4-5 向量组的秩在线视频

同学们 大家好

欢迎来到MOOC课课程

线性代数先修课

第四章 向量空间

4.5节 向量组的秩

在本讲当中

我们将介绍

向量组的秩及其性质

并且引入向量空间

以及向量子空间的

基与维数的概念

最后我们将介绍

矩阵的行秩与列秩

那么在上一讲当中

我们留下了这样的一个问题

也就是极大线性无关组的

选取并不是唯一的

那么不同的极大无关组之间

会存在什么样的本质联系呢

首先我们还是来看一个例子

这个例子

就是上节当中的例1

我们给定了三个二维向量

那么在上一节当中

我们说明{α_1, α_2}, {α_1, α_3}

以及{α_2, α_3}均为原向量组的

一个极大无关组

这个例子就是极大无关组

选取不唯一的一个典型例子

但是在这个例子当中

我们会发现所有的

极大无关组的向量个数均为2

那么这是一个偶然现象

还是一个普遍存在的规定呢

下面我们就给出

极大无关组的第五个性质

也称为等量性

即向量组的

任意两个极大无关组的

向量个数相同

下面我们来证明性质5

我们假设α_{i1} α_{i2}, ...

一直到α_{ir}以及α_{j1}, α_{j2},...

一直到α_{jt}

为原向量组的两个极大无关组

下面我们就证明

这两个极大无关组的个数相同

也就是r等于t

由极大无关组的性质3

也就是等价性

及其推论我们知道

两个极大无关组

均和原向量组α_1, α_2,...

一直到α_s是等价的

我们分别

把这三个向量组称为向量组1

向量组2和向量组3

由于这三个向量组均是等价的

所以向量组1

可以由向量组2线性表出

并且由于向量组1

是我们选取的

第一个极大无关组

它是线性无关的

所以r就小于等于t

同样的道理

我们也可以证明t小于等于r

从而我们就得到了r等于t

也就是两个极大无关组的

向量个数是相等的

那么由于极大无关组的

等量性质

我们知道

极大无关组

虽然有不同的选择

但是不同极大无关组的

向量个数总是相等的

换言之

极大无关组的向量个数

不依赖于极大无关组的选取

而是由向量组本身决定

由此我们就可以定义

关于向量组本身的一个量

称为向量组的秩

定义1

向量组α1 α2到αs的

极大无关组的向量的个数r

就称为该向量组的秩

并且记为r(α_1,α_2,…,α_s)

