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线性代数先修课
第八章 矩阵与变换
8.5节 坐标系替换与矩阵相似
在本讲中 我们将说明
矩阵相似的几何意义
就是坐标系的替换
我们首先介绍坐标系替换
以及过度矩阵的概念
然后 通过具体推导
得到一组相似的矩阵
从而得到我们主要的结论
最后 我们将对于
低维空间中的若干例子
详细解释和验证
我们的主要结论
一 坐标系替换
坐标系替换是处理
几何问题的常用手段
比如 平移变换
如图 在平面当中
我们已经建立由自然基
构成的直角坐标系
如果我们要将原点
从O平移到O'
则我们就沿着向量OO'
也把它记为α
平移得到一组新的坐标系
也即图像当中
虚线所标记的坐标系
设OO'为α
而x和x'分别为同一点在
原坐标系和新坐标系下的坐标
那么 我们容易验证
平移变换的坐标替换公式
就是x'等x减α
二 矩阵相似的几何意义
之前 我们在6.3节中
介绍了矩阵的相似问题
并讨论了在相似意义下
矩阵的对角化问题
在我们介绍了
坐标系替换的概念之后
我们要提出这样的一个问题
也即 在坐标系替换的意义下
设矩阵变换A在新的坐标系下
所对应的矩阵为B
则B与A有何关系
进而 矩阵的相似对角化问题
又有何几何意义
在本节当中
我们就来讨论并回答这个问题
以下我们只讨论
保持原点不变的坐标系替换
因为平移变换
刚才我们已经给出了变换公式
为方便起见
我们只讨论二维平面的情况
而对于一般的n维空间
有相同的方法和结论
如图所示 我们首先在平面当中
选取α1 α2
为两个不共线的向量
从而它们俩线性无关
于是α1 α2就可以构成
平面的一组新的基
也即α1 α2
可以构建一组新的坐标系
设在自然基下的坐标
分别为p11 p21
以及p12 p22
于是我们把这两个
列向量排列起来
得到一个矩阵
把它记为P
这个矩阵称为从自然基
到新基α1 α2的过渡矩阵
那么把α1 α2的坐标
表达式合并起来
就可以得到下面的这个式子
我们把它记为(1)式
那么(1)式
就是过渡矩阵的定义式
从上述定义我们可以看到
由α1 α2线性无关
所以过渡矩阵
一定是可逆矩阵
并且对于初学者来说
经常容易搞混
过渡矩阵的定义
所以我们特别说明一下
过渡矩阵是用旧基
来表示新基所得
其中P的第j列就是
第j个新基在旧基下的坐标
那么 有了一组新基之后
我们对于平面当中的
任意一点X
设X在旧的坐标系下
坐标向量为x
也即x可以表示为
自然基的线性组合
组合系数就是它的坐标
而设同一点x在新的
坐标系下的坐标为x'
那么x'应该怎么表示呢
由于同一个点
在不同坐标系下的位置
是相同的
所以我们可以得到
这样的一个等式
也即等式的左边表示
旧基下的坐标表示
而等式的右边表示
新基下的坐标表示
进而我们
把过渡矩阵的定义式
代入到上式的右边
就得到了这样的一个等式
对比这个式子的两边
我们就推出了x等Px'
或者反过来x'等P^-1乘x
对于第二个等式
我们就称为坐标替换公式
进一步 我们设A为二阶方阵
下面求矩阵变换φA
在坐标替换下的表示矩阵
设Ax等y 则在自然基下
这个式子相当于
左边都乘以自然基
构成的形式列向量
实际上相当于
都乘以单位阵I
而这并不改变上述等式
进而我们再把
过渡矩阵的定义式代入
即得到下面这个等式
其中我们把e1 e2表示为
α1 α2再乘以P逆
并且等式左边
和右边同时替换
就得到了这样的等式
进一步 我们在A的后边
乘以一个P
再乘以一个P逆
进一步 再利用
乘法的结合律
优先计算P逆乘以x
而P逆乘以x恰好为
我们的坐标替换公式
因此它可以表示为x'
而等式的右边
P逆乘以y就可以表示为y'
因此上面这个等式说明了
在新的坐标系α1和α2意义下
φA的表示矩阵就为P逆AP
从而 这说明同一个矩阵变换
在新的坐标系下的表示矩阵
与原来基下的
表示矩阵是相似的
而相差的可逆阵
正好为两个基之间的
过渡矩阵
矩阵相似就是
同一个矩阵变换
在坐标替换下的
表示矩阵的变换
于是矩阵的对角化问题
从几何上来看
就是试图找一组合适的基
或者是坐标系
使得原变换在该组新基
或者是新的坐标系下
表示矩阵较为简单
此外 特征值是矩阵变换在
某个特殊方向上的
放缩比例
也即特征子空间的放缩比例
这样的放缩比例
与坐标系的选择无关
这也就是为什么相似的矩阵
具有相同的特征值的原因
下面我们给出一些具体的例子
在例子当中
同学们可体会和使用
我们的主要结论
例1 用坐标系替换的方式
重新推导平面内
线投影的变换矩阵公式
解 设l为投影直线的单位向量
我们可以选取l以及
与l正交的单位向量
为新的坐标系
我们把这个与l正交的
单位向量记为l垂直
其中 如果我们设l的分量
为l1 l2的话
那么 l垂直很容易计算
就应该等于-l2 l1
因此过渡矩阵就是把
这两个基向量按列的方式排出
就得到了P就等于
这样的一个二阶矩阵
设该变换在旧基
也就是自然基
与新基下的矩阵表示
分别为A和B
于是 根据我们刚才的推导
A和B就是相似矩阵
且满足B等P^-1 AP
那么在新的坐标系下
我们很容易知道
投影变换就是投影到
第一个坐标轴上
因此它所对应的矩阵
就是1 0 0 0的形式
从而我们可以反过来
用这个式子算出A
具体的代入计算之后
我们会发现它是等于
右边这个矩阵
那么很容易验证
它就等于l乘以l的转置
因此我们就用坐标替换的方式
重新推导了线投影的
变换矩阵的公式
例2 设平面内有一束
平行的光束 方向为β
那么 投影直线的方向为α
设α与β不共线
沿β方向在α上的投影变换
所对应的矩阵是什么
我们依然用坐标系替换的方法
来解决这一个问题
由于α与β不共线
因此 我们可以选择
α和β为新的坐标系
从而过渡矩阵就是
把α和β按列排列起来
得到的这样的二阶矩阵
我们把它记为P
容易知道 在新的坐标系下
投影变换的矩阵就为
1 0 0 0的形式
故在原来的自然基下的矩阵
就有这样的一个等式
那么我们把P和P逆
分别代进去
计算结果就等于这样一个矩阵
其中P逆可以用伴随的方法
很容易求得
例如 沿着x1等x2方向
在x1轴的投影变换如图
对应的投影向量α
就等于(1,0)
那么 光束方向
就等于向量(1,1)
把α和β代入上一页的公式
就可以算得
该投影的表示矩阵
为这样的形式
同学们可以自行验证
这个矩阵确实对应
沿着β方向在e1方向的投影
本讲小结
在本讲中 我们讨论了
保持原点不变的坐标系替换
给出了过渡矩阵以及
坐标变换公式
进而推导得到了
矩阵相似的几何意义
即同一矩阵变换在
不同坐标系下的
表示矩阵是相似的
进而我们对一些
低维空间中的具体变换
用选择新基的方法
并利用相似变换与
坐标系替换的关系
给出了对应的变换矩阵
从而详细解释和验证了
我们的主要结论
本讲的内容就到这儿
下讲再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
