当前课程知识点：简明线性代数 > 第8章 矩阵与变换 > 8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换 > 8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
同学们 大家好
欢迎来到MOOC课程
线性代数先修课
第八章 矩阵与变换
8.2节 R^2与R^3中
几类特殊的矩阵变换
在本讲中
我们将介绍平面R^2
与几何空间R^3中
几类特殊的矩阵变换
具体地为
恒等变换 伸缩变换
反射变换 投影变换
以及 旋转变换
通过形象的几何图形
我们来进一步加深同学们
对矩阵变换的认识与理解
一 恒等变换
我们知道
单位阵I2 I3分别保持R^2
与R^3中任何向量不变
从而保持所有几何图形不变
因此
单位阵所对应的矩阵变换
我们就称为恒等变换
反过来
设σ为R^2中
保持所有向量不变的变换
由于它保持所有向量不变
则σ必保持向量的线性运算
从而由上一讲的
性质2的逆命题
我们就知道σ必为矩阵映射
并且
我们设其对应的矩阵为A
其中我们把A的四个分量
分别设为 a11 a12 a21 a22
那么 对于任何向量x
我们有 Ax保持不变
特别地
如果我们取x分别为
两个自然基的基向量
于是我们就可以得到
Ae1等于e1
但是另外一方面
Ae1 我们知道
它就等于A的第1列
而Ae2 它等于A的第2列
但是它又等于e2
所以我们就推出了
A的第1列和第2列
分别为e1和e2
当然 也就推出了
A只能等于I2
从而平面当中
保持所有向量不变的变换
必然为I2所对应的矩阵变换
同样的道理 我们也可以证明
空间R^3当中
保持所有向量不变的变换
必然为I3所对应的矩阵变换
恒等变换是空间中
最简单的矩阵变换
它在矩阵变换中的地位
相当于单位阵在
矩阵集合当中的地位
实际上 恒等变换的概念
适用于一般的R^n
只不过4维以上的向量空间中
很难画出对应的几何图形
二 伸缩变换
设A为主对角线上为正数的
2阶对角阵 即A为这样的形式
其中主对角线上的元素a1
和a2大于0
于是 我们分别去计算A
作用在自然基下的结果
我们会发现
A作用在e1上 就等于a1e1
而Ae2 就等于a2e2
从而对于任何一个向量x
由于x可以表示为
e1和e2的线性组合
那么利用A保持线性运算
我们可以把A的作用
乘到线性组合式里边
从而就得到了A作用在
任何向量x上
它就等于在第1个
分量上乘以a1
在第2个分量上乘以a2
这说明上述对角阵A
作用在e1方向上
就相当于伸缩a1倍
其中a1>1的时候为伸长
0 而a1=1的时候保持向量不变 同样的道理 A作用在e2方向上 就为伸缩a2倍 例如 我们给定一个具体的2阶矩阵 对角线上的元素分别为1/2和2 则在A的作用下 我们考虑这样的一个 平行四边形OABC 那么它在A的作用下的像 就变成了一个新的平行四边形 即这里的蓝色方框的OA'B'C' 这里我们会发现 这个新的平行四边形 比原来的瘦了1/2 但是比原来高了2倍 特别地 当a1=a2的时候 整个矩阵变换的作用 就为等比放缩 所得的图形与原图形相似 与恒等变换相同 伸缩变换也可以推广到 一般的n阶对角阵 且主对角线上为正数 此时它所对应的 就是R^n里的伸缩变换 三 反射变换 先看2维平面的情况 在2维平面当中 我们有两类反射变换 即 点反射 与 线反射 换言之 也就是中心对称 与 轴对称 我们先来看中心对称 我们只考虑 对称点为原点的情况 显然 任意向量x关于原点O的 中心对称向量是为-x 所以 对应的变换矩阵就为-I 具体作用如下 说明一点 平面当中关于原点的中心对称 也相当于绕原点旋转180° 所以它同时也是一个旋转变换 这一点在我们将来介绍 旋转变换的时候还会介绍 一般地 对于平面当中的任意一点O' 我们把它的坐标记为(a0,b0) 那么关于O'的中心对称 应该如何表示呢 我们设O'所对应的向量为α0 x'为向量x 作变换后的坐标 我们由向量的平移 以及之前的中心对称的结论 我们可以得到如下的结果 进一步变形 我们可以推出x' 就等于-Ix+2α0 这个式子说明 以O为中心对称的变换 并不是矩阵变换 但是它是矩阵变换的 简单的平移 在具体的问题当中 我们还要经常地用到 下面我们来讨论 平面中的轴对称 我们考虑一个简单的矩阵 即 主对角线上为+1 和-1这样的一个矩阵 