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线性代数先修课
第六章 内积空间
6.2节 标准正交基与正交矩阵
在本讲中
我们要把2维3维
空间中的直角坐标系
推广到n维空间中
首先 我们讨论
两两正交的向量组的线性无关性
并在此基础上
引入标准正交基的概念
并分析其意义
其次 从矩阵的角度来看
将标准正交基排列起来
所得到的矩阵
就称为正交矩阵
我们将讨论正交矩阵的若干性质
一 正交向量组的无关性
首先 我们来回顾一下
在上一讲当中
我们定义了n维空间中的内积
利用内积
我们引入了向量的长度
向量之间的夹角等度量概念
特别地
当两个向量的内积为0时
它们的夹角为2分之π
也就是 它们是正交的
此后 我们将围绕“正交”
这个概念来展开讨论
回到2维 3维空间中
在几何学与物理学当中
正交的两个向量
相互关联性是最小的
正因为如此
我们在平面和几何空间中
可以建立直角坐标系
从而可以将很多几何问题
物理问题的分析
和计算大大地简化
在本讲当中
我们将把R2与R3
当中的直角坐标系
推广到一般的n维向量空间中
在此推广的坐标系下
为把任意n维向量唯一地
表示为坐标向量的线性组合
我们需要首先证明如下结论
它保证了两两正交的向量组
必然是线性无关的
在欧氏空间Rn当中
一组非零的两两正交的向量
称为是一个正交向量组
对于正交向量组
它有一个非常重要的性质
也就是我们的定理1
即 任意正交向量组
α1 α2…αs是线性无关的
下面我们来证明定理1
我们要证明α1到αs线性无关
于是我们先把
它们的线性组合等于0设出来
接下来我们对于
等式两边都有αi去作内积
就可以得到这样一个结果
对于等式的左边
我们利用内积的性质
我们把它展开成这样的s项
由于α1 α2…αs是两两正交的
于是我们就知道
当j≠i 的时候
αj与αi 的内积是等于0的
把这些0代入上式
我们就知道
只有一项保留下来了
也就是ki倍的αi和αi的内积
又因为αi是非零向量
于是αi和自己的内积
就等于它的模长的平方
一定是严格的大于0
于是我们推出了
只有ki 等于0
上述讨论对于所有的i均成立
所以我们就推出了
这个组合系数
所有的ki都等于0
因此 α1…αs必然线性无关
我们就证明了定理1
由定理1
我们很容易得到下面一个推论
也就是在n维欧氏空间Rn当中
任意的正交向量组的
向量个数不会超过n
其证明非常也简单
因为我们知道在n维空间当中
线性无关的向量最多只有n个
而两两正交的非零向量组
所含的向量个数
就一定不会超过n个
特别地
当正交向量组所含的
向量个数达到最大
也就是等于n的时候
此向量组就称为
欧氏空间Rn的一组基
且是两两正交的
这样的一组向量
就是R2和R3中的直角坐标系
在n维欧氏空间Rn中的推广
下面 我们将详细讨论这样的基
二 标准正交基的概念
根据前面的讨论
我们可以给出如下的定义
在n维欧氏空间Rn中
由n个两两正交的非零向量
构成的向量组
我们称为正交基
那么进一步
由单位向量组成的正交基
就称为标准正交基
或者是单位正交基
我们做如下说明
第一 对一组正交基进行单位化
就可得到一组标准正交基
第二 由定义 α1 α2…αn
是R n的一组标准正交基
的充分必要条件
就是这样的一个代数计算式
它表示当i=j的时候
αi的模长等于1
而当i≠j的时候
αi与αj是正交的
那么我们提出一个问题
如果把条件放宽一些
也就是 如果一个向量组
α1…αn是Rn的一组正交基
它的充分必要条件是什么呢
请大家课后思考这个问题
下面我们来看标准正交基的例子
我们知道在Rn当中自然基
一定是一组标准正交基
那么除了自然基以外
我们还有其他的标准正交基吗
我们首先先来看简单的例子
也就是在平面R2当中
这样给定的两个向量α1与α2
当我们把它们在
平面直角坐标系当中画出来
我们就知道
α1对应这样一个向量
而α2对应这样一个向量
很容易计算
它们的模长都等于1
并且它们两是正交的
于是α1 α2也构成了平面
R2的一组标准正交基
那么对于另外一组向量
这样给定的β1和β2
那么我们把它画出来以后
其中β1与x轴方向的夹角就为θ
那么β2就是这样的一个向量
它和y轴方向的夹角就是θ
那么它们就相当于
把x轴和y轴向逆时针方向
旋转了θ角度
所以它们依然保持是正交的
而它们的模长很容易验证都等于1
因此β1 β2也构成了平面
R2的一组标准正交基
例2 设ε1 ε2…εn
是欧氏空间Rn的一组标准正交基
那么对于任何向量α
求向量α在这组标准正交基下的坐标
也即这样的向量X
下面我们来求解这个问题
首先我们把向量α
表示成为基向量εi的线性组合
组合系数就是它的坐标
为了求这些坐标xi
我们同用εj去作用内积
并且利用标准正交基的充要条件
