证明了命题2.1的第一个结论

进一步，把A通过初等行变换化成阶梯形矩阵后

把非零行乘以适当的非零倍数可把主元素变成1

再从最后一个主元开始

把它所在的行做适当的倍数加到其他非零行上

可把它上方的元素全部变成零

以此类推

于是，我们就可以把一个阶梯形矩阵化成简化型的阶梯矩阵

于是，我们就证明了这个结论

回顾一下

我们在上一节中提出的线性方程组的几个基本问题

下面，我们可以通过Gauss消元法来解决前三个问题

我们的结论如下

下面讨论线性方程组的解的情况

只需考察矩阵B对应的线性方程组的解

第一种情况

若阶梯形矩阵B有一个主元在最后一列

即矩阵B中除全零行以外

最后一个非零行形状如下

其中，最后一个元素d不等于零

我们把这个行表示成一个线性方程组的形式

就是这样的一个线性方程组

这个我们很容易发现

不管x_1，x_2，…，x_n取什么样的值

这个方程组都不可能成立

也就是说这个方程无解

也就是原方程组无解

这是第一种情况

第二种情况

若矩阵B的主元都不在最后一列

这时，设矩阵B有r个非零行，也就是说有r个主元

这里，我们很容易知道r要小于等于n

接下来，我们分两种子情况来讨论

第一种子情况

若r等于n时

这时，前n列上每一列都有一个主元

于是，这个时候矩阵B可以表示成这个样子

那么再经过初等行变换

我们可以把矩阵B化成简化的阶梯形矩阵

也就是矩阵C的样子

好，那么这个矩阵我们把它写成线性方程组的形式

就可以得到方程组有唯一的一组解

也就是x_i等于c_i，对于所有的i等于1，2一直到n

下面，我们来看第二种子情况

也就是r严格地小于n时

这个时候，我们不妨设主元所在的列为前r列

也就是说，阶梯形矩阵B表示成这个样子

那么，经过初等行变换我们可以把它

化成简化的阶梯形矩阵C的样子

通过C的形式我们可以直接

写出方程组的一般解为如下的形式

好，下面我们来具体地解释一下怎么从

简化的阶梯形矩阵来给出线性方程组的一般解

左边是简化的阶梯形矩阵

我们可以看到主元素所在的列

也就是第1到第r列对应的就是主变量

也就是主变量为x_1 x_2一直到x_r

而最后一列对应的是线性方程组一般解的常数项

那么，除此之外的其他列对应的正好就是

线性方程组的自由未知量

也就是在这种情况下，x_{r+1}一直到x_n就是自由未知量

那么，这些列当中的前r个元素取上负号以后就

正好对应了一般解当中这些自由未知量的系数

总而言之

线性方程组的一般解的所有信息都已经包含在

简化阶梯形矩阵当中了

把我们刚才的推导总结成结论

就是我们的定理2.1

设含n个未知量的线性方程组的增广矩阵为A一罢

对A一罢作初等行变换化为阶梯形矩阵B

若B有一个主元素在最后一列

则方程组无解

若B的主元都不在最后一列

则方程组有解

进一步

若这时主元个数r等于n

则方程组有唯一解

若这时r小于n

则方程组有无穷多组解

更进一步

在方程组有解的时候，如果我们继续用

初等行变换把阶梯形矩阵B化成

简化的阶梯形矩阵C

那么，由我们刚才的推导我们知道

可以直接地写出所有的解

这就是Gauss消元法完整的流程图

下面，我们还是来看一个具体的例子

我们就以上一讲当中我们讲过的例题2.3为例

这是一个具体的四元一次方程组

经过若干次初等行变换

我们可以把增广系数矩阵化成

这样的一个阶梯形矩阵

我们来检验这个阶梯形矩阵

它的主元素不在最后一列

因此它有解

进一步检验

主元素的个数为2

它小于未知量的个数4

所以这个方程组一定有无穷多个解

进一步，通过初等行变换

我们把它化成简化的阶梯形

我们这时候可以看到，两个主元素1分别在第1列和第3列

于是，x_1和x_3对应的就是主变量

而x_2和x_4就是自由未知量

那么，这个矩阵的最后一列可以提供

一般解的常数项，也就是五分之十一和五分之二

那么，自由未知量的系数可以由

第2列和第4列的前两个元素加上负号以后得到

于是，我们就得到了这个线性方程组的一般解

从这个例子当中，我们也可以看到

最后所化简得到的简化阶梯形矩阵当中

已经包含了一般解的所有信息

在本讲当中

我们介绍了阶梯形矩阵

简化阶梯形矩阵

主元素

主变量，以及自由变量的概念

通过这些概念

我们可以把Gauss消元法对线性方程组的

求解以及判断解的形式的这个过程描述得更加准确

更加清楚

进而，我们可以给出线性方程组解的情况的判定定理

也就是我们的定理2.1

在整个的推导过程中

我们的基本思想就是用初等行变换

把增广系数矩阵化成阶梯形矩阵，或者简化的阶梯形矩阵

从而，实现对线性方程组解的情况的判定和求解

本讲的内容就到这

我们下讲再见