4-7 矩阵秩的求法在线视频

同学们 大家好

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线性代数先修课

第四章 向量空间

4.7节 矩阵秩的运算律

与相关结论

在本讲当中我们将介绍

有关矩阵秩的更多的性质

包括满秩矩阵

矩阵秩的运算律

分块矩阵的秩

以及矩阵秩相关的其他重要结论

首先 我们先来看满秩矩阵

我们回顾一下上一讲当中

我们由矩阵的秩的定义

我们知道对于一个m乘n型的矩阵

它的秩一定要小于等于它的行数

也要小于等于它的列数

所以秩要小于等于行数m

和列数n的最小数

特别地 当矩阵的秩达到上界

也就是对于上述不等式当中

等号成立的时候

我们有如下的定义

如果秩等于矩阵A的行数m

则称A行满秩

反之如果A的秩等于

A的列数n的话

则称A是列满秩的

进一步如果矩阵A

既行满秩又列满秩

则称A为满秩矩阵

我们对满秩矩阵作如下说明

如果A行满秩

则一定可以推出A的行数

小于等于列数

因此 对应的矩阵一定是

这样矮胖型的矩阵

而对于列满秩矩阵

一定可以推出它的行数

大于等于列数

所以 对应的矩阵一定是

这样瘦高型的矩阵

那么 对于满秩的矩阵

一定可以推出

它的行数等于列数

所以 满秩的矩阵一定是方阵

对于满秩矩阵我们有如下的结论

设A为n阶方阵

则以下命题等价

第一 A满秩

也就是A的秩等于n

它当且仅当A的行列式不等于0

它又当且仅当A是可逆阵

或者A是非奇异阵

它又当且仅当A的n个列向量

或者是行向量线性无关

实际上 条件4也就是

条件1: A满秩的定义

那么条件5跟条件6

分别是用齐次线性方程组

只有零解以及非齐次线性方程组

有唯一解的方式来给出等价描述

对于这个定义

我们只需证明1和2是等价的即可

因为2, 3, 4, 5的等价性

在前面课程当中我们已经了解

下面我们来证明

条件1和条件2等价

首先 如果A是满秩矩阵

也就是A的秩等于n的话

则A的标准型就为单位阵I_n

换言之 也就是存在

可逆矩阵P和Q使得P乘A

再乘Q等于单位阵I_n

那么我们对这个等式两边

同取行列式就可以知道

A的行列式不等于0

从而推出了条件2

反之 如果A的行列式不等于0

则A可逆

于是由可逆矩阵的

充分必要条件我们就知道

A可以等于若干个初等矩阵的乘积

我们假设这些初等矩阵为

P_1,P_2,...一直到P_s

并且可以在等式的最右边

再乘以一个I_n

那么 这个等式等价于说

单位矩阵In通过

若干次初等行变换之后

就可以化成A

那么由于初等变换

不改变矩阵的秩

我们就知道A和

单位阵I_n有同样的秩

也就是它们的秩都等于n

从而推出了A是满秩矩阵

下面我们来讨论

矩阵秩相关的运算律

定理2 设以下运算可行

一 对于矩阵的转置的秩

等于原矩阵的秩

这条性质在我们

引入矩阵秩的时候

就利用k阶子式的行列式的

行列等价性给出了说明

第二

对于求逆运算我们知道A的逆的秩

也等于A的秩

第三 对于加法我们有如下的不等式

即A的秩加上B的秩

小于等于A+B的秩

第四 对于矩阵的乘法

也就是矩阵A乘以B

我们有如下的两个不等式

分别给出了乘积矩阵的

秩的上界和下界

下面我们来分别证明

这四条运算律

第一条 我们已经证明了

下面来看第二条

由于矩阵A可逆

则根据刚才的定理1

我们可以推出A是满秩矩阵

那么同理A的逆也是可逆矩阵

从而A逆也是满秩矩阵

因此它们的秩都等于n

对于三 加法

我们首先先将A与B按列分块

假设A的列为

α1,α_2,...一直到α_n

而B的列为

β_1,β_2,...一直到β_n

于是我们就得到

A+B就对应到A和B的

每一个列对应相加

那么上面这个等式说明了

A+B的列向量集合可以由

列向量组α_1, α_2,...到α_n

以及β_1, β_2,...直到β_n线性表出

