1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法在线视频

同学们，大家好

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线性代数先修课

第一章 线性方程组

1.2节 一般线性方程组的解法

Gauss消元法

我们本讲当中将给大家介绍

以下几个问题

一，线性方程组的几个基本问题

二，初等变换与同解方程组

三，矩阵的概念

好，我们来看一般的线性方程组

应该如何给出

我们在上一讲当中

给大家介绍了

二元和三元方程组的解法

那么，本讲我们将关注

关于n个未知量x_1，x_2一直到x_n的

线性方程组

它的表示形式

我们用(2.1)式表示

其中m是自然数，表示方程组的个数

而a_ij是实数，统称为方程组的系数

b_i也是实数，称为方程组的常数项

对于线性方程组

有以下的几个基本问题

一，解的存在问题

即判断方程组是否有解

问题二，解的个数问题

即如果有解，有多少个解

问题三，解的求解问题

即能否给出解的公式

或者给出一个算法求出所有的解

问题四，解的结构问题

即当解不唯一的时候

解集合的结构如何

问题五，解的近似问题

即如果无解时，能否求出一个近似解

问题六，对应的几何问题

即线性方程组对应的几何意义是什么

我们将在本章当中呢

讨论这些问题当中的部分问题

下面我们来看一个具体的例子

这是一个三元一次线性方程组

对于这样的方程组

我们在中学的时候已经知道了

它的求解方法就是消元法

那么具体的操作

第一步，我们把方程(1)

和方程(2)交换一下位置

这个是不影响方程组的解的

至于为什么要交换它们的位置

将来我会介绍原因

第二步

我们把方程(1)的-3倍

加到方程(3)上

可以把方程(3)当中的x_1消去

第三步呢

我们再把方程(2)的

一个倍数加到方程(3)上

就可以消掉方程(3)里边的x_2

于是我们就已经解出了x_3

接着，再把方程(3)的倍数呢

加到方程(2)和方程(1)当中

消掉方程(2)和方程(1)当中的x_3的项

最后，我们先把方程(2)约分

解出x_2

接着再代回到方程(1)当中

就可以解出x_1

从而我们就知道了

这个方程组的解是

x_1等于1，x_2等于2和x_3等于3

总结一下

我们中学所用的消元解方程组

只是对方程组进行了如下的三种变形

第一种，交换两个方程的位置

第二种操作

用一个非零系数乘以某个方程

第三种操作

就是把一个方程的倍数

加到另一个方程上

我们把上述三种操作简称为

一，对换

二，倍乘

三，倍加

并且把这三种变换统称为

方程组的初等变换

我们之所以可以用方程组的

初等变换去解方程

原因是基于以下的结论

这个结论告诉我们

线性方程组的初等变换

不改变方程组的解

接下来，我们来证明这个结论

首先，对于对换和倍乘这两种操作

很容易知道，它不改变方程组的解

所以我们下面只考虑倍加这种变换

我们设把原方程组(2.1)式当中的

第i个方程的k倍加到第j个方程上

得到的新的方程组记为方程(2.2)

则我们知道(2.1)与(2.2)中

只有第j个方程不同

那么方程(2.2)的第j个方程

我们把它表示为这样的形式

也就是(2.3)

设c_1, c_2一直到c_n

是方程组(2.1)的一个解

则由其第i个和第j个方程

我们有以下的两个算式

所以我们把这两个式子综合起来

就得到了这样的式子

这表明c_1, c_2到 c_n

也满足方程(2.3)

而新的方程组当中

除了第j个方程以外的

其它方程和原方程组是一样的

所以我们就知道了

c_1, c_2到 c_n

也是这个新的方程组(2.2)的解

反过来，由倍加变换是可逆的过程

我们也可以证明新方程组的

每一个解也是原方程组的解

具体地来说

设d_1, d_2一直到 d_n

为新方程组的一个解

则我们把它代到第i个和第j个方程

有这样的两个算式

综合这两个算式我们得到了这个算式

而这个算式正好说明了

d_1, d_2一直到 d_n

满足原方程组(2.1)

