7-1 特征值与特征向量在线视频

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线性代数先修课

第七章 矩阵的特征值理论

7.1节 矩阵的特征值与特征向量

在本讲中

我们将从一个实际的问题入手

引入方阵的特征值

和特征向量的概念

并介绍特征值与特征向量的

几个基本问题

其中我们将重点讨论

特征值与特征向量的计算问题

给出它们的求解步骤

本章的开始

我们先来看

一个实际的应用问题

例1 人口流动问题

假设某城市的总人口固定不变

我们把它记为c

开始时市区人口数为x0

郊区人口数为y0

于是x0+y0=c

如果今后

每年都有5%的

市区居民搬到郊区

而有15%的

郊区居民搬到市区

那么我们的问题就是

就是20年以后

该是市区和郊区的

人口各为多少

第二个问题

请对该市长期的

人口分布做出预测

下面我们就来

分析下这个问题

首先我们

要找出第n年和第n+1年

市区和郊区人口的关系

然后根据递推关系得到

第20年和开始时也就是第0年的

人口数的关系

进而

我们对充分大的n

根据第n年与第0的

人口数的关系

预测长期的人口分布规律

下面我们就来

具体求解这个问题

设第n年市区人口数与郊区人口数

分别为xn和yn

则根据题意

xn+1 yn+1与xn yn

就有如下的一个关系式

也就是xn+1=0.95xn+0.15yn

它们表示第n+1年的市区人口

它等于第n年市区人口的95%

再加上第n年郊区人口的15%

那么同样的道理

yn+1=0.05xn+0.85yn

那么我们把这个式子

表为矩阵的形式

就有这样的形式

其中我们

把黄色方框里的记为A

于是整个就可以表为

xn+1 yn+1这个二维列向量

等于A乘以xn yn这个二维列向量

于是反复地利用上述关系

我们就可以得到如下的递推关系式

也就是xn yn等于A的n次方

再乘以x0 y0

从而我们也就得到了

第n年的人口数和刚开始时

也就是第0年人口数之间的关系

于是这个问题的求解关键

就是如何去

计算一个矩阵的n次方

然而

手动计算A的高次方

并不是一件容易的事情

比如说

这道题里面

我们需要计算A的20次方

于是借助计算机

我们可以得到

这样的一个近似的结果

进一步做近似

我们就发现

A的20次方约等于这样的

一个由4个分数组成的矩阵

因此

利用刚才那个递推式

我们就可以得到

x20和y20构成的二维列向量

就等于A的20次方

乘以x0和y0这个列向量

计算结果是这样

再利用x0+y0=c

我们就得到了这样的结果

也就是说20年之后

市区人口约等于

刚开始总人数的3/4

而郊区人口约等于

刚开始总人口的1/4

借助计算机

我们对更大的n进行数值计算

可以得到

xn和yn在n充分大的时候

也趋近于3/4c和1/4c

下面我们提出一个问题

也就是是否有方法

可以让我们不需要依赖计算机

也可以计算A的n次方

并对长期的人口分布进行预测

我们的回答是肯定的

但是需要大家

先来学习本章即将介绍的内容

为了解决上述问题

我们将引入

特征值与特征向量的概念

定义1 设A为n阶方阵

若存在数

λ以及n维非零的列向量X

使得AX=λX

我们把这个式子记为式1

也就是说如果

有A、X和λ满足式1的话

我们则称λ是A的特征值

而X是A的属于

特征值λ的特征向量

对于定义1

我们做以下3点的强调

第一点强调就是

该定义只是用与方阵的情形

第二点强调就

是特征向量一定要求是非零向量

第三点强调就是

特征向量是有附属性的

说到特征向量

一定要指明

它是哪个特征值的特征向量

为了增加大家的感性认识

我们先来看两个最简单的例子

对于零方阵大O

我们很容易知道

0即为其特征值

而所有非0的列向量

都是属于特征值0的特征向量

而对于n阶单位阵In

很容易通过1式来验证

1为其特征值

而所有非零列向量都是

属于特征值1的特征向量

进一步我们对定义1

还有如下两点说明

第一 特征值与特征向量

是成对绑定出现

也就是说有特征值

一定就有特征向量

反之亦然

但是它们俩之间

有从属关系

也就是我们刚才

强调的第三点

特征向量是属于

某一个特征值的

第二点说明是特征向量

必须要非零

但是特征值可以为0

比如说刚才