根据向量组的线性表出的数量关系

我们就知道

A+B的秩等于A+B的列秩

而A+B的列秩

又小于等于A的列向量

并上B的列向量

所得到的这一组向量的秩

进一步我们不妨设

α_1,α_2,...到α_r是A的列向量组的

极大线性无关组

那么又不妨设

β_1,β_2,...到β_s为B的列向量组的

极大线性无关组

那么刚才说的那个A的列向量

并上B的列向量

得到的那个向量组就可以由

它们的极大无关组的并来线性表出

所以根据表出关系

我们又有这样的一个不等式

也就是合并之后的列向量组的秩

要小于等于两个极大无关组

并起来的数量也就是r+s

那么r+s正好就是

A的秩加上B的秩

从而我们证明了

关于矩阵的加法的秩的不等式

下面我们来证明第四条结论

也就是关于乘积矩阵的秩的结论

首先我们先把A按列来分块

也就是设它的列为

α_1,α_2,...到α_n

然后我们再对乘积矩阵

A乘B按列分块

并且设它的列为

γ_1,γ_2,...到γ_s

并且设矩阵B的分量为b_{ij}

于是根据分块矩阵的乘积的关系

我们可以写出γ_1等于

α_1,α_2,...到α_n的

这样的一个线性组合

同样的方法我们也可以把

γ_2,...一直到γ_s都表示成

α_1,α_2,...到α_n的线性组合

而γ_j的组合系数

又正好对应了矩阵B的第j列

说明了向量组γ_1,...到γ_s

可以由向量组α_1,...到αn

线性表出

那么根据线性表出的数量关系

我们就得到了这样的一个等式

从而证明了A的秩

要大于等于A乘B的秩

同样的道理

我们也可以证明B的秩

大于等于A乘B的秩

从而我们得到这样的一个结论

也就是矩阵的乘法只会使秩下降

关于结论4当中的另外一个

不等式的证明

我们需要用到分块矩阵的

秩的结论

我们将在之后给出

下面我们就来介绍分块矩阵的秩

定理3

设以下矩阵的分块和运算都是可行的

则我们有如下的结论

第一 按列并排得到的

分块矩阵的秩

有这样的上界和下界

同样的道理我们也可以

把两个矩阵按行来并排

也可以得到相同的结论

由A和B组成的准对角阵

它的秩等于主对角线上的

两个子块的秩再相加

第三我们给出了

准三角阵的秩的关系

也就是准三角阵的秩

大于等于主对角线上子块的秩求和

下面我们来证明这三个结论

第一个结论我们只需

将A B按列来分块

那么则根据列向量组的表出关系

很容易证明结论1

我们把这个证明

留给大家作为课后练习

下面我们来考虑准对角阵

由于子块A通过初等行变换

化成阶梯形矩阵以后

其非零行数必为矩阵A的秩

那么同样的道理

子块B通过初等行变换

化成阶梯形矩阵以后

其非零行数记为B的秩

那么根据这两点

我们很容易知道

由A和B组成的准对角阵

通过初等行变换

化为阶梯形矩阵之后

其非零行数就为r A+r B

从而我们就证明了结论2

接下来我们再来看结论3

也就是准三角阵

我们假设子块A当中

存在一个rA阶的子式不为零

形象地看

我们假设有这样的一个子块

也就是黄色方框框住的子块

我们把它记作A1

它是一个r(A)阶的子式

并且非零

同样对于子块B

一定存在一个r(B)阶的子式

不等于0 形象地看

我们可以用红色的方框框出一块

并且设它为B_1

而且这的行列式不等于0

进一步我们取出

所有与A_1相关的行和列

再取出与B_1相关的行和列

这样的话我们可以取出

黄色阴影覆盖住的这一部分

并且把这两块分别称为C1和O1

也就是说我们可以把

提取出来得到了一个

r(A)+r(B)阶的子式

那么这是一个准三角行列式

由于它的主对角线上子块的

行列式是非零的

所以这一个行列式也是非零的

因此我们就在大的行列式当中

找到了一个r(A)+r(B)阶

的非零子式

那么根据矩阵秩的定义

那么 我们就知道了

这个准三角阵的秩

要大于等于r(A)+r(B)

