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线性代数先修课
第一章 线性方程组
1.4节 齐次线性方程组
在上一讲当中
我们介绍了用Gauss消元法
求解和判断线性方程组解的情况的方法
但是，对于常数项全为零的齐次线性方程组
从结论到求解过程，都可以更简单
那么，本节我们将介绍
齐次线性方程组的求解问题
在本节当中
我们将首先引入齐次
与非齐次线性方程组的概念
并且，给出齐次线性方程组有非零解的
另一个判断法则
首先，我们先来看齐次
与非齐次线性方程组的定义
设我们有一个n个未知量、
m个方程的线性方程组
它的系数矩阵如下
增广系数矩阵记为A一罢
那么，如果对所有的i从1到m
均有b_i=0
则称上述的方程组为齐次线性方程组
否则，称为非齐次线性方程组
对于齐次线性方程组
由上一节讨论的定理2.1
我们知道如下结论成立
第一
增广系数矩阵的最后一列全为0
所以作初等行变换后
最后一列的元素也全为0
于是，主元素不可能出现在最后一列
因此，齐次线性方程组一定有解
但是，我们也可以不必通过定理2.1
就可以很容易地知道所有的x_i=0
一定是齐次线性方程组的一组解
因此，我们把它称为零解
第三个结论
若齐次线性方程组有非零解
则它必有无穷多个
第四个结论
由于常数项全为零
因此，对齐次线性方程组
作Gauss消元法时
只需对系数矩阵A操作即可
下面我们给出齐次线性方程组
有非零解的另一个判则
对于齐次线性方程组
我们最关心的是它有没有非零解
那么除了用定理2.1中的r=n或者是r 下面的定理，给出了另一个充分条件 定理2.2 若齐次线性方程组的 方程个数m小于未知量的个数n时 齐次线性方程组一定有非零解 下面，我们来证明它 对这个方程组的 增广系数矩阵作初等行变换 化为阶梯型矩阵B 则阶梯型矩阵B的主元个数r 一定小于或者是等于其行数 那么，又由于行数m是严格地小于n的 所以我们就知道 一定要严格地小于n 那么由定理2.1我们就知道 这个齐次线性方程组 一定有无穷多解 下面，来看一个具体的例子 这是一个四元一次的齐次线性方程组 根据我们刚才的讨论 我们只需对系数矩阵A 作初等行变换即可 首先，我们把第一行和 第二行进行交换 这样的话，便于我们将来进行消元 对第一行乘上适当倍数 加到第二行第三行第四行上面 消去第一列上其他位置上的元素 使其化零得到了第三个矩阵 进一步，我们用 第四行减去第二行的两倍 得到这样的一个矩阵 目的是想直接让主元等于1 那当然下一步就是 把第四行和第二行进行对换 把主元素1的位置换到第二行上 接下来，用倍加的方法 把第二列上的其他1下面的 两个元素化零 接着进一步，按部就班 用初等行变换把它 化成阶梯阵的形式 这已经是一个阶梯阵了 于是，我们从 最后一个主元素出发 依次往前消去主元上方的 元素使其化零 就得到了这样一个简化阶梯阵的形式 那么，把这个简化的阶梯阵 直接写成线性方程组的形式 就可以知道它的一般解为这样 其中x1，x2，x3为主变量 而x4为自由未知量 可以取任意实数 因此，原方程组有无穷多组解 在本讲当中 我们主要讨论了 齐次线性方程组的求解问题 由于齐次线性方程组的常数项全为零 解的情况和求解过程都相对简单 所以，对齐次线性方程组作Gauss消元时 仅需对系数矩阵A操作变换即可 另外，对解的情况判断时 除了用定理2.1中的r和n的关系以外 还有一个判则 即检查方程个数m和未知量n的关系 而这可以直接从方程组的形态来判断 无需任何算法 简单明了 在本章中 我们对线性方程组进行了初步讨论 用Gauss消元法回答了 前三个基本问题 对于其他问题 我们将在学习了更多的理论知识后 在后续章节中进一步讨论 本章的学习就到这 我们下一章再见！
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
