7-6 特征值理论的几个应用在线视频

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线性代数先修课

第7章 矩阵的特征值理论

7.6节

特征值理论的几个应用

矩阵的特征值理论

是矩阵相关的重要理论

在很多问题中都有广泛的应用

本讲就选取了三类典型的例题

分别为：

人员流动问题

基因的发展趋势问题

以及简单的种群增长问题

下面我们就分别讨论这三个问题

一、人员流动问题

问题如下：

设某试验性生产线

每年年初进行熟练工

与非熟练工的人数统计

然后将1/6熟练工

支援其他生产部门

成为其他部门的非熟练工

其缺额由招收新的非熟练工补齐

非熟练工经过培训及实践

年终考核有2/5成为熟练工

假设第一年初统计的熟练工

和非熟练工各占一半

求以后每年初统计的熟练工

和非熟练工所占的百分比

下面我们就根据题意

建立数学模型

首先我们设第n初的熟练工

和非熟练工所占的

百分比分别为xn和yn

并且我们把向量αn就表示为

由xn和yn组成的2维列向量

因为第一年统计的熟练工

和非熟练工各占一半

所以α1就等于x1

y1就等于1/2和1/2

为了求出以后每年初的熟练工

和非熟练工所占的百分比

我们就需要求出xn+1

yn+1与xn，yn的关系

然后再根据这一关系式

求出一般的αn的表达式

问题的求解

根据已知条件我们可以得到

xn+1等于这样的一个表达式

其中的第一项是由

第n年的熟练工所提供的人数

其中因为有1/6

支援到其他部门了

所以只剩下1-1/6的熟练工

而第二项是由第n年的非熟练工

经过培训考核而变成的熟练工

整理之后就等于右边的这一项

而yn+1是等于这样的一个算式

它来自于第n年的非熟练工

经过考核培训没有通过的

剩下3/5的百分比

成为第n+1年的非熟练工

整理之后就等于右边这个算式

把上面的两个算式写为矩阵

和向量乘积的形式

就得到了这样一个算式

也即第n+1年的百分比

与第n年的百分比之间的关系

我们看到

它们之间相差了一个矩阵

特别地，如果我们把这个矩阵

设为A的话

那么整个算式

就可以表示为这个样子

因此求n+1年的百分比

关键就是去计算A的n次方

下面我们就给出两种方法

去计算A的n次方

方法一

我们要求A的n次方

根据之前的讨论

一个有效的方法就是

对角化的方法

首先我们就尝试将A进行对角化

首先去计算A的特征值

列出它的特征多项式

经过分解它等于这样的一个算式

因此我们可以得到矩阵A

有两个不同的特征值

分别为λ1=1，λ2=1/2

由于这是一个二阶矩阵

它有两个不同的特征值

因此每个特征值的代数

重数均为1

进一步对于每一个特征值

我们去求属于它的特征向量

对于λ1=1代入对应的

齐次线性方程组可以解得

属于λ1的一个特征向量

我们把它记为ξ1

它是4，1这个列向量

而对λ2=1/2我们同样把它

代入对应的齐次线性方程组

可以解得属于λ2的

一个特征值为ξ2

也就是-1和1组成的2维列向量

于是我们把两个列向量排起来

就可以得到对应的可逆矩阵

我们把它记作矩阵P

最后我们去计算P逆乘以A

再乘P就等于对角阵Λ

而这个Λ就等于主对角线上

为两个特征值的对角矩阵

最后我们可以反解出A

等于P乘Λ再乘P逆

所以A的n次方就等于

P乘Λ的n次方再乘P逆

那么最后我们再把它代入

xn+1和yn+1的算式当中

就得到了这个算式

具体地把每一个矩阵和向量

代进去得到这样的一个算式

经过计算我们可以得到

xn+1和yn+1就等于这样的一个

含n的2维列向量

当n趋向于无穷的时候

我们知道上述列向量的

两个分量分别趋近于4/5和1/5

这说明随着年数n的增加

熟练工和非熟练工

所占的百分比趋于稳定

分别趋近于80%和20%

下面我们给出另外一种方法

首先我们将

初始向量x1，y1表示为

两个特征向量

ξ1和ξ2的线性组合

并且设线性组合的系数为k1，k2

也就是下面的这个等式成立

这个等式的左边由于

x1和y1分别都等于1/2

所以左边等于两个1/2

组成的列向量

右边分别把刚才求出的

ξ1和ξ2代入以后

就得到了2阶矩阵

乘以k1，k2的形式

而这个等式就是一个

关于k1和k2的线性方程组

求解这个线性方程组很容易得到

k1=1/5，k2=3/10

进一步把这个线性组合式

代到刚才的计算式当中

就得到了这样的算式