好 对于定理3

我们有如下的说明

我们在定理3当中

给出了准对角阵

准三角阵的秩的结论

那么对于一般的分块矩阵

我们可以利用分块初等变换的方法

将其化为准对角阵或者是准三角阵

也就是我们之前的打洞法2

由于分块初等矩阵也是可逆矩阵

所以左乘或者右乘分块初等矩阵

不改变原矩阵的秩

从而分块初等变换

也不改变原分块矩阵的秩

因此我们就可以用定理3

给出的结论去计算

所有的分块矩阵的秩

例如我们可以用这样的思想

来完成定理2当中

关于矩阵乘积的另一个

不等式的证明

也就是我们要证明这样的

一个不等式

首先我们给出

这样的一个下三角分块矩阵

并且对它进行初等列变换

得到右边这样的一个分块矩阵

进一步再对这个分块矩阵作行变换

得到这样的一个分块矩阵

再进一步作列的对换

以及列的倍乘

我们就得到了

这样的一个准对角矩阵

那么 利用定理3我们可以知道

左边这个准下三角形矩阵

就有这样的秩的结论

而右边这个准对角阵的秩

就有这样的结论

再利用初等变换不改变矩阵的秩

我们就证明了我们想要的结论

本节的最后

我们再来看几个

关于矩阵秩的重要结论

结论1

对于乘积为零的

两个矩阵的秩的重要性质

我们假设矩阵A和矩阵B可乘

并且乘积为零

那么则有矩阵A的秩

加上矩阵B的秩要小于等于n

而这个n就是矩阵可乘条件当中的

左行右列中相等的那个相等

也就是A的列数和B的行数

我们来分析一下这个结论

那么 我们要证的不等式的左边

启发我们去考虑

由A和B构成的准三角形矩阵

并且设法用初等变换

再变换的过程当中

化出A乘B的项

好 下面我们给出具体的证明

首先以A和B为主对角线构成

一个下三角形矩阵

那么经过初等行变换

可以化成第二个矩阵这样的形式

那么再把A乘B等于0代进去

就得到了第一行为0行的

一个分块矩阵

那么再进行初等列变换

就可以化成第四个矩阵

这样的简单形式

那么由于初等变换不改变矩阵的秩

对上述变换过程中的

第一个和第四个矩阵求秩

就可以得到如下的结论

也就证明了我们想要的结论

结论2 矩阵的满秩分解

假设A的秩等于r

则存在列满秩矩阵G

和行满秩矩阵H使得A

等于一个列满秩矩阵乘

以行满秩矩阵

我们还是先来分析下这个结论

由A的秩等于r

我们可以先给出A的标准形

那么再想办法将标准形

化成列满秩矩阵与

行满秩矩阵的乘积

好 具体的证明如下

设A是一个m乘n形的矩阵

并且A的秩等于r

那么我们就知道

存在m阶可逆矩阵P和

n阶可逆矩阵Q

使得P乘以A再乘Q

就等于这样一个标准形式

其中r就等于A的秩

那么利用分块矩阵乘法

我们很容易知道这个标准形

可以等于这样的两个矩阵的乘积

从而我们再把P和Q移到等式右边

就得到了这样一个等式

利用结合律我们把前两个

矩阵的乘积记为G

而后两个矩阵乘积记为H

也就是G等于P逆再乘以

这样一个瘦高形的矩阵

那么我们很容易知道

G是一个m乘r阶的矩阵

再由P可逆即可知道

G的秩就等于r

而矩阵H就等于这样一个

矮胖形的矩阵再乘以Q逆

那么它的阶也视为r乘n阶

那么由于Q可逆我们就知道

H的秩也等于r

从而G就是一个列满秩矩阵

而H是一个行满秩矩阵

那么我们就把A分解成了

G乘以H的形式

