3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件在线视频

同学们 大家好

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线性代数先修课

第三章 矩阵

3.6节 逆矩阵及矩阵可逆的条件

在本讲当中

我们将引入逆矩阵的概念

并介绍逆矩阵的性质

另外一方面

我们还将引入一个与逆矩阵有关的概念

即伴随矩阵及其性质

最后 我们将讨论矩阵可逆的条件

首先 我们提出这样的一个问题

如果我们把A表示一个m×n阶的矩阵

而X加上一个箭头

表示x_1,x_2,一直到x_n

形成的一个列矩阵

我们也把它叫做一个列向量

把b加上一个箭头

表示b_1,b_2,一直到b_m的

一个列向量

于是 按照矩阵的乘法

我们就可以把这样一个

n个未知量m个方程的线性方程组

表示成矩阵乘积的形式

也就是这样的形式

那么我们在求解一元方程

ax=b的时候

如果a≠0

则等式两边可以同乘以a的逆

就得到了这样的结果

于是 我们的问题就是

在我们求解线性方程组

AX=b的时候

是否也可以像求解

一元方程那样去求解

下面我们对这个问题进行分析

在数的运算当中

当a≠0的时候

于是我们就有a*a的逆等于

a的逆乘以a等于1

其中这里a的逆

也可以表示为a分之1

那么 在矩阵的运算当中

单位阵I相当于

数的乘法运算当中的1

于是 对于矩阵A

能否在一定条件下

引进A逆的概念

使得A逆满足

A乘A逆=A逆乘以A=I

如果可以 AX=b

就有这样形式的解 且解唯一

首先 我们来分析一下

若A为m×n型的矩阵

则由上面这两个等式的可乘条件

我们就可以知道

A逆只能为n×m型的矩阵

又因为两个乘积等于

同一个单位阵I

于是 则有m一定要等于n

从而 A和A逆如果存在的话

均为n阶方阵

下面 我们就引入逆矩阵的概念

定义1 设A为n阶方阵

若存在另一个n阶方阵B

使得A乘B=B乘A=I_n的话

则称A为可逆矩阵

或者是非奇异矩阵

而B称为A的逆矩阵

并且 把它记为A的-1次方

我们对定义1进行如下的说明

第一点

定义中矩阵A与B的地位是相同的

因而 若A可逆且B是A的逆

则我们也可以反过来说

B可逆 而A是B的逆

并且 经过上述定义式

我们可以知道

A与A逆乘法可交换

第二点

对上述定义两边取行列式

我们可以知道

如果A可逆 则A的行列式≠0

且A的逆的行列式=A的行列式的逆

也就是等于A的行列式分之1

第三点 若A为可逆矩阵

则其逆是唯一的

这个结论

我们可以给出如下简要的证明

设B和C都是A的逆矩阵

则由定义 我们就有B=BI

再把这个I拆分为AC

利用结合律 我们先去计算BA

由于B是A的逆

所以BA也等于I 那么IC=C

于是 等式的左端和右端

就给出了B=C

也就是 如果存在两个逆矩阵的话

则这两个逆矩阵只能相等

从而 A的逆矩阵唯一

接下来 我们再来看

三类初等矩阵都是可逆矩阵

并且 对于倍乘矩阵

它的逆也等于倍乘矩阵

且倍乘系数等于k分之1

这里我们用到了k≠0这个条件

才能去计算k分之1

对于对换矩阵

它的逆就等于它自己

对于倍加矩阵

它的逆也等于倍加矩阵

只是那个倍乘的系数改成-k

我们可以用两种思路

来证明上述三个结论

第一个思路

是因为三类初等变换

都是可逆的变换过程

并且由于初等变换

与初等矩阵的关系

我们很容易地去验证上面的结果

另一个思路

我们可以直接用

矩阵乘法和逆矩阵的定义

直接去验证上述等式

也是成立的

下面 我们再来看一个

2阶矩阵的例子

设矩阵A是形如这样的一个矩阵

那么 我们考虑A的求逆问题

假设2阶矩阵B

它的四个分量分别为a b c d

于是我们去计算AB

计算结果是这个样子

