当前课程知识点：简明线性代数 > 第5章 线性方程组的解理论 > 5-2 非齐次线性方程组的解理论 > 5-2 非齐次线性方程组的解理论
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线性代数先修课
第五章
线性方程组的解理论
5.2节
非齐次线性方程组的解理论
在本讲当中
我们将利用矩阵秩的概念
重新给出
非齐次线性方程组的
解的判定法则
进一步
我们将讨论非齐次线性方程组
在解不唯一的情况下
解集合的结构
最后
我们将给出非齐次线性方程组的
一般求解步骤
第一点
非齐次线性方程组的
解的判定法则
首先
我们来回顾一下
我们在第一章当中
用Gauss消元法给出的
非齐次线性方程组
有解的条件
对于AX=b
这样一个非齐次线性方程组
首先我们利用初等行变换
将增广的系数矩阵
(A,b)化为阶梯型矩阵
如果主元素在最后一列
则方程组无解
否则方程组有解
下面
我们将用一个新的观点
也就是用向量组的
秩与线性相关性的观点
重新来讨论上述判断的过程
我们将系数矩阵记
为m×n型的矩阵
其分量为aij
并且设αj表示
系数矩阵A的第j列
非齐次线性方程组AX=b有解
可推出其向量表出形式有解
而这可推出列向量b可以由
A的列向量组
α1 α2…αn线性表出
这又可以推出
把向量b加到A的
列向量组当中
和原来A的
列向量组是等价的
于是利用等价的
向量组有相同的秩
可以推出
这两个向量组的秩相等
于是就可以得到
系数矩阵的秩
等于增广矩阵的秩
由于秩的相等
我们可以推出
增广矩阵通过行变换
化为阶梯型矩阵以后
主元素不在最后一列
请大家验证
上述推导过程
全部可反推回去
因此
实际上我们已经给出了
非齐次线性方程组
AX=b有解的充要条件
即系数矩阵的秩
等于增广系数矩阵的秩
进一步
当非齐次线性方程组
AX=b有解的时候
如果增广矩阵的秩
等于系数矩阵的秩
等于列数n的时候
则由线性相关性的临界关系
则我们知道
向量b的表出系数必为1
即方程组有唯一解
反之亦然
如果增广系数矩阵的秩
等于系数矩阵的秩
小于列数n的时候
则增广系数矩阵
经过Gauss消元法
化为阶梯型矩阵之后
主元素的个数
就小于列的个数
从而
必有自由未定元
因此方程组有无穷多个解
反之亦然
于是我们把
上述讨论总结为结论
就得到了我们的定理一
及增广系数矩阵的秩
不等于系数矩阵的秩的时候
当且仅当
非齐次线性方程组AX=B无解
而增广系数矩阵的秩
等于系数矩阵的秩
等于列数的时候
当且仅当非齐次线性方程组
有唯一解
而增广系数矩阵的秩
等于系数矩阵的秩
小于列数n的时候呢
当且仅当非齐次线性方程组
有无穷多个解
对于这个结论当中
我们需要说明的是
第一个条件
即增广系数矩阵的秩
不等于系数矩阵的秩的时候
它只可能等于
系数矩阵的秩加1
第二点
非齐次线性方程组的结构
下面
对于非齐次线性方程组
我们来讨论以下的问题
当它的解不唯一的时候
这些解具有哪些性质
第二个问题是所有的解
构成的解集合
整体结构如何
下面我们就来讨论
非齐次线性方程组的解
与对应的齐次线性方程组的解
之间的关系
为了方便
先给出如下的符号和定义
导出组
即我们把系数矩阵相同的
齐次线性方程组
称为是非齐次线性
方程组的导出组
也即对于AX=b来说
AX=0就是它的导出组
在上一讲当中
我们介绍了齐次线性方程组的
解集合记为N(A)
即我们这里导出组的全体解
它也称为矩阵A的
解空间或者是零空间
对于非齐次线性方程组
AX=b的全体解
我们把它记为N(A,b)
接下来
我们就来讨论N(A,b)
与N(A)之间的关系
第一个观察
如果ξ1 ξ2
属于N(A,b)
也就是说
ξ1和ξ2都满足
