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线性代数先修课
第三章 矩阵
3.7节 逆矩阵的求法
在上一讲当中
我们介绍了
逆矩阵的定义
性质 及可逆条件
那么在本讲当中
我们将以例题的方式
介绍几种求逆矩阵的典型方法
包括：一、定义方法
二、伴随矩阵方法
三、初等变换方法
以及简单的分块矩阵求逆方法
首先 我们先来看
逆矩阵的第一种求法
即定义法
回顾一下
逆矩阵的定义当中
有以下三个关键条件
而上一讲当中
我们已经说过
只需要其中的任何两个
即可推出B为A逆
好 我们先来看一个例题
设A为对角阵
并且主对角线上的所有元素
a_ii都不等于0
请求A的逆
首先 我们来分析一下
如果存在一个矩阵B
使得A乘B等于单位阵
则由于A和单位阵均为对角阵
那么我们猜测
乘以的这个矩阵B
也应该是一个n阶对角阵
那么再由a_ii≠0的条件
那么由定义
我们即可马上验证得到结果
具体地求解 由于a_ii≠0
于是 我们可以计算
每个a_ii的逆
并且把它组成一个新的对角阵
那么我们计算
这个新的对角阵和
原来的对角阵A相乘
很容易计算 它就等于I
从而我们就推出了
A的逆就等于
每一个a_ii的逆
放在主对角线上形成的对角阵
例2 设A为这样的一个2阶上三角阵
并且 主对角线上的元素
a_11和a_22不等于0
请大家求A的逆
我们还是先来分析一下
如果存在一个2阶矩阵B
使得A乘B等于I_2的话
那么由于A和I_2均为上三角阵
那么我们可以猜测
B也是一个2阶上三角阵
那么再利用待定系数法
即可求出B
具体地
如果我们假设B
等于这样的一个2阶上三角阵
则我们去计算A乘B等于I
于是可以得到这样的矩阵
这个矩阵给出了三个等式
分别是这样的三个等式
因此 我们可以求出
b_11等于a_11的逆
b_22等于a_22的逆
而b_12就等于负的a_11的逆
乘以a_12再乘以a_22的逆
从而我们就推出了A的逆
等于这样的一个上三角阵
例3 设方阵A满足
这样的一个矩阵方程
请证明A+I和A-3I都可逆
并求它们的逆矩阵
我们还是来分析一下这个例题
我们的条件是
一个关于A的多项式
那么在A的多项式里面
A的i次方与A的j次方，乘法是可以交换的
所以 我们可以按照通常的方法
去分解这个多项式
希望在多项式的因子当中
能凑出(A+I)和(A-3I)的项
好 具体的求解过程是这样的
我们把原来等式的左边
做这样的一个变形
凑出了(A+I)乘以(A-3I)的项
做出这两项的乘积之后
发现和原来的等式之间还差一个7I
于是 我们就把它加在后边
从而 等于右边这个零矩阵
我们把7I移到等式右边
并且两边同时除以-7
就可以得到这样的一个等式
从而根据这个等式
再根据逆的定义
我们可以知道(A+I)的逆
就等于-(A-3I)/7
那么(A-3I)的逆
就等于-(A+I)/7
用同样方法
请大家完成以下的练习题
其中 这个A满足A的k次方等于零矩阵
这个k为正整数
满足这样条件的矩阵
我们通常叫做幂零阵
也就是说
对于这样一个幂零阵A
I-A是可逆的
请大家求(I-A)的逆
我们给出一个小小的提示
也就是利用A的k次方等于零（矩阵）
于是 我们可以分解等式的左边
从而求(I-A)的逆
下面我们介绍
求逆矩阵的第二种方法
也就是伴随矩阵法
那么 首先我们回顾一下
上一讲当中介绍过的
伴随矩阵的定义
也就是A^*等于A_ij
构成的矩阵再做转置
那么伴随矩阵的性质
最重要的就是这一条等式
对于这个等式
我们上一讲当中强调过
无论A的行列式是否等于0 始终成立
特别地 当detA≠0的时候
我们就可以用伴随来求解A的逆
特别地 对于2阶方阵
如果A的行列式不等于零
利用伴随法
我们可以直接写出2阶方阵的逆
并且我们还有这样的一个口诀 即
“主对角线上元素互换