其中 它的第2行都等于0

那么 无论a b c和 d

取什么样的值

它们俩的乘积都不可能

等于单位阵I_2

从而说明这里的矩阵A

是不可能存在逆的

因此 并不是所有的方阵都可逆

那么 我们现在的问题就是

在什么条件下方阵A是可逆的

进一步 如果A可逆

如何去求解A的逆

第三 可逆矩阵有什么样的性质

接下来 我们首先先来讨论一下

可逆矩阵的性质

对于可逆矩阵A而言 A的逆

可以看做是对A的一种运算

下面 我们将给出求逆这种运算

与其他矩阵的运算的一些运算规律

性质 设A,B, A_i为

n阶可逆矩阵

实数k≠0

第一点 由于A可逆

则A逆也可逆

且A逆的逆就等于A本身

第二点 由A和B均可逆

于是 我们知道AB也可逆

且AB的逆就等于B逆乘以A逆

这里我们说明一下

这个等式是求AB的逆

那它是等于B逆乘以A逆

它相当于对每个乘积元都取逆

并且交换乘积的顺序

这样的一个结果

与乘积矩阵求转置是类似的

我们可以用如下的穿脱原则

来理解这样的一个过程

如果我们把A比作是穿袜子

B比作是穿鞋

那么 求逆即是指脱袜子和脱鞋

那么 我们对整个过程求逆

当我们是先穿袜子再穿鞋

那我们要脱的时候

就得先脱鞋再脱袜子

从而 就对应了先去算B逆

然后 再去算A逆

进一步

对于s个方阵相乘再求逆

等于A_s的逆在乘A_{s-1}的逆

再乘……一直乘到A_1的逆

第三点 由A可逆

我们可以知道

A做数乘kA也可逆

并且 kA的逆等于k逆乘以A逆

第四点 由A可逆

我们也知道 A的转置也可逆

且A转置的逆等于A的逆的转置

也就是求转置和求逆可以交换次序

那么 一个自然的问题就是

对于两个矩阵

我们还可以去计算它们的加法

那么 它们加法的逆

是不是等于它们逆的加法

我们的回答是否定的

请同学们自行在课下举出反例

下面我们来证明上述性质

我们的方法是用定义直接验证

先来看第一条

由A逆的定义式

我们知道A乘A逆=A逆乘A=I

从而 我们可以把A

看成是A逆的逆

第二条 我们首先先来计算

这样两个乘积矩阵再相乘

那么利用乘法的结合律

我们先把中间两个矩阵

也就是B和B逆先做乘法

它们乘完之后等于I

那么再利用I乘任何矩阵

等于任何矩阵

所以 这个计算结果等于A乘A逆

那么 再用A和A逆的性质

它就等于I

反过来 交换乘法次序以后

我们同样可以用乘法的结合律

验证它们的乘积等于I

从而 利用逆矩阵的定义

我们就知道了AB的逆

就等于B逆再乘以A逆

进一步 反复地运用性质2

即可得到多个矩阵乘积的逆的结论

由数乘k逆可以表示为

乘以这样主对角线上

为k逆的一个对角阵

再利用这种形式的对角阵

可以和任意矩阵交换

从而 我们可以把乘以k逆

这个运算提到最前面来

那么 k逆和k抵消掉

A和A逆抵消掉

因此 计算结果等于I

交换乘法次序 我们用同样的方法

也可以验证它们的乘积等于I

因此 我们就求出了

kA的逆=k逆数乘A逆

对于第四条

我们直接去验证A的转置

乘以A的逆的转置

那么根据转置的性质

我们知道它等于A逆

再乘以A的转置

从而它等于I的转置

由于I是对称阵

所以我们证明了

它们的乘积等于I

反过来 交换乘法次序以后

那么同样的方法

我们也可以验证乘积等于I

因此 我们就证明了

A的转置的逆=A的逆的转置

回到我们本节初提出的问题

也就是对于线性方程组AX=b

是否可以像一元方程那样求解

在我们定义了A逆以后

我们希望在上述等式两边

同时左乘以A逆

于是 就可以求出X=A逆在乘以B

但是 A逆仅对方阵有定义

因此 这说明要利用

A逆求解线性方程组

我们只能去求解那些方程组个数

m等于未知数个数n的线性方程组

而这个条件

大家听上去是不是有些熟悉

对我们在第一章

学习Cramer法则的时候

已经介绍过了