非齐次线性方程组
把这两个式子相减
左边把A提出来
右边b减b等于零
这个式子就说明了ξ1-ξ2
满足对应的导出组的解
即ξ_1-ξ2就属于N(A)
第二个观察
如果我们取定
N(A,b)里的一个解
记为ξ0
那么对于N(A)里的任意元素η
我们考虑ξ0+η
对于这个向量
左乘以矩阵A
就等于把A分别
左乘以这两个向量再相加
由于ξ0是
非齐次线性方程组的解
因此它左乘以A就等于b
而η是齐次线性方程组的解
它左乘以A就等于零
因此 b加0等于b
这个式子说明了ξ0+η是
非齐次线性方程组的一个解
因此我们把它记为γ
也就是γ属于N(A,b)
由于η的任意性
我们把这个式子
转化为集合的包含关系
就有ξ0+N(A)属于N(A,b)
其中一个向量
加上一个集合
是这样定义的
它是一个集合
这个集合等于这个向量
加上这个集合里的
所有元素
构成的一个新的集合
这里我们证明了
ξ0+N(A)是
包含在N(A,b)这个集合里的
反过来同上
我们取定ξ0为
N(A,b)里的一个元素
对于N(A,b)里的
任意一个元素γ
我们去计算γ-ξ0
由上讨论我们就知道
它是N(A)里的一个元素
即存在N(A)里的一个元素η
使得γ=ξ0+η
这个元素是属于
ξ0+N(A)这个集合的
那么再由γ的任意性
我们就可以证明
集合N(A,b)是
包含在集合
ξ0+N(A)当中的
对比红线上的这两个式子
我们就知道
这两个集合就相互包含
因此这两个集合
就是相等的集合
总结一下
我们就得到了
如下的定理二
即对于非齐次线性方程组AX=b
如果A的秩等于(A,b)的秩
等于r小于等于n的时候
且ξ0是N(A,b)里的一个特解
则非齐次线性方程组的解集合
就等于对应的
导出组的解集加上特解
进一步
如果设ξ1 ξ2…ξ(n-r)
是导出组的
一组基础解系的话
则非齐次线性方程组的通解
也就是一般解
为这样的形式
其中 k1 k2…k(n-r)
为任意实数
对于定理二
我们有如下的说明
整个求解的过程当中
有两个关键
第一个就是特解
ξ0如何取定
第二个关键
就是基础解系
η1 η2…η(n-r)如何计算
第二点
非齐次线性方程组
AX=b的解集合
需由对应的齐次线性方程组
AX=0的解集合导出
因此我们就把AX=0这个方程
称为AX=b
这个方程组的导出组
这也就是导出组的来历
第三点 从几何上看
非齐次线性方程组
解集合N(A,b)
实际上相当于
其导出组的解空间N（A）
作平移而得到的
特别地
特解ξ0就是
空间当中的平移向量
第四点
特解与基础解系的
选取均不是唯一的
但是我们要提出一个问题
就是 它们选取均不唯一
但是由它们给出的
非齐次线性方程组
的通解的解集合
也就是ξ0+N(A)
为什么是确定的呢
请大家在课后
思考这个问题
如果定理二成立
则对两个集合分别
取数量关系
我们就有这样一个结论
即当非齐次线性方程组
有解的时候
其解集合的
个数就等于
其导出组的解集合的个数
#S就表示集合S的元素个数
我们允许它等于无穷
对于这个推论
我们只给出一个证明的思路
要证这两个集合的个数相等
我只需要去证明
这两个集合之间
存在一个双射
于是我就去建立这个双射
即σ把x映到x减去特解ξ0
那么只需要去验证
σ为单射又是满射
从而就可以得到结论
利用这个推论
请大家来看下面这个例题
设A是一个m×n型的矩阵
则在下列结论当中
哪一个是成立的
首先我们先来看选项A B
是由齐次线性方程组的解
来推断非齐次线性方程组的
解的情况
而选项C D是
由非齐次线性方程组的
解的情况
来推断齐次线性方程组的
解的情况
我们要使用推论
必须要注意其前提
这个前提就是
非齐次线性方程组有解
然而我们知道