副对角线上元素取负”
下面 我们就用伴随阵的方法
再一次去计算例2当中
2阶上三角阵的逆
那么 由于刚才我们说过
对于2阶矩阵求逆
伴随矩阵的方法是非常方便的
所以我们第一步先去计算A的行列式
发现它等于a_11乘以a_22,不等于0
从而A可逆
我们可以用伴随矩阵的方法
利用主对角线上元素互换
副对角线上元素取负
可以马上得到A的逆是这样的形式
再把系数乘进去之后
即得到了和刚才的一样的结果
例4
下面我们来考虑一个3阶矩阵
首先 先计算A的行列式等于-2
它不等于0
从而 我们可以知道
方阵A是可逆的
并且 我们可以用
伴随的方法来求其逆
接下来 我们计算A_ij
也就是我们把A的原矩阵的第1行
和第1列划掉之后
剩下的一个矩阵取行列式
计算之后等于-4
接着 我们把第1行第2列划掉
剩下的矩阵取行列式 再取负号
即求得了A_12=2
同样 我们把第1行第3列划掉
剩下的矩阵取行列式
计算结果等于0
接下来
我们把第2行第1列划掉
计算得A_21=4
把第2行第2列划掉
可计算得A_22=-3
把第2行第3列划掉
可计算得A_23=-1
把第3行第1列划掉
可以计算得A_31=2
把第3行第2列划掉
可计算得A_32=-1
最后
把第3行第3列划掉之后
可计算得A_33=1
把上述九个计算结果
按照合适的位置排列起来
即得到了A^*等于这样的一个矩阵
从而我们利用
A的行列式和A^*的计算结果
可以很快地写出
A逆是这样的一个矩阵
接下来
我们介绍求逆矩阵的第三种方法
也是我们最常用的方法
称为初等变换法
在这里 我们还是来回顾一下
矩阵A可逆的一个充要条件
那就是A可以表示为
若干个初等矩阵的乘积
它又等价于A经过若干次
初等行变换之后可以化成单位阵I_n
具体地 我们可设
P_1,P_2,..., P_s为s个初等矩阵
于是 把他们乘在A的左边
即可以得到单位阵I
那么根据A逆的定义
我们就知道
A逆就等于这些初等矩阵的乘积
那么 我们再在
这些初等矩阵右边乘上一个I
仍然保持原来计算的结果不变
请大家对比
红线所画的两个等式
那么 我们就会知道
通过完全相同的初等行变换
在我们把A化成I的同时
就可以把I化成A逆
另一方面
我们把A乘A逆改写为
A乘以P_s再乘P_{s-1}...一直乘到P_1
那么我们知道 它就等于I
而这个等式说明了
经过顺序相反的初等列变换
我们也可以把A化成I
那么由A逆等于
这些初等矩阵的乘积
那么我们在左边再乘上一个单位阵
与刚才相同的思想
这说明经过顺序相反的初等列变换
可以同时把I化成A逆
把上面的结论总结一下
我们就可以得到
求逆矩阵的初等变换法
首先 来看行变换法
我们首先构造一个
n×(2n)的分块矩阵
左边是A 右边是I
接着对整个矩阵进行初等行变换
进行若干次初等行变换
相当于对这个分块矩阵的
左边和右边同时进行初等行变换
当我们把这些初等行变换的乘积
等于A逆代到这个式子里面
我们就可以计算得
这个分块矩阵最后
就变成了I和A逆
组成的分块矩阵
总结一下
就是对于这样的一个分块矩阵
进行若干次初等行变换
当左边的块化成I的时候
右边的块就是A逆
类似地
我们也可以定义初等列变换法
与上面不同的是
我们构造一个(2n)×n的分块矩阵
上半部分是A 下半部分是I
那么对于这个分块矩阵
我们右边乘以若干个初等矩阵
等价于分块矩阵中的两块
各自乘以初等矩阵
那么最后
如当我们把上面这块化成I的时候
下面这一块就化成了A的逆
总结一下
就是对于这样一个列分块的分块矩阵
进行若干次初等列变换之后
当我们把上半部分化成I的时候
下半部分就等于A逆
那么 有了这样的方法
我们就来求一个具体的矩阵的逆
首先我们把A和I并排得到
这样的一个(2n)×n的分块矩阵
接着 对这个矩阵进行初等行变换
将A化成阶梯形矩阵
也就是把这样的一些位置化0
再进一步 通过初等行变换