那么很容易验证 它在2维向量上的作用 就是第1个分量不变 而第2个分量取负号 我们将图像画出来 我们发现 A实际上将所有向量和图形 变为关于第1个自然基 作对称 为对称的图像 我们会发现 A呢 具体来看 假设我有这样的 一个红色的向量 那么在A的作用下 就变成了这样 一个蓝色的向量 那么这个红色向量 和蓝色向量是关于x1轴 也就是e1是对称的 下面我们再来考虑 另外一个简单的矩阵 这个矩阵是我们在上一节当中 举过的一个例子 它经过计算 我们会发现 它作用在任意2维向量上 相当于把两个坐标位置互换 如果画成图形来 我们会知道A将所有向量 和图形变为关于直线x1=x2 对称的向量和图形 具体来看 假设我有这样一个红色的向量 那么经过A的作用以后 它第1分量 第2分量交换 就变成了这样一个蓝色的向量 很容易验证 这两条向量关于x1=x2 这条直线是对称的 下面我们来考虑一般的情况 设对称轴为过原点的直线l 那么我们设 l0为直线L的单位方向向量 则对于任意的2维向量x 设其关于直线L 对称的向量为x' 那么 由第六章讨论的 向量的正交投影 与向量的内积 我们有如下的结果 即x在直线L上的投影 与x'在直线L上的投影 是相等的 另外 由向量的加法的意义 我们还可以知道 我们存在一个实数k 使得x+x'一定落在直线L上 因此 它就能表示为l0的k倍 那么 再将第1式代入到 第2式里边 我们可以反解出 k等于x与l0作内积的两倍 那么再代回去 就可以解出x' 等于这样的式子 其中这里括号里的这一项是 x与l0的内积 它是等于一个数 然后我再去算这个数 与向量l0作数乘 由于是数乘 所以我可以把这个数 移到向量的右边 并且把它表示为一个行向量 乘以列向量的形式 那么再利用 矩阵乘法的结合律 我先去计算前面的两项 前面这两项是一个列向量 乘以一个行向量 所以计算结果是一个2阶矩阵 而最后一步 我把x通通 提到括号的右边去 就可以得到x' 等于这样的一个矩阵乘以x 因此就得到了线反射变换 对应的变换矩阵 就是这样的形式 我们把它记为R_l0 需要说明的是 刚才那个公式里边 必须要取l0为单位向量 那么对于一般的直线L 以这样的方程给出 也就是ax+by=0 那么我们很容易知道 它的单位方向向量 就是这样的一个向量 我们把它代入到刚才的公式里 就得到了对应的线反射的矩阵 就等于这样的一个形式 进一步 如果我们设直线L 与x1轴的夹角为θ 则由三角函数公式 我们又可以把上述矩阵表示为 这样的关于θ角的 三角函数的形式 那么根据这个形式 我们很容易发现 这个变换矩阵是一个正交阵 并且 它的行列式等于-1 下面再来看3维的情况 在R^3当中的反射 又分为3类 分别为 点反射 线反射 和面反射 由于刚才在推导 R^2的公式的时候 并没有涉及空间的维数 所以 R^3的点反射公式 依然是这样的形式 与R^2相同 而R^3的线反射公式 是这样的形式 与R^2相同 实际上 由于同样的原因 上述公式可以推广到 任意n≥2维的空间当中的 点反射与线反射 下面我们再来看面反射 也就是所谓的镜面对称 设π为R^3当中 过原点的一个平面 并且设n0表示其单位法向量 于是R^3当中的任意向量x 我们设x'表示x关于平面π 的镜面对称的向量 我们用图像表示出来 如图 假设x是这样的 一条红色的向量 而x关于平面π所对称的 向量就是这一条蓝色的向量 那么从几何上来看 我们很容易知道 -x' 恰好为x关于法向量n0 所在直线的轴对称向量 也就是这里的粉色的向量 所以面反射变换的变换矩阵 就是法向量的线反射的 变换矩阵再加一个负号 所以我们就得到了 这样的公式 换言之 R^3中的面反射 等价于线反射加点反射 请同学们思考下面的问题 对于一般的R^n当中的 面反射变换所对应的矩阵 又应该如何计算呢 请大家课后思考这个问题 四 投影变换 首先我们还是先来看 平面的情况 我们先看一个简单的例子 设A是等于这样的一个矩阵 则容易计算A作用在 任何向量上使得第1分量 保持不变 而第2分量化0 所以 形象地看 假设有一束光平行地 沿着垂直于e1的方向 也就是e2的反方向照射 于是x1e1就是向量x 在该光束下产生的影子 而这就正好为我们 第六章介绍过的正交投影 同理 如果我们把A 取为这样的形式的话 则A就是在e2方向上的 正交投影变换 下面我们直接讨论 R^3中的情况 可给出如下推导 设l为一固定的单位向量 则对于任意的3维向量x 