进一步把An乘到括号里面

由于A作用在特征向量上

相当于数乘

所以最终A的n次方的计算

就转换成了特征值的

n次方的计算

最后把具体的数代进去

就得到了这样的结果

那么当n趋向于无穷的时候

这个算式当中的

第二项就趋向于0

随意整个的算式

只有第一项起作用

也就是当n趋向于无穷的时候

这个向量就趋向于

1/5和4/5组成的2维列向量

因此方法二和方法一

都得到了相同的结论

那么比较两种方法我们会发现

方法二明显更加简单

它的原因就在于避开了

计算A的n次方和P逆

而是直奔主题

直接去计算我们需要的结果

也就是xn+1和yn+1

而这种方法之所以能算出

它是利用了矩阵左乘在特征向量

仅为简单的倍乘变换

将来我们会说明这种倍乘变化为

伸缩变换或者是反射变换

而这就是特征向量的实际意义

第二个典型例题

我们成为色盲基因的发展趋势

具体问题如下

伴性基因是一种

位于X染色体上的基因

例如，红绿色盲基因是一种

隐性的伴性基因

我们设x10大于0

为男性中色盲基因的比例

并令x20大于0

为女性中有色盲基因的比例

由于男性从母亲获得一个X染色体

并且不从父亲处获得X染色体

所以下一代的男性

当中把它记为x11

将和上一代女性中

所含有隐性色盲基因比例相同

而女性从双亲处

分别得到一个X染色体

所以下一代女性中含有隐性基因

的比例将为上一代男性和女性的

比例的平均值

请验证当代数

增加到充分大的时候

男性和女性中含有色盲基因的

比例将趋于相同的数值

和例题1一样

我们首先先来简历模型

设x1k-1为第k代男性中

有色盲基因的比例

而x2k-1为第k代女性中

有色盲基因的比例

则第一代男性和女性中

有色盲基因的比列

分别就为x10和x20

根据题意我们可以得到

第k+1代的比例

和第k代的比例之间的关系

具体如下

其中男性的比例从其母亲处继承

而女性的比例从其双亲处继承

所以上一代男性比例

和女性比例的各自的1/2

于是我们的问题就转化为

把x1k和x2k表示成k的函数

并且验证当k趋向于无穷的时候

这两个函数趋向于同样的数值

同样用两种方法来求解这一模型

方法一

我们可以把上式表示为

向量和矩阵的乘积

并且反复地使用这算式

我们就可以把第k代的比例

表示为第1代比例的一个计算结果

其中只需要在第1代比例的

向量前面乘上一个矩阵

如果我们把这个矩阵记为A

因此整个问题就归结为

去计算A的k次方

同样的方法

我们首先将A对角化

具体的去计算A的特征值

于是根据矩阵的特征多项式

我们可以求得A的两个特征值

分别为λ1=-1/2

而λ2=1

我们可以求得属于λ1的

一个特征向量为ξ1

而λ2的一个特征向量为ξ2

它们分别为

这样的两个二维列向量

进一步把这两个列向量

并起来就得到了可逆矩阵P

所以P逆AP就等于对角阵

由上式就可以反解出

A等于P乘Λ再乘P逆

最后就求出A的k次方等于P

乘以Λ的k次方再乘以P逆

其中利用伴随的办法我们

很容易求出P逆等于

这样的一个矩阵

最后把具体的矩阵都代入

就可以去算得A的k次方

具体我们可以算出A的k次方

等于这样的一个矩阵

因此第k代的比例就可以

由初始时候的比例

再乘以A的k次方而得到

在这个算式当中

我们发现当k趋向无穷的时候

这个极限就等于

这样的一个矩阵乘以初始向量

最终就等于这样的一个结果

那么我们会发现这个列向量

当中的两个分量确实是相等的

从而这就验证了x1k

与x2k在k趋向于无穷的时候

它们是相等的

也就是当代数充分多的时候

男性和女性中含有的

色盲基因比例将趋向于相同

下面我们给出方法二

同样还是将初始向量表示为

两个特征向量的线性组合

并且设线性组合的系数为k1，k2

具体表示出来就是这样的算式

由于x10和x20均为

大于0的实数

所以我们很容易

发现在上述组合式当中

系数k2是不能等于0的

否则x10将会小于0

于是我们将上述组合式

代到原来的计算式当中

进一步将A的k次方乘到括号里边

由于矩阵A作用到

特征向量上比较简单

仅为倍乘变换

因此我们就把A的k次方的计算

转化为λ1与λ2的k次方的计算

具体的代入数值

就得到了这样的结果

那么在这个算式当中

当k趋向于无穷的时候

黄色方框当中的

这一项是趋向于0的

因此在极限式当中

这个算式只有第二项起作用

那么也就是当k趋向于无穷的时候

整个向量就趋向于

k2和k2组成的列向量