我们就得到了这样的等式
首先我们把α替换成
基向量的线性组合
对于等式的右边
我们利用内积的性质展开
并且利用标准正交基的
充分必要条件
我们就知道
上式右边展开之后的
大多数项都等于0
只有一项保留下来
也就是xj倍的εj
和εj自己的内积
由于εj的模长等于1
所以最后的计算结果就等于xj
于是我们就求出了
α在这组标准正交基下
坐标向量X的第j个分量
也就是xj
就等于α与εj的内积
再让j从1跑到n
我们就求出了所有xj
也就求出了坐标向量X
对于例2 我们做如下说明
我们要求一个向量α
在标准正交基下的各个坐标
只需要分别去计算该向量
与每个基向量的内积即可
计算很简便
然而 对于一般的基
就需要去解
对应的非齐次线性方程组
或者去计算对应矩阵的逆
这个计算量明显是大于前者
于是这就体现了标准正交基
在计算坐标方面的便捷性
下面再来看一个例子
在n维欧氏空间Rn当中
对于给定的任意内积运算
我们令ε1 ε2…εn
是在这组内积下的一组标准正交基
并且我们设向量α
在这组基下的坐标是X
β在这组基下的坐标是Y
于是对于α和β做内积
我们就可以把上面两个式子
代到内积表达式当中
再利用内积的双线性
最后把它展开为εi与εj的内积
再做线性组合
那么由于ε构成了一组标准正交基
于是计算结果大多数都等于0
只有一些项保留下来了
就是i=j的情况
此时的计算值
就等于X向量与Y向量做点乘
也就是做标准内积
等式的左边是
两个向量做一般的内积
右边是两个坐标向量做标准内积
那么在上一讲的讨论当中
我们知道 n维向量空间当中
可以引入很多种不同的内积
那么当引入内积
不是标准内积的时候
其内积的计算会比
标准内积的情形麻烦很多
但是例3说明
标准正交基可以将一般内积的计算
转化为其坐标向量的标准内积的计算
从而就起到了简化计算的作用
三 正交矩阵及其性质
下面从矩阵的角度来看
我们规定Rn的内积为标准内积
于是在标准内积下
对任意一组标准正交基α1…αn
将其按列向量方式排列起来
就可以得到一个n阶方阵
我们把它记为Q
于是我们去计算Q转置乘以Q
并且按分块矩阵的方式给出
就可以得到其计算结果
为一个n阶方阵
其每一个分量就正好对应了
αi与αj的标准内积
那么由于α是一组标准正交基
因此αi与αj的内积计算结果
就等于δij
于是这个矩阵当中只有i=j的时候
其分量等于1
而其他位置全都等于0
因此这个矩阵就对应单位阵In
反之 如果有一个n阶方阵Q
满足Q转置乘Q等于单位阵
则我们将Q按列分块
表示为这样的形式
也就是它的列分别为α1 α2…αn
于是我们把这个分块
代到上述式子当中
于是就得到这样的一个式子
那么这个式子等于单位阵
说明αi与αj
做标准内积就等于δij
于是这就说明Q的n个列构成了
Rn的一组标准正交基
把上面的讨论总结一下
我们就可以得到如下的定义2
我们设Q是一个n阶方阵
它满足Q转置乘Q等于单位阵In
则我们把满足这个条件的方阵
称为是正交矩阵
简称正交阵
对于正交阵 有如下的性质
首先Q为正交阵
它的充分必要条件就是
矩阵Q的行向量组或者是列向量组
构成R n的一组标准正交基
性质2
若Q为正交阵
则Q的行列式等于+1或者是-1
性质3
正交矩阵Q必然可逆
且它的逆就等于它的转置
并且它的逆矩阵
也就是它的转置矩阵
仍然为正交矩阵
性质4
Q为正交矩阵当且仅当
Q可逆且Q的逆等于Q转置
性质5
正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵
那么对于这个定理
除了性质1我们已经证明了以外
其他性质都可以由
正交矩阵的定义而直接验证
我们把这些证明留作课后习题
希望大家课后自行补上
需要特别说明的是
性质3给出了正交矩阵的一个优点
也就是对于正交矩阵来说
它的求逆非常简单
只需要将其转置就可以得到它的逆
本讲小结
从本讲开始
我们将围绕欧氏空间中的
正交性展开讨论
首先 我们证明了
两两正交的非零向量组必线性无关
基于此
我们把n个两两正交的非零向量
构成的单位向量组称为标准正交基
而它就是我们熟悉2维平面
3维几何空间中直角坐标系
在一般n维欧氏空间中的推广
它的引入能起到简化计算的作用
接下来从矩阵的角度
将一组标准正交基排列起来
得到的矩阵就是正交矩阵
正交矩阵的一个好处
在于求逆非常简单
只需要转置即可
这条性质在下一章当中会非常有用
最后 我们提出一个问题
标准正交基和正交矩阵
都具有很好的性质和作用
但是n维欧氏空间中
是否一定具有标准正交基呢
如果有
如何构造出一组标准正交基呢
而这 正是我们下一讲的主要内容
即施密特正交化方法
好 我们本讲的内容就到这
下一讲再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