从而证明了满秩分解的结论

结论3

伴随矩阵的秩

设A是一个n阶方阵

并且n大于等于2

于是我们对于A的伴随矩阵

有如下的结论

其中当A满秩的时候

A的伴随也满秩

当A的秩等于n-1的时候

则A的伴随的秩等于1

而当A的秩小于等于n-2的时候

A的伴随的秩只能等于0

首先 我们先来分析一下

由于A的伴随总有这样的

一个等式成立

那么根据这个等式

再利用A*的定义分情况

讨论即可得到结论

具体地 第一

对于A满秩的情况

那么这个时候A的行列式不等于零

那么由A乘A^*等于A^*乘A

等于A的行列式倍的I

那么对于这个式子

我们两边都取行列式

就得到了这样的一个结论

两边同时再除以A的行列式

那么于是我们就得到了

A^*的行列式等于

A的行列式的n-1次幂

它当然是不等于0的

从而就等价于A^*是满秩的

第二种情况

当A的秩等于n-1的时候

那么由秩的定义我们就知道

A至少有一个n-1阶的子式

是非零的

从而根据A^*的定义

我们就知道

这个A^*不是一个零矩阵

因此 A^*的秩大于等于1

另外一方面

由于A的秩等于n-1的时候

A就不是一个满秩矩阵

所以A的行列式必然等于0

那么 由A的行列式等于0

我们就知道A乘A^*

就一定是一个零矩阵

因此由我们的结论1

也就是两个矩阵

如果相乘等于零矩阵的话

我们对于它的秩的和

就有这样的一个结论

因此 我们就推出了

A^*的秩只能小于等于1

那么刚才我们已经验证了

A^*的秩要大于等于1

所以只能有A^*的秩等于1

第三种情况

如果A的秩小于等于n-2

那么由秩的定义

我们就知道A的

任意n-1阶子式均为零

那么再根据A^*的定义

我们就知道A^*只能为零矩阵

从而零矩阵的秩就只能等于零

于是我们就证明了结论3

本讲小节 在本讲中

我们介绍了

矩阵秩有关的若干性质与结论

由于秩体现了向量组 行列式

矩阵 线性方程组等的内在联系

所以秩的相关结论就有多样性

从而可以从多种角度考虑

用多种方法求解或者是证明

技巧性比较强

所得到的结论也比较多

对于这些结论同学们不可死记硬背

而是要通过具体推导

计算和证明真正理解以后

方能长久记住

我们把解决与矩阵秩

相关问题的思路

总结如下

一 考虑矩阵中不为零的子式

二 把矩阵转化为行 列向量组

并且运用向量组的秩和极大无关组

三 利用初等变换化为

标准形或者是阶梯形

第四 利用分块矩阵

第五

灵活应用已得到的秩的性质

第六

用一些最简单的矩阵来记忆和相象

本章小节 在本章中

我们介绍了n维向量

与向量空间的概念

引入了向量之间的线性运算

与线性关系

用线性相关性这一套语言

重新讨论了线性方程组

行列式与矩阵

从而最终得到了秩的概念

秩的概念体现了向量组

矩阵 行列式

线性方程组之间本质的数量关系

从而把前四章的内容全都串了起来

有了秩的概念以后

我们要提出这样的一个问题

即我们在第一章当中

提出的关于线性方程组的解的

几个基本问题

如解的存在问题

个数问题 解法问题

结构问题等

它们与秩有何关系

是否也可像矩阵一样用秩的概念

给出一种统一的描述

而这正是我们下一章的主要内容

好 我们本章的内容就到这

下章再见