因此不论初始情况如何

从结果来看

当代数增加时

男性和女性中含有色盲基因的比例

将趋于同样的数值

而这个数值就等于把初始向量

表示为特征向量的

线性组合式当中的第二个系数k2

第三个例题

我们来讨论简单的种群增长问题

具体的问题如下

经过统计

某地区猫头鹰和森林鼠的数量

具有如下的规律

每一个只有一半的猫头鹰

可以存活

而老鼠的数量每个月会增加10%

如果老鼠充足，我们设数量为R

则下个月猫头鹰的数量

将会增加0.4R

平均每个月每只猫头鹰捕食

会导致104只老鼠死亡

试确定该系统的长期演化情况

我们还是来分析一下

上面两个例题当中

我们均用了两种方法

但是很明显方法二

相对于方法一更加简单

所以在本例当中

我们就只采用方法二来求解

对于具体的数学模型

我们不考虑其他因素

对猫头鹰和森林鼠的数量的影响

下面我们来建立数学模型

设猫头鹰和森林鼠

在时刻k的数量分别为Ok和Rk

并且把它们俩组成的向量记为xk

其中k是以月份为单位的时间

Ok为区域中猫头鹰的数量

而Rk为老鼠的数量

单位是千只

则根据题意我们有第k+1个月

它们俩的数量与

第k个月的数量有如下的关系

再把这个算式表示为

矩阵与向量乘积的形式

就得到了这样的式子

那么我们的目的

就是要分析向量xk的变化趋势

具体的我们来求解这个模型

正如刚才所说

我们直接用方法二

我们令系数矩阵A

为这样的一个2阶矩阵

经过计算我们可以求出

A的两个特征值为

λ1=1.02

λ2=0.58

它们对应的特征向量分别为v1和v2

我们设初始向量x0可以表示为

两个特征向量的线性组合

并且设组合系数分别为c1和c2

于是对于k大于等于0

我们有xk等于A的

k次方乘以初始向量

再把初始向量表示为

特征向量的线性组合

进一步再把A的k次方

乘到括号里边

那么A作用在特征向量上

就等于λ倍的倍乘

所以最终就等于这样的一个算式

再把数值代进去

就得到了这样的结果

那么当k趋向于无穷的时候

我们会发现上述算式当中的

0.58的k次方就趋向于0

我们假设第一项的系数c1大于0

则对于充分大的k

状态向量xk近似地等于1.02的

k次方乘以c1再乘以特征向量v1

纳闷根据同样的道理

我们就得到了xk

就约等于1.02倍的xk-1

由上述表达式我们可以看出

经过充分长的时间之后

猫头鹰和老鼠的数量几乎每个月

都近似地增加到上个月的1.02倍

也即有2%的月增长率

而Ok与Rk的比值约为10：13

也即没10只猫头鹰

对应着约13000只老鼠

综合上述讨论

若不考虑其他因素

这个系统不是一个稳定的系统

长期发展下去

猫头鹰和老鼠的数量

必然会膨胀溢出

然而从二者数量的比值来看

最终会趋于稳定

且该比值就是特征向量v1的斜率

本讲小结

在本讲中

我们讨论了特征值理论的

几个实际应用问题

这几个问题具有共同的特点

特点一，数学模型均为xn

等于A的n次方乘以x0

对于充分大的n预测状态向量xn

特点二

对于这些问题的求解思路

我们都给出了两种方法

方法一就是对角化的方法

去计算A的n次方

方法二则是将初始向量x0

表示为特征向量的线性组合

从结论上来看

此类问题随着n的增大

状态向量xn会逐步

趋近于某一个特征向量

该特征向量一定是属于

绝对值相对较大的一个特征值

因此绝对值最大的特征值

及其所属的特征向量

反映了此类问题长期发展的结果

这就是特征值

与特征向量的实际意义

此外，特征值与特征向量

在几何方面将有更多的意义

我们将在下一章中具体介绍

本章小结

在本章中

我们从一个具体的问题入手

即简单的人口迁移问题

这个问题的求解

需要计算方阵的高次幂

为了解决这个问题

我们引入了特征值与特征向量的概念

引入了矩阵相似的概念

进而提出了矩阵

相似对角化的问题

利用相似后的对角矩阵

我们就可以计算矩阵的高次幂

其中相似后的对角阵

与原矩阵的特征值有关

而相似变换中的可逆阵

与原矩阵的特征向量有关

之后我们讨论了一类特殊的矩阵

即实对称阵，它们的特征值

与特征向量有较好的性质

从而可以得到更好的

正交对角化的结论

相对于矩阵的秩

特征值是更加精细的数量本质

它反映了矩阵某些不变的本质

是本课程的重点之一

而在操作计算方面

本章是前六章的综合运用

是我们考核的重点也是难点

希望同学们能多加练习

多加体会，最终达到融会贯通

好，本章的内容就到这里

我们下章 再见