把主对角线上方的这些位置化0
这个时候
当我们把左边化成单位阵的时候
右边就正好是A逆
所以 我们就求出了A逆
等于这样形式的一个矩阵
在我们用初等变换法
求出矩阵的逆的时候
一定要进行验证
也就是要验证你求出的矩阵
和原来的矩阵相乘等于单位阵
原因是因为初等变换的过程
环环相扣 容易出错
一旦其中某一步出错了
后边的每一步都会错
因此 验证的这一步非常关键
下面 我们再来看一个例子
请大家判断这个3阶矩阵A是不是可逆
如果可逆的话 请求出它的逆
那么 我们还是用行变换的方法
把A和I按分块矩阵的方式列出
接着 对这个大矩阵进行初等行变换
首先第一步
将第1列的第2行和第3行的位置化0
接着 我们会发现
这两行完全相同
所以我们直接用第3行减掉第2行
就可以把它化成阶梯形矩阵
这个时候我们发现
矩阵块的左边出现了一个全0行
因此 这说明A的行列式只能为0
故A不可逆
这个例子说明：利用初等变换法
判断矩阵是否可逆
与矩阵求逆可以同时进行
进一步分析 初等变换求逆法
如果在如下行初等变换法
和列初等变换法的过程当中
把矩阵I换成其他矩阵 会如何呢
首先 我们来把这里的I
换成另一个矩阵B
那么 在最后一步
我们就会发现
这里就变成了A逆乘B
同样 对于列变换法
我们把前面步骤当中的I换成矩阵C
那么 到最后一步的时候
我们就会发现
这一步变成了C乘以A逆
因此 我们把改写后的公式放在这里
这个式子说明
当我们把I换成一个矩阵B的时候
经过初等行变换
当我们把左边化成I的时候
右边就可以把B化成A逆乘以B
同样的道理
当我们把按列分块的矩阵
经过若干初等列变换
把上半部分变成I的时候
下半部分就把C变成了C乘以A逆
因此 这样的方法给出了
我们一个直接求解逆矩阵
与其他矩阵乘积的计算方法
下面 我们用这样的方法
来求解这样的一个矩阵方程
这里由于A是一个2×2的矩阵
而C是一个2×3的矩阵
因此 X就是一个3×2的矩阵
下面我们来求解X
由于A的行列式很容易计算等于-2
不等于0
所以A可逆
因此 我们要求的这个X就等于C乘A逆
那么 利用我们刚才的方法
我们可以直接对
这样的一个分块矩阵进行初等列变换
目的就是经过如下的变换
我们把矩阵的上半部分化成了单位阵I
这个时候矩阵的下半部分
正好就对应了C乘A逆
从而 我们就求解出了这个矩阵X
本节的最后一部分
我们来讨论分块矩阵的求逆
我们将讨论一些特殊的
分块矩阵的求逆问题
利用分块矩阵的运算律
以及逆矩阵的定义
可以验证如下的结论成立
对于准三角形矩阵
如果一个准三角形矩阵可逆
当且仅当它的主对角线上的小块
A_ii全都为方阵并且可逆
而且这个时候A^(-1)
依然为准上三角形矩阵
并且 主对角线上元素分别为
A_11的逆
A_22的逆 一直到
A_nn的逆
特别地 对于准对角阵A可逆
当且仅当主对角线上的
每个小块均可逆
而且它的逆就等于
这样的一个准对角阵
以上结论可以通过
分块矩阵的乘法进行验证
请同学们自行在课后
进行计算并且验证
下面 我们来看例8
请大家判断这样的
一个4阶矩阵是不是可逆
如果可逆 请求出A的逆
我们来观察一下这个矩阵A
我们会发现它的左下角有一个整块的零
所以
我们采用分成4块的方式
把它表示成这样的一个准上三角阵
其中A_11, A_12和
A_22分别为这样的三个2阶矩阵
并且 我们去计算A_11
A_22的行列式都不等于0
从而 我们可以算得
A的行列式等于A_11的行列式乘以A_22的行列式，等于36
因此A, A_11, A_22均为可逆阵
下面我们用待定系数法来求A逆
设A逆等于这样的一个准上三角阵
则我们利用A乘A逆等于I
可以展开得到如下的结果
即X等于A_11的逆
Z等于A_22的逆
而把它们代到第三个等式当中
就可以求得Y等于-A11的逆乘以
A_12再乘以A22的逆
代到计算公式当中