于是，它也是原方程组(2.1)的一个解

所以，我们就证明了这个结论

上面我们证明了

对一个线性方程组做初等变换

得到了一个新的方程组

则这两个线性方程组是同解的

于是，我们把我们的算法

再抽象、再总结一下

设方程组(2.1)当中x_1的系数

不全为0

于是总可以通过对换

使得a_11不等于0

于是，我们可以把第一个方程的

某个倍数加到第2

到第m个方程当中

就可以把第2到第m个方程

当中的未知量x_1给消掉

按照类似的步骤

我们考察方程2到方程m

对其他的未知量继续做下去

以此类推

就可以求解线性方程组

我们把上述计算方法

称为Gauss消元法

好，下面我们再来回顾下

例1的求解过程

我们会发现只有系数和常数项

参与了运算

而未知量只起了标记位置的作用

于是呢

我们就可以把整个算法简化

为了达到这个目的呢

我们首先来引入矩阵的概念

定义2.1

由m乘n个实数排成行列的矩形数表

用圆括号或者是方括号括起来

即用如下形式表达

我们就把这样的一个矩形数表

称为m乘n型的矩阵

简记为A

其中，横排称为矩阵的行

而竖排称为矩阵的列

里边的a_ij称为矩阵的元素

其第一个下标表示元素所在的行数

第二个下标表示元素所在的列数

全体m乘n型的矩阵组成的集合

我们有这样一个符号把它标记

特别地，当行数和列数相同的时候

也就是m等于n的时候

我们把这样的矩阵称为n阶方阵

而全体n阶方阵组成的集合

我们用这样的符号进行标记

我们补充说明一下

在印刷体当中

我们一般用黑体的英文大写字母

表示一个矩阵

我们引入矩阵的概念

是为了更简单地表示线性方程组

假设我们有一个n个未知量

m个方程组成的线性方程组

于是，我们把它的系数

按照原来的位置

排起来构成了一个矩阵

称为系数矩阵

那么在最右边呢

把常数项作为最后一列

加到系数矩阵的右边之后

得到的矩阵我们称为增广系数矩阵

这里增广系数矩阵里的虚线

对应了线性方程组里的等号

等大家熟悉之后

这个虚线可以省略

有了增广系数矩阵之后

增广系数矩阵与线性方程组

就完全地等价了

这是我们刚才推导过的例1

有了增广系数矩阵之后

我们就可以把例1的推导

改写成为矩阵的初等行变换

这里的推导和刚才的推导

完全是等价的

这里注意一下我们的

r1，r2，r3分别表示

矩阵的第一行，第二行和第三行

那么经过一系列矩阵的

初等行变换之后

我们得到了最后这个矩阵

那么我们再将这个矩阵

还原成线性方程组的形式

就得到了这个线性方程组的一组解

即x_1等于1，x_2等于2和x_3等于3

当我们把线性方程组等价地表示成

增广系数矩阵之后

对线性方程组的初等变换

就可以等价地表示成为

矩阵的如下操作

第一，交换矩阵的两行

第二，用非零数乘以某一行

第三，把一行的倍数加到另一行上

上述操作依然可以简称为对换

倍乘和倍加

而且我们把以上三种操作统称为

矩阵的初等行变换

注意：我们在解方程组的时候

只能对矩阵做行变换

不能做列变换

请大家思考这是为什么

下面，我们再来看一个例题

这是一个四元一次方程组

要求解这个方程组

首先将增广系数矩阵写出

对增广系数矩阵

我们可以看到里边的

第一行第一列的位置不等于零

于是我们可以把第一行的

适当倍数加到第二

第三和第四行上

使得这些位置上都化零

经过上述操作我们会发现

同时也把第二、第三、第四行的

第二位置也化零了

接下来我们考虑

第二行、第三行、第四行

那么为了将来消元方便呢

我先把第三行和第四行

做了适当的倍乘

使得它们正好是第三行的倍数

于是我们把这个矩阵的第二行的

适当倍数加到第三行和第四行上

消掉对应位置的元素，使其化零

得到了这个矩阵

对于这个矩阵继续考虑最后两行

我们可以得到这样的一个矩阵

我们来看这个矩阵的最后一行

它所对应的方程应该是

0乘x_1加上0乘x_2加上0乘x_3

加0乘x_4等于1

而这个方程不论x_1到

x_4取什么样的值

均不能成立

所以我们得出原方程组无解

我们把例2的系数稍作修改

得到例3

一个新的四元一次方程组

我们依然用增广系数矩阵的

初等行变换

来求解这个线性方程组

过程如下，我就不再细推

请同学们自己在课下进行详细的演算

通过初等行变换

最后我们得到了这样的一个矩阵

那么将这个矩阵化成方程组

就得到了这个方程组

或者把这个方程组改写成这个样子

我们把这个结果用(2.4)式标记

可以看出

对于未知量x_2，x_4的任意一组取值

都可以决定出x_1，x_3的值

于是，我们就称x_1，x_3为主变量

而x_2，x_4为自由未知量

用自由未知量表示主变量的这个式子

就统称为方程组的一般解

或者我们也可以把(2.4)式

表示成如下的形式

这里我们把x_2和x_4用参量s和t表示

这里的s和t跑遍所有的实数

这就是我们方程组的最终解

那么由于s和t可以取无穷实数

所以我们就知道

这个方程组有无穷多个解

在本讲当中

我们介绍了线性方程组的

三种初等行变换

分别为对换、倍乘和倍加

作为理论保证

我们证明了初等行变换

不改变方程组的解

另一方面我们引入了矩阵的概念

并且用增广矩阵把线性方程组

等价地表示出来

于是，对增广矩阵的初等行变换

就可以去等价地求解线性方程组

而这样的方法我们就称为

Gauss消元法

请大家思考以下的问题

问题一，Gauss消元法何时停止

换言之，也就是Gauss消元法

会将增广系数矩阵

化成什么样子的矩阵

问题二，Gauss消元法可否判断

线性方程组解的情况

换言之，也就是用Gauss消元法可否

去判断方程组何时无解

何时有唯一解，何时有很多解

问题三，Gauss消元法的过程

是不是唯一的

本讲的内容就介绍到这

我们下讲再见