设x'为向量x在l方向上的 正交投影向量 则由第六章的讨论 我们可以知道 x'就等于这样的一个算式 那么用和前面同样的方法 我们把数乘放到右边 就可以得到 最右边的这个结果 其中括号里的乘积 等于一个3阶的矩阵 因此 我们就得到了 任意向量在单位向量 l方向的正交投影变换的 矩阵就等于ll^T 具体地 如果我们把l的 分量代进去 算出来是这样的一个 3阶矩阵 它是一个对称阵 我们把它称为正交的 线投影矩阵 而且 由于我们刚才的推导 只与正交投影有关系 与维数没有关系 所以 在任意的R^n当中 也有类似的结论 下面我们来考虑 R^3当中的面投影问题 设π为过原点的一个平面 而n为π的单位法向量 那么对于空间当中的 任意向量x 设x'为x在平面π上的 正交投影向量 如图 那么这个时候我们会发现 x'正好等于x减去x 在法向量上的正交投影向量 那么 由于线投影我们可以用内积表示 所以 我们就得到了这样的形式 用同样的技巧 我们再把x都移到右边 从而左边可以提出一个矩阵 这个矩阵就等于I-nn^T 因此 我们就得到了 面投影变换的变换矩阵 它等于单位阵减去 在法向量上的线投影矩阵 如果代入具体的分量 就等于这样的一个3阶矩阵 我们把它称为面投影矩阵 同样的道理 由于上述推导 只与正交投影有关系 与维数无关 所以在R^n当中也有类似的结论 五 旋转变换 还是先来看2维的情况 设在2维平面当中 Tθ为绕原点O 逆时针旋转θ角度的 矩阵变换 如图 我们只需要决定 自然基在该变换下的像即可 那么 很容易知道e1 在旋转作用下变成了 这样的一个向量 那么它的横纵坐标分别为 cosθ和sinθ 那么第二个自然基e2 在旋转变换下变成了 这样的一个粉色的向量 那么 它的横纵坐标分别为 -sinθ和cosθ 于是我们就知道 旋转变换所对应的变换矩阵 就是由上述两个列向量 合并起来构成的2阶矩阵 特别地 当旋转角度等于π的时候 旋转矩阵T就变成了-I 所以 平面当中关于原点的 中心对称也为旋转变换 此外 从旋转变换矩阵的形式上 我们也很容易验证 这是一个正交阵 且行列式等于1 下面我们来考虑R^3 当中的旋转变换 首先考虑一种特殊情况 假设矩阵T是等于这样 一个形式的3阶矩阵 则很容易知道 T保持e3不动 而在e1-e2平面内 为逆时针旋转θ角 那么对于e1-e2平面之外的 向量x 在T的作用下 应该变成什么向量呢 首先我们容易知道 Tx与x的第3个分量是相同的 我们设为a3 于是在平面x3=a3内 令O'为(0,0,a3)这点 所以Tx与x在平面x3=a3内的 投影向量的夹角就为θ 故T的作用相当于以e3为轴 将向量x按右手法 则旋转θ角度 特别地 当θ跑遍0到2π的时候 Tx运动轨迹就形成了一个圆锥 同理 这样给定的一个T 就为R^3当中旋转围绕e2方向 旋转θ角度的矩阵变换 而这样给定的3阶矩阵 就为空间当中绕e1方向旋转 θ角度的矩阵变换 一般地 在R^3当中 设l=(a,b,c)为给定的单位向量 令Tlθ为绕l方向旋转 θ角度的矩阵变换 这里的旋转θ角是按 刚才表述的右手法则来进行 那么 这样的旋转变换所对应的 矩阵是什么样子的呢 我们直接给出如下定理 可以给出该旋转变换 所对应的3阶矩阵 它由(a,b,c)以及 旋转角度θ共同决定 我们可以看到 这个定理的结果 和证明过程都比较复杂 对于同学们来说 只需要初步了解即可 所以 我们不再给出详细的证明 只给一个具体的思路 这个定理的证明思路 要利用坐标系的替换 而坐标系的替换 与矩阵的详细关系 我们将在8.4节当中具体地讨论 本讲小结 在本讲中 我们介绍了平面R^2 与几何空间R^3中 几类特殊的矩阵变换 包括 一 恒等变换 即保持所有向量不变的变换 它所对应的矩阵为单位阵 二 伸缩变换 它对应了主对角线上 为正数的对角阵 三 反射变换 又分为点反射 线反射(即轴对称) 和面反射 我们均给出了它们 所对应的变换公式或变换矩阵 第四 投影变换 又分为线投影和面投影 我们给出了正交线投影 和正交面投影所对应的变换矩阵 五 旋转变换 对2维绕原点的旋转 以及3维绕过原点直线的旋转 我们给出了对应的变换矩阵 这些例子 生动形象 为我们理解和认识更高维的 矩阵变换打下基础 并提供模型 好 本讲的内容就到这儿 我们下讲再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