即可以求得整个A的逆
等于这样的一个4阶矩阵
这里右上角的矩阵块
和我们之前计算2阶
上三角阵逆的时候
元素所得到的计算结果是一致的
那么 我们在做分块矩阵的时候
有一个原则
就是子块当作元素来做运算
在引入了逆矩阵的概念后
我们可以讨论
分块矩阵的三角化问题
也就是分块矩阵的打洞法
我们假设有这样的
一个2×2的分块矩阵
我们希望通过适当的行变换
第1行的适当倍数加到第2行上
使得矩阵的左下角化成零矩阵
我们具体操作是
在左边乘以一个倍加矩阵
使得乘积矩阵的左下角出现一个零矩阵
那么 问题是
这个倍加的倍数应该是多少呢？
首先 我们要求A_11可逆
在A_11可逆的情况下
我们就可以先乘以
一个A_11的逆的倍数
使得第1行化成一个单位阵
接着 再乘以一个负的A_21
这样的话就可以把原来的A_21给消掉
从而 使得矩阵的左下角出现一个0矩阵
最后
它的右下角计算是这样的一个结果
请大家观察一下
这个右下角的计算结果
它是有规律的
那么规律就在于
它是第2行第2列的矩阵块
所以
它原来的那个矩阵块A_22是在这里
加上的角标首和尾
分别是2和2 那么中间用1相连
类似地 在A_11可逆的情况下
我们也可以把A的第1列的
适当倍数加到第2列上
使得它的右上角化零
那么 所乘的这个倍乘矩阵
就是这样的一个矩阵
对于这样的方法
我们形象地把它叫做“打洞法”
那么 “龙生龙 凤生凤”
“学完线性代数之后会打洞”
希望大家反复练习
并且熟练运用这样的方法
同样的道理
当A_22可逆的时候
我们同样也可以用初等变换法
将原来的分块矩阵化为准上三角阵
或者是准下三角阵
好 用这样的方法
我们来讨论一个例题
设M是分为A, B, C, D
四块的这样的一个分块矩阵
其中A可逆 D为方阵
试证明有这样的一个行列式等式
并且M可逆当且仅当D减去C（乘）A逆乘B可逆
并求M的逆
下面 我们来证明它
我们在原来的矩阵左边
乘以一个倍加矩阵
适当地选取倍加系数之后
可以使得矩阵的左下角化零
那么 我们再在这个矩阵的右边
乘以一个倍加矩阵
适当地选取倍加系数之后
可以使得乘积矩阵的右上角化零
于是 经过这样的变换
我们把原来的矩阵化成了
这样的一个准对角阵
所以
对两边都取行列式我们可以知道
M的行列式就等于右边这个准对角阵的行列式
那么又等于
主对角线上的两个子块的行列式（乘积）
因此 我们就证明了第一个结论
由这个结论
我们就可以知道M可逆
当且仅当它主对角线上
两个子块均可逆
并且我们把第一个等式
按求逆的方式写出来
就可以得到M的逆
等于这样的一个形式
本讲小结
逆矩阵及其求法是
本课程中的一个重点
需综合利用前面
很多的知识要点和技巧
在本节中
我们以例题的方式
介绍了矩阵求逆的几种典型方法
包括：一、定义求逆法
适用于一些简单的情形
以及没有给出矩阵具体元素、
只给出矩阵满足的代数表达式的情形
二、伴随矩阵求逆法
由于计算量很大
它一般只适用于2阶、3阶矩阵
含参矩阵以及理论证明中
三、初等变换求逆法
这是具体计算矩阵逆的
最常用的方法
又分为行变换法与列变换法
并且
它还可以同时检验方阵是否可逆
以及直接计算逆矩阵与
其他矩阵的乘积
因此 此方法需要大家熟练掌握
四、简单的分块矩阵求逆法
即 利用把子块当作元素运算的原则
把之前的方法推广到
分块矩阵的情形
最常用的有：准对角阵、
准三角阵求逆
以及2×2的分块打洞法
本章小结
矩阵在科学和工程技术中有广泛的应用
是我们线性代数这门课程中
两个核心的内容之一
在本章中
我们介绍了矩阵的概念、运算、分块、
求逆等内容
这些内容非常基础
把矩阵耍得熟练了
不仅是学好本课程的关键
而且在科学与工程技术的其他领域中
也有许多直接的应用
我们本章的内容就到这里
我们下章再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