这里我们特别的规定

只含有零向量的向量组

它的秩为0

例如在我们刚才的例1

当中的那个向量组

由于它的每一个极大无关组的

个数均为2

因此这个向量组的秩就等于2

我们再来看几个例子

例2

第一个结论是说

如果一个向量组它的秩

等于r的话

则它的秩r一定小于等于

向量组的个数s

并且其中任意r个线性无关的

向量组都是一个极大无关组

而其中任意r+1个向量

均是线性相关的

这个结论由向量组秩的定义

以及前面的理论很容易证明

另外一个简单的结论是这样的

如果向量组线性无关

则它的秩就等于它向量的个数

反之

如果一个向量组是线性相关的

则它的秩就严格地

小于它的向量个数

有了向量组的概念

我们再来看

两个向量组之间的数量关系

就有如下的结论

定理1

若向量组A可由向量组B线性表出

那么我们就有向量组A的秩

要小于等于向量组B的秩

下面我们来证明定理1

假设向量组A的秩为s

向量组B的秩为t

并且我们令A_1

B1分别为向量组A

与向量组B当中的

极大线性无关组

于是A1与B1所含向量的个数

就分别等于s和t

接下来我们来证明

s小于等于t

由于向量组

和它的极大无关组是等价的

因此我们可以知道

A_1等价于A

B_1等价于B

而又因为向量组A

可以由向量组B表出

所以我们就知道向量组A_1

可以由向量组B_1线性表出

再由于向量组A1是极大无关组

所以它是线性无关的

所以根据线性相关性的临界关系

我们就知道s小于等于t

于是我们就证明了定理1

定理1说明

不论向量组A与B

自身是线性相关的

还是线性无关的

用秩的观点来看

向量组本质上只能以多生少

定理1的一个直接推论

就是等价的向量组有相同的秩

这个结论从数量关系上

给了等价的向量组的

一个必要条件

但是反过来

我们的问题是

推论的逆命题是不是成立

为什么

这个问题留给大家作为课后思考

二 向量空间

向量子空间的基与维数

在4.1节当中

我们介绍了向量空间

与向量子空间的概念

在向量空间与向量子空间当中

通常都有无穷多个向量

那么在这些向量当中

是否有冗余的向量

是否有具有代表性的向量呢

下面我们就来讨论这个问题

定义2

设V表示R^n

或者是R^n中的子空间

则若α_1, α_2, 到α_s

是V当中s个线性无关的向量

并且V当中任何的向量β

均可以由

α_1到α_s唯一地线性表示

并且我们可以把

这样线性表示的表达式

设为这样

表示系数为x_i

如果上述条件成立

则我们称

α_1到α_s为空间V的一组基

而x_1到x_s称为向量

β在这组基下的坐标

而s就称为空间V的维数

记为dim V

简单来说

向量空间的基

就等于无关性加上表出性

但是在上一讲当中

我们已经证明了

这个定义与极大无关组的定义

是等价的

因此我们很容易得到

这样的一个结论

也就是说如果α_1到α_s

为空间V的一组基

它当且仅当α_1到α_s

为V中全体向量的

一个极大无关组

下面我们做进一步的说明

一 基与维数是

特别情况下的极大无关组与秩

第二 向量空间V中的基

选取不是唯一的

但是维数是确定的

第三 自然基e_1, e_2,...

一直到e_n是三维空间当中

直角坐标系在R^n当中的推广

而一般的基

则是三维空间当中

仿射坐标系在R^n当中的推广

三 矩阵的行秩与列秩

对于矩阵A来说

天然的就存在两个向量组

即A的全体行向量构成的向量组

以及A的全体列向量

构成的向量组

再由向量组的秩的概念

我们就有如下

关于矩阵的两个概念

也就是我们的定义3

对于一个矩阵

它当中所有行向量组的秩

就称为矩阵的行秩

同样我们把矩阵A的

列向量组的秩就称为

矩阵的列秩

我们分别用

这样的符号

来表示行秩和列秩

下标r和下标c

分别是英文row

和英文column的缩写

同样我们在4.1节当中

也定义了生成子空间的概念

那么由A的全体行向量生成的

子空间我们称为

A的行空间并且记为这样的符号

那么由A的全体列向量

生成的子空间

我们就称为A的列空间

记为这样的符号

那么根据我们刚才的定义

我们就知道A的行秩

就等于A的行空间的维数

而A的列秩

就等于A的列空间的维数

下面来看一个具体的列子

假设A是这样一个

三行四列的矩阵

请求A的行秩与列秩

大家观察一下这个矩阵A

它的零元素非常多

而非零元素只有两个

因此很容易知道

A的第一行和第二行

就是它的行向量集的

极大无关组

所以A的行秩等于2

类似地我们同样很容易

知道A的第一列和第二列

就是它的列向量集的

极大无关组

所以A的列秩就等于2

那么在这个例子当中

我们就发现行秩等于列秩

我们再给出两个矩阵

作为练习题

请大家分别求这个矩阵B

与矩阵C的行秩与列秩

好 经过计算

我们会发现矩阵B的行秩

和列秩都等于2

而矩阵C的行秩和列秩

都等于4

因此通过这三个例子

我们发现一个现象

那就是对于同一个矩阵

它的行秩总是等于列秩

那么我们的问题就是

行秩等于列秩

这是一个偶然现象吗

还是它们之间有内在的联系

本讲小结

在本讲当中

我们接着上一讲讨论的

极大线性无关组

在数量上的相等性质

从而给出了向量组的

秩的概念

我们说极大无关组

是向量组的本质

而秩又是极大无关组的本质

因此秩就是

向量组的本质之本质

足见其在向量空间

理论中的重要性

由于向量组的秩是一个数

我们通过分析

把形形色色的

向量组最终归结为一个数

这恰好就体现了

数学透过现象看本质的

概括之美和简约之美

把极大无关组与秩

放到向量空间当中

就得到了基与维数的概念

它们实际上是同一件事情

只不过用不同的语言

描述出来而已

进一步

我们对一个矩阵的

行向量与列向量组

定义了矩阵的行秩与列秩

我们试算了几个例子发现

总是有矩阵的行秩等于列秩

这是一个偶然现象吗

还是一个矩阵内在的规律呢

我们将在下一讲当中

详细地讨论

好 本讲的内容就到这

我们下讲再见