零方阵的例子就是这样子的

特征值与特征向量的定义

并不是凭空想象出来的

而是具有具体的

几何意义与实际意义

例如当今网络搜索中

如果大家输入电脑和计算机

这两个词

搜出的相关结果

几乎是相同的

如果究其原因

其实是后台算法

将这两个词出现的语境列为

两个很大的矩阵

进而计算

这两个矩阵的特征值

发现它们的特征值几乎相同

故认为它们表示同样的含义

从而列出

几乎相同的搜索结果

而这说明了特征值反映了

一些事物的本质特征。

在几何方面

特征向量对应了

映射作用下某种不变量

也就是所谓的不变子空间

而特征值对应了

这个不变集合上的

共同特征量

而这一点我们将在

第八章当中详细讨论

另外特征值与特征向量的问题

还可以引出

矩阵对角化的问题

从而给出计算

A的k次方的理论方法

此外

在数学的其他分支

以及其他学科当中

比如说

微分方程数值解

矩阵函数

物体与波形的固有频率等等

在很多实际问题中

特征值与特征向量

都有非常重要的应用。

下面我们来看

特征值与特征向量

的几个基本问题

对于给定的n阶方阵A

我们有如下的

问题有待讨论

第一个问题即存在问题

也就是A是否存在

特征值与特征向量

第二个问题个数问题

也就是A若存在

特征值有多少个

对于A的一个特征值

属于它的特征向量共有多少个

第三个问题计算问题

也就是能否给出方法计算出

A所有的特征值与特征向量

第四个问题关系问题

也就是A的

各个特征值之间有何关系

属于A的不同特征值的

特征向量有何关系

第五个问题结构问题

也即属于

A的同一个特征值

的特征向量

组成的集合结构如何

下面我们就重点讨论

特征值与特征向量

的计算问题

首先我们

来试算一个简单的例子

例2 设A等于这样的一个二阶方阵

请求它所有的

特征值和特征向量

首先我们

假设λ是A的一个特征值

而属于λ的一个特征向量

我们把它设为X

于是根据定义

它们应该满足AX=λX的形式

我们带入以后

就有这样的一个结果

进一步我们把它表示为

线性方程组的形式

就可以把它表示成为

关于x1与x2的

含参的齐次线性方程组

而且参数就是λ

这是一个两个未知数两个方程的

齐次线性方程组

按定义x1 x2构成的

向量就是特征向量

那么特征向量是非零向量

于是要求上述

齐次线性方程组有非零解

而这就等价于

它的系数矩阵的行列式要等于0

也就是我们

把这个行列式展开以后

就等于λ-2乘以λ-3

要等于0

于是我们就可以知道

只有两个数可能会

让这个式子等于0

也即λ1=2和λ2=3

而这两个数就是

A的两个特征值

下面我们分别来

求解属于

特征值2与特征值3的特征向量

对于第一个特征值λ1=2

我们将其带入到

齐次线性方程组当中

就可以得到这样的

一个线性方程组

求解这个方程组

就可以得到属于2的

特征向量就是等于

这样的形式

当然其中由于

特征向量是不等于0的

因此我们

这里要求系数k

是任意的非零常数

而对于特征值3

我们将其带入到

齐次线性方程组之后

就得到这样的一个方程组

求解这个方程组

就可以得到属于

特征值3的特征向量

是这样的一些向量

其中我们同样

要求k是非零的常数

在本例当中

我们发现些规律

但是对于一般的矩阵

是不是也有

类似的方法和规律呢

下面我们就来

展开一般的讨论

假设我们

给定一个n阶方阵A

它的分量用小aij表示

设A的特征值λ与特征向量

X是存在的

则有如下的1式成立

对于1式

我们把右边移到左边

并合并之后

就可以得到一个等价的式子

也就是这样形式的

矩阵和向量乘积的一个等式

在把它展开以后

实际上就得到了

形如式2的这样的

一个齐次线性方程组

这个线性方程组

有n个未知数n个方程

其中λ是一个参数

由特征向量X是存在的

那么我们就知道

齐次线性方程组2

就一定有非零解

而这又等价于

2的系数矩阵的行列式要等于0

也就是λI-A的行列式要等于0

我们可以把这个行列式

写成具体的n乘n的形式

就是这样

我们把这个式子称为第3式

刚才的推导说明

A的所有特征值

一定要满足3式

反过来

如果满足3式的一个数λ

也一定是A的特征值

那么求属于这个特征值的

所有特征向量

只需将λ代数2式

求出齐次线性方程组的

所有非零解即可

特别地

对于上述3式