齐次线性方程组总是有解的
但是对应的
非齐次线性方程组
不见得有解
因此选项A B是错误的
那么正确答案
只能在C D当中选择
那么由推论我们就知道
当非齐次线性方程组
有解的时候
齐次线性方程组的
解和它一样多
因此选项C也是错的
从而正确答案只能是选项D
即如果非齐次线性方程组
AX=b有无穷多解
则对应的齐次线性方程组
其解数也要有无穷多个
也就是有非零解
这个例子告诉我们
我们可以从
非齐次线性方程组
AX=b的解的情况
推出对应的
齐次线性方程组的
解的情况
但是反过来是不成立的
如需成立
还需要检验
非齐次线性方程组的
有解条件
即r(A,b)=r(A)
例2 设A是
一个m×n型的矩阵
则下列命题当中
成立的是哪一个
首先我们先来观察一下
这些选择项
选择项的条件
全都是一样的
均为r(A)=n
也就是说
A是一个列满秩的矩阵
对于这样一个
列满秩的矩阵
对应的齐次线性方程组
一定只有零解
而对于非齐次线性方程组
我们并不知道
增广系数矩阵的
秩的情况
因此选项C到
选项F均是错误的
所以正确答案就是选项B
例3 设A是
一个m×n型的矩阵
则下列的结论当中
成立的是哪一个
观察一下选择项
所有的条件均为r(A)=m
也即A是一个行满秩的矩阵
由于A是行满秩的
所以在A的右边加上一列之后
得到增广矩阵
也是行满秩的
从而我们就只能得到
系数矩阵的秩
等于增广系数矩阵的秩
所有解的判则还需要考虑
系数矩阵的
秩与列数n的关系
但是从这个条件当中
我们均不能得到
所以我们所有的选择当中
只有D是对的
即我们只能得到
非齐次线性方程组
有解的结论
而对于其他选项均是错误的
我们还是回到
非齐次线性方程组的求解过程
刚才我们已经说过
整个求解过程中
有两个关键
第一个关键是
如何求出一个特解ξ0
第二个关键
就是如何去计算
导出组的一组基础解系
那么对于第二个问题
实际上
我们已经在上一讲当中
也就是齐次线性方程组的
解理论当中
给出了回答
下面我们就来
讨论第一个问题
对于非齐次线性方程组AX=b
当系数矩阵的秩
等于增广系数矩阵的秩
等于r并且r≤n的时候
对于增广系数矩阵
用初等行变换
化为如下的
简化的阶梯型矩阵
为了方便我们不妨设
主元素都位于前r列
根据Gauss消元法
我们可以得到
方程组的解是这个样子的
其中 我们用黄色的方框
把主元素标记出来
于是主元素所在的列
所对应的变量为主变量
在这里就是
x1 x2…xr就是主变量
而其余的变量
就为自由变量
特别的
当我们取自由变量
全为零的时候
我们就可以得到
主变量就等于简化阶梯型
当中的最后一列的前r个元素
也就是这里红色方框里的元素
从而我们就可以得到一个特解
把上述过程总结一下
就可以得到
非齐次线性方程组
求解的一般的步骤
第一步 用初等行变换
将增广系数
矩阵（A,b）化为
简化阶梯型矩阵C
并且其非零行数为r
第二步
如果存在主元素在最后一列
则方程组无解
整个计算停止
否则 也即没有
主元素落在最后一列
则r个主元素所在的
列所对应r的变量
就为主变量
其余的n-r个变量
为自由变量
第三步 如下求得一个特解
我们将特解ξ0当中的
自由变量部分全部取零
而r个主变量的部分
就取为简化阶梯型矩阵C的
最后一列的前r个值
进一步 如果r=n
则上述所得的特解就是
非齐次线性方程组唯一解
计算停止