Cramer法则的适用范围

就是针对方程个数等于

未知数个数的方程组

下面

我们就回顾一下Cramer法则

设符号定义如上

并且设D=系数方阵A的行列式

并且D≠0

则根据Cramer法则

我们知道AX=b

这个线性方程组有唯一解

且解的形式如下

即 x_j=D_j 除以

A的行列式

对所有的j成立

进一步

如果我们把D_j按照第j列来展开

就得到这样一批等式

那么 如果我们把Cramer法则

给出的所有解按矩阵的方式

表示出来

就得到了这样的一个结论

再把我们刚才

对每个D_j的按列展开的公式

代到这个结论里面

就得到这样的一个式子

进一步 把后边这个方括号

用矩阵的乘积形式表示出来

就得到这样的一个式子

好 对于这个式子

如果我们把黄色方框里的

统一地定义成矩阵B的话

于是 我们就求得了

未知量组成的列向量X

就等于一个矩阵B再乘以常数项

组成的列向量b

需要注意的是

这里的A_ij对应了代数余子式

也就是行列式

那它的计算结果就是一些数

而非分块的子矩阵

第二 就是A_ij下标的排列顺序

正好与a_ij的相反

也就是它的第一下标

标记了它的列数

而它的第二下标标记了它的行数

从而 我们可以给出原方程组的解

就是这样的一个形式

那么 我们的问题就是

这里我们给出的矩阵B

是不是就是我们想求的A逆呢？

下面 我们就来验证这样的一个结论

也就是 如果A为方阵且

A的行列式≠0

则刚才我们通过Cramer法则

和列展开公式得到的那个矩阵B

就等于我们想求的A逆

一方面 我们由行列式的展开定理

首先 我们来计算AB

那么 我们把B的定义式代进去之后

就得到了这样的一个式子

进而我们去计算

后边两个矩阵相乘的结果

就等于这样的一个矩阵

其中 它的每个分量

等于a_ik再乘以A_jk

接着再对k求和

这个式子就是我们之前介绍过的

行列式的替换展开公式

那么 利用替换展开公式

就可以知道它只有当i=j的时候

计算结果是A的行列式

而其他位置上的值都等于0

从而 后边这个矩阵相当于一个

以A的行列式为

主对角线上元素的纯量矩阵

那么 再把这个A的行列式分之1

乘进去

就计算出它等于I

另一方面

我们用类似的方法

也可以去验证BA=I

具体如下

同样 先把B的定义式代进去

接着计算后边两个矩阵相乘

等于这样的式子

于是我们得到了

这个行列式按列展开的

一个替换展开公式

利用该公式

我们可以计算得BA也等于I

请大家思考以下问题

在上述推导当中

条件A的行列式≠0

到底用在了什么地方

我们的回答是 推导过程当中

我们需要去计算A的行列式分之1

这就要求A的行列式≠0

那么 进一步的问题就是

如果A的行列式=0时

我们又该怎么办

这个问题等留到

我们第五章的时候再给解决

三 伴随矩阵及其性质

对于我们刚才用

Cramer法则给出的矩阵B

我们可以给出如下的定义

定义2 用n阶方阵A的

元素的代数余子式

A_ij组成的矩阵的转置

也即这样形式的一个矩阵

我们把它称为A的伴随矩阵

并且给它记为A^*

通过我们刚才的推导

实际上我们是验证了

这样的一个等式

即 A乘以A^*=A^*乘以A

等于A的行列式乘以I

需要说明的是

不管A的行列式是不是等于0

红框中的这个等式总是成立的

第二点 特别地

如果A的行列式≠0

则通过上述式子的变形

我们就可以知道

A和A^*都是可逆阵

且A的逆=A的行列式的逆

在乘以A^*

而A^*的逆就等于

A的行列式分之1在乘以A

伴随矩阵给出了一个

求方阵逆的构造性的方法

下面 我们来看一个例子

如果2阶矩阵的行列式A≠0

从而根据A^*的定义

我们可以很快地计算出

2阶矩阵对应的伴随矩阵

A^*等于这个样子

那么 再利用我们刚才的推导

就可以知道

A逆就等于