左边的含参的行列式

我们有如下的定义

也就是定义2

其中我们把这个n阶行列式

展开以后很容易发现

它是一个关于λ的n次多项式

于是我们把这个多项式称为

矩阵A的特征多项式

于是求

求给定矩阵A的特征值

就相当于

求A的特征多项式的根

故此

特征值在有的时候

也叫做特征根

其中一个特征值λ

作为特征多项式的根的重数

我们就把这个重数称为

特征值λ的代数重数

根据以上讨论

我们可以把对于给定方阵A的

特征值与特征向量的

计算步骤整理如下

第一步

计算A的特征多项式

具体操作就是进行

一个含参的行列式计算

第二步

求出特征多项式的所有根

把它记为λi

它们就是A的全部特征值

这步具体计算涉及到因式分解

或者一元高次方程的求根

第三步

分别把每个特征值λi

代入到齐次线性方程组λI-A

再乘以X等于0

求出它的基础解系

并确定它的解空间

其中解空间当中所有的非零向量

就是A的属于λ的全部特征向量

这一步涉及到的具体计算就是

我们熟悉的齐次线性方程组的求解

经过上述的步骤

我们再来讨论

特征值与特征向量的存在问题

由于特征多项式

是关于λ的一个n次多项式

我们知道

它在复数范围内总是有根的

所以在复数范围内

A的特征值总是存在的

于是特征向量也总是存在

关于个数问题

由于特征多项式

在复数范围内

在累计重数的意义下共有n个根

所以在累计重数的意义下

方阵A也共有n个特征值

而我们知道特征向量X

是齐次线性方程组的非零解

有非零解则必有无穷多解

故属于A的同一个特征值的

特征向量有无穷多个

实际上我们也很容易验证

如果X是一个特征向量的话

那么X的非零倍数也就是kX

也同样满足

特征值与特征向量的定义式

从而k倍的X也是特征向量

我们需要说明的是

在本门课程当中

我们只考虑实矩阵A

由于特征向量X是对应的

齐次线性方程组的一个非零解

于是当特征值λ为实数时

对应齐次线性方程组

所解出的特征向量也必为实向量

而另一方面

由定义式我们可以知道

当特征值λ为复数时

对应的特征向量必为复数

那么这种情况超出了

我们本课程的讨论范围

因此我们把问题就集中到

求出A的所有实特征值以

及属于它们的所有实特征向量

下面

我们再来看一个特殊的例子

也就是例3

请大家考虑

这样的一个对角矩阵

其中a1 a2

到an是对角线上的n个元素

我们要求它们

为互不相同的实数

我们要求

求A的特征值与特征向量

于是根据刚才的步骤

我们第一步

先计算其特征多项式

由于这是一个对角矩阵

因此它的

特征多项式非常容易计算

就是这样的n项直接相乘

显然我们就可以

得到它的全部特征值

就是a1 a2

一直到an

也就是主对角线上的n个元素

第二步

对于每一个特征值

我们去计算它的特征向量

也就是把λ=ai代入到

这样的线性方程组

那么代进去之后

我们会发现它所对应的系数矩阵

就是这样的一个对角矩阵

其中我们要求

ai和aj是互不相同的

所以在上述系数矩阵当中

主对角线上只有一个位置是零元素

而其他位置是非零的

这等价于说它有n-1个主元素

从而有n-1个主变量

而自由变量只有一个

于是我们就可以解出

它的基础解系就是一个向量

我们把它记为Xi

而Xi正好就是第i个自然基

因此属于特征值λ=ai的特征向量

也就是第i个自然基的ki倍

其中ki是所有的非零实数

并且i对于1 2一直到n都成立

我们提出一个问题

也就是在本例当中

属于不同特征值的特征向量

显然是线性无关的

这是一个偶然现象吗

还是有更一般的规律

本讲小结

在本讲中

我们从一个具体的问题入手

即简单的人口流动问题

这个问题的求解关键

就是计算方阵的高次幂

为了解决这一问题

我们引入了

方阵的特征值与特征向量的概念

需要注意的是

特征值与特征向量是绑定在一起的

成对出现

但也有从属关系

即特征向量是属

于某一个特征值的

另外特别需要注意的是

特征向量一定是非零向量

接下来

我们提出了

特征值与特征向量

相关的几个基本问题

即存在问题 个数问题 计算问题

关系问题与结构问题

我们重点讨论了计算问题

其中特征值的计算即为

特征多项式的求根问题

而特征向量的计算即为

对应齐次线性方程组的求解问题

对于其他基本问题

我们将在之后的章节进一步讨论

本讲的内容就到这

下讲再见