否则也即r 则进入下面的第四步 第四步 利用简化的阶梯型矩阵 求出导出组的 一组基础解系 记为η1 η2…η(n-r) 其中 ηi的 自由变量部分 取为n-r维向量空间当中的 第i个自然基 而η_i的主变量部分 就有简化阶梯型矩阵C当中的 第i个非主元素所在列的 前i个元素乘以-1而得到 最后一步 即第五步 把刚才第三步 第四步所得到的特解 和基础解系 作这样的一组组合 就得到了 非齐次线性方程组的通解 其中系数ki 可以跑遍所有实数 下面我们就根据上述步骤 来计算一个具体的 非齐次线性方程组的解 对于这个例题 我们观察一下 这个方程组 有五个变量 四个方程 那么第一步 我们先用初等行变换 将增广矩阵化为 简化的阶梯型矩阵 具体的步骤我们省略了 请大家在课下自行推导 那么得到了 右边这个简化的阶梯型矩阵 观察一下 这个简化的阶梯型矩阵C 我们用黄色的方框 把主元素标记出来 我们知道 主元素位于第1 第3和第4列 它们均不在最后一列 因此这个线性方程组有解 且系数矩阵的秩 等于增广系数 矩阵的秩等于3 而x1 x3和x4就为主变量 剩下的变量即x2和x5 就为自由变量 第三步 我们把自由变量x2 和x5均取为零 并且从C的最后一列 也就是红色方框里的 这部分得到特解ξ0 就是这样一个向量 第四步 令自由变量x2和x5 分别为1 0和 0 1 这两个二维空间的自然基 并且由简化的 阶梯型矩阵的 第二列和第五列 得到导出组的 一组基础解系是这个样子 其中 η1的白色部分是由 矩阵C的 第2列取负号得到 而η2的白色部分可以由 矩阵C的第5列的 前3个分量取负号得到 第五步 把第三 第四步得到的特解 和基础解系做这样一个组合 就得到了 原方程组的一个通解 是这样的形式 下面我们来看 一个含参的例子 设非齐次线性方程组的 增广矩阵 为这样的一个形式 其中a和t是两个参数 请问 a和t取何值的时候 方程组无解 有唯一解 或者是无穷解 当方程组有无穷多解时候 请给通解 我们还是先把 增广矩阵用初等行变换的方法 化为阶梯型矩阵 这时 右边这个矩阵 已经是阶梯型矩阵了 我们考察主对角线上的 第三和第四个元素 当a≠2且t≠1的时候 主元素均落在主对角线上 并且主元素不落在最后一列 因此方程组有解且有唯一解 另一种情况 就是当t=1 也就是黄色圈里的 数计算值等于0 而此时t=1时 t+2不等于0 这个时候红色方框里 就是一个主元素 于是 主元素 出现在了最后一列 因此增广系数矩阵的秩 不等于系数矩阵的秩 原方程组无解 第三种情况 当a=2 t≠1时 也就是黄色圆圈里的 数计算值等于0 进一步 用初等行变换 我们可以把它 化成这样的一个形式 这个时候 我们考虑一下t-4 如果t-4≠0 则主元素落在最后一列 此时方程组无解 如果t-4=0 也就是a=2且t=4时候 这个时候我们会发现 系数矩阵的秩等于 增广系数矩阵的秩等于3 它小于列数 因此方程组有无穷多解 此时 我们把这个矩阵 用初等行变换进一步化简 得到简化的阶梯型矩阵 从这个简化的阶梯型矩阵 我们就知道 x1 x2 和x4为主变量 x3为自由变量 让自由变量取零 而主变量取 阶梯型矩阵 最后边这一列的前三个元素 也就是红色方框里的元素的时候 我们得到一个特解 让自由变量取1 而主变量取第三列上的元素 并加负号之后 就可以得到基础解系η1 从而最终得到方程组的全体解 本讲小结 在本讲当中 我们讨论了 非齐次线性方程组的 解的判则 解的结构 以及求解的步骤 首先我们利用 系数矩阵的秩 增广系数矩阵的秩 以及列数的关系 给出了非齐次线性方程组 解的情况的判定法则 其次 我们利用导出组的解集 给出了非齐次线性方程组的 解的结构 也就是N(A,b) 等于N(A) 加上一个特解ξ_0 最后 我们给出了 非齐次线性方程组 一般的求解步骤 这个步骤和我们第一章 给出的步骤是一致的 只是在计算过程中 更加明确和更加严格化 好本讲的内容就到这儿 我们下讲再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