A的行列式分之1在乘以A^*

从而就等于这样的一个式子

对于2阶矩阵的伴随矩阵

我们有如下说明

即主对角线上的元素相互换位置

而副对角线上的元素取负号

下面 我们再来看一个

3阶矩阵的例子

我们将用伴随矩阵的方法

求解这个3阶矩阵的逆矩阵

首先 我们先来计算A的行列式

经过计算它等于2 不等于0

从而我们知道A可逆

且我们可以用伴随矩阵的方式

来求解A的逆

为计算A的伴随

我们必须去计算

每一个位置所对应的代数余子式

首先 我们计算A_11

我们把第1行第1列划掉之后

剩下的这个矩阵 再取行列式

它的结果等于2

也就是A_11=2

那么 我们把第1行

第2列划掉以后

剩下的这个矩阵再取行列式

再加上负号 就等于A_12

计算结果等于-3

那么 原矩阵当中

把第1行第3列划掉以后

剩下的矩阵再取行列式

就等于A_13 计算结果等于2

于是 我们把这三个值

按列的方式写到A的伴随的第1列

同样的道理

我们还可以求得A_21=6

A_22=-6, A_23=2

再把这三个数按列的方式写下来

进一步计算A_31=-4

A_32=5, A_33=-2

于是再把第3列写出来

我们就得到了A的伴随

是这样的一个矩阵

最后 利用A的伴随

再除以A的行列式2

就得到了A的逆的结果

是这样的一个3阶矩阵

为求A逆

我们一共计算了10个行列式

这个计算量并不小

而且随着A的阶数的增加

我们的计算量将大大地增加

所以在实际过程当中

我们很少采用伴随的方法

来求3阶以上矩阵的逆

下面 我们就对伴随求逆的方法

给以如下的说明

与Cramer法则类似

它的缺点就是计算量相当大

如果要用伴随法求逆的话

我们一共要计算

n方个(n-1)阶行列式

因此 它的方法

仅对2阶和3阶方阵适用

但它也有优点

它的第一个优点就是

它给出的结果是一个显式的公式

第二个优点 就是对于2阶矩阵

它可以直接写出2阶矩阵的逆

第三 就是在含参以及

证明推导的时候比较有效

最后 我们来看矩阵可逆的条件

设A为n阶方阵

如果A可逆的话

则由定义可知A乘A逆=I

那么 我们两边同取行列式

可以得到这样的式子

因此 我们可以推出A的行列式≠0

反过来 如果A的行列式≠0

那么由我们刚才的伴随矩阵的性质

我们可以得到这样的一个等式

那么这个等式说明了

括号里得到的那个矩阵就是A的逆

即A逆=A的行列式分之1

再乘以A的伴随

综上 我们就得到了

如下关于矩阵可逆的充要条件

也就是我们的定理1

即n阶方阵A可逆的

充要条件是A的行列式≠0

另一方面

我们再回到逆矩阵的定义式当中

我们可以看

它有如下的几个关键条件

第一个条件

A和B都是n阶方阵

第二个条件 AB=I_n

第三个条件 BA=I_n

那么 我们的问题就是

这三个条件是相互独立的吗

换言之

这三个条件当中 是否有多余的

显然

我们很容易通过条件2

和条件3推出条件1

那么 我们接下来的结论告诉我们

条件1加条件2也可以推出条件3

或者条件1加条件3可以推出条件2

推论1 设A为n阶方阵

若存在另一个n阶方阵B

使得AB=I_n

则A可逆 且B=A逆

大家对比推论1的条件和

逆矩阵的定义的条件

我们就可以知道

推论1的条件比

定义1的条件少了一个

也换言之 也就是

少一个条件的情况下

我们依然可以说明B是A的逆

下面我们来证明推论1

因为由条件AB=I

我们两边同取行列式

可以知道A的行列式≠0

根据我们的定义1

A的行列式≠0 则A可逆

于是 我们可以得到这样的等式

再把I展开写成A逆乘以A

那么 利用乘法结合律 先计算AB

而AB=I 所以

最终的结果等于A逆

也就是我们推出了B=A逆

从而证明了我们的推论1

推论1告诉我们

定义式当中的三个条件

也就是上述条件(1),(2),(3)

并不是独立的

我们可以去掉其中任何一个

都与原定义等价

接下来 我们给出A可逆的

另一个充分必要条件

即我们的定理2

也就是说 n阶方阵可逆

当且仅当A为若干个

初等矩阵的乘积

首先 我们先从右到左来推导

因为我们之前已经验证了

初等矩阵都是可逆阵

而可逆阵的乘积仍然为可逆阵

所以 我们就知道A可逆

反过来 我们从左到右推

如果A可逆

则由上一个充分必要条件我们知道

A的行列式≠0 从而根据

Cramer法则我们知道

齐次线性方程组AX=0有唯一解

这说明A经过初等行变换

化为阶梯形矩阵之后

它的主元个数恰好等于列数n

进一步

再化为简化的阶梯形矩阵之后

就必然为I_n

再利用初等变换和初等矩阵的关系

我们就知道

一定存在这样的若干个初等矩阵

P_1,P_2,一直到P_s

使得它们左乘A以后等于单位阵I

于是 由我们之前的推论1

就可以知道A可逆

且A的逆就等于P_s乘以

P_{s-1}一直乘到P_1

从而我们就证明了定理2

由定理2 我们可以得到

另外一个A可逆的充分必要条件

即 齐次线性方程组

AX=0只有零解

从左到右推 如果A可逆

则我们对齐次线性方程组两边

同时左乘A逆

就可以求得X只能等于零向量

即方程组只有零解

反过来 从右到左

若齐次线性方程组AX=0

只有零解

即只有唯一解

则说明A经过初等行变换化为

阶梯形矩阵之后 主元个数r=n

进一步

再化为简化阶梯形之后 等于I_n

也就是说 存在初等矩阵

P_1,P_2,一直到P_s

使得它们乘在A的左边以后等于I

那么 根据我们刚才的证明和推导

我们就知道 这说明A可逆

下面 我们来讨论分块矩阵

求逆的问题

下面我们来解决

上一讲当中提出的一个问题

也就是我们在定义分块

倍乘矩阵的时候

其中的子矩阵P

我们要求它是一个特定的方阵

下面我们就把这个要求明确化

由于初等变换都是可逆的过程

故对应的初等矩阵也必须为可逆阵

这就等价于要求

初等矩阵的行列式不等于0

对于分块倍乘矩阵

它的行列式很容易计算

就等于P的行列式再乘以

I的行列式

那么 这就等价于要求

P的行列式≠0

而利用刚才的充分必要条件

我们就知道

这又等价于P为可逆阵

因此

我们在上一讲当中

提出的那个特定的要求

就是要求这个子块P为可逆矩阵

本讲小结

在本讲当中

我们首先提出了这样的一个问题

即如何将一元一次方程的求解

推广到n元线性方程组

从而我们引入了矩阵的逆的概念

其次

我们介绍了

矩阵求逆运算的相关性质

接下来 我们通过

再次分析Cramer法则

给出了伴随矩阵的定义和性质

最后 利用

伴随矩阵求逆的理论意义

我们证明了

方阵A可逆的几个充要条件

即 方阵A可逆

当且仅当A的行列式不为0

当且仅当存在同阶方阵B

使得A乘B=单位阵

又当且仅当A可表示为

若干初等矩阵的乘积

又当且仅当

以A为系数矩阵的齐次线性方程组

只有零解

这几个条件串成一条线索

把我们的前三章

也即线性方程组、行列式、矩阵

都连接起来了

本讲的内容就到这儿

我们下讲再见