当前课程知识点：简明线性代数 > 第8章 矩阵与变换 > 8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法 > 8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
同学们 大家好
欢迎来到MOOC课程
线性代数先修课
第八章 矩阵与变换
8.3节 矩阵映射的复合
与矩阵乘法
在本讲中
我们首先回顾第三章当中
我们在定义矩阵乘法的时候
给出的若干规定
其次，我们定义矩阵
映射的复合运算
进而我们用矩阵映射
复合的观点
重新考虑矩阵的乘法
从而对矩阵乘法的诸多规定
给出相应的几何解释
首先，我们先来回顾一下
在第三章当中
我们定义矩阵乘法的时候
给出的若干规定
在第三章当中
定义两个矩阵的乘法的时候
我们只给出了矩阵乘法的规定
但并没有详细解释
为什么要如此规定
诸如矩阵的可乘条件
也即矩阵A与矩阵B可以相乘
当且仅当A的列数等于B的行数
第二点规定
乘积矩阵的行数应该等于
第一个矩阵的行数
而乘积的列数等于
第二个矩阵的列数
我们直接给出了这个规定
但是，同学们有没有想过
为什么要这样规定
那么我们把前两条合起来
给出了一个口诀
叫做左行右列中相同
那么第三个规定
也就是矩阵乘积
元素的计算公式
是由这样的一个公式给定
那么我们有一个口诀叫做
左行右列中求和
那么同学们有没有想过
这样的公式是怎样得来的呢
那么本节的主要目的
就是从几何方面
用矩阵映射复合的方法
来具体地解释矩阵的乘法
由此，以上对于矩阵乘法的
若干规定就变得顺理成章了
我们还是回顾一下3.2节当中
我们由以下的两组变量
替换引出了矩阵的乘法定义
第一组替换是x1， x2
表示成y1，y2
y3的组合形式
而第二组变换是把y1
y2，y3表示成z1
z2的组合形式
如果我们把第二个变量替换
代入到第一个变量替换
就得到了如下的形式
并且我们在3.2节当中
由此就引出了一个乘法的概念
具体地来看
我们是用这样的一个图表
来解释上述变量替换的
我们给定了一个2*3阶的矩阵A
把xi变成了变量yk
我们又从第二个变量替换里边
提取出了一个3*2的矩阵B
它把变量y_k变成了变量zj
从而我们把这两种变换
合成成一个变换
也就是从xi变到zj
把这个过程引出了A*B的概念
实际上上述的思想
已经蕴含了矩阵映射复合的概念
下面我们就给出严格的定义
二，矩阵映射的复合
我们在8.1节当中
对任意矩阵给定了矩阵映射
φ_A是从一个n维空间
到m维空间当中的映射
因为φ_A作用在
向量x上等于A乘x
所以我们通常就将φ_A记为A
假设我们有如下的两个矩阵映射
第一个矩阵映射
我们把它记为φ_B
它是从l维向量空间
映到n维向量空间
而第二个矩阵映射
我们把它记作φ_A
它是从n维向量空间
映为m维向量空间
则对于l维向量空间
当中的任意向量x
φ_B x就等于B乘x
那么我们知道
它是一个n维列向量
它既然是n维列向量
它就落在了
φ_A的定义集里面
所以整个的φ_Bx
就可以被φ_A来作用
把它映到了m维向量空间当中
由此就可以得到
如下映射复合的概念
定义1
φ_B与φ_A的定义同上
则我们如下定义φ_A
和φ_B的复合映射
并且把它记为φ_A
圈乘φ_B的形式
具体的就是φ_A
圈乘φ_B作用在
任意的l维向量x上
我们把它定义为
先用φ_B去作用
再用φ_A去作用
这里复合映射
要满足一个就近原则
即靠近向量的映射优先作用
于是我们就得到了一个
l维空间到m维空间当中的映射
它就是φ_A与φ_B的复合
三，矩阵乘法规定的几何解释
由φ_A与φ_B
均保持线性运算
我们很容易验证
φ_A与φ_B的复合
仍然保持线性运算
那么由8.1节的定理1
我们就知道φ_A
与φ_B的复合
必然为一个矩阵映射
所以我们可以假设
它所对应的矩阵为C
那么由定义可知
φ_B作用在x上等于B乘以x
其中B的行数与列数分别由
其像集和定义集的维数确定
所以B是一个n行l列的矩阵
而φ_A作用
在任意一个n维列向量y上
它就等于A乘以y
而A的行数和列数
由其像集和定义集的
维数所确定
也即A就是这样一个
m乘n型的矩阵
那么根据复合映射的作用
就等于φ_B先作用
之后φ_A再作用
那么我们把它表示为矩阵的形式
就等于对向量x先左乘B
再左乘A
再由结合率就相当于
先进行A乘B的运算
最后再由乘积矩阵再去作用x
所以上面这个等式就说明了
复合映射对应的矩阵C
就应该等于A*B
由于φ_A与φ_B可做
复合的条件是φ_B的像集
与φ_A的定义集相同
具体对应到矩阵就是B的行数
与A的列数要相同
而这正是矩阵的可乘条件
又由于复合映射是从
l维空间映到m维空间的矩阵映射
那么根据矩阵映射的定义
我们就知道
乘积矩阵C的行数
就应该等于像集的维数也就是m
乘积矩阵的列数
就应该等于
定义集的维数也就是l
而这正是我们乘积矩阵的
尺寸的规定
所以上述两点就给出了
矩阵可乘条件与乘积矩阵尺寸
为何如上规定的几何解释
下面我们再来看第三条规定
也即乘积矩阵的元素计算公式
我们仍然从映射的复合来看
假设e_1到e_l是R^l的自然基
而e_1'到e_n'为R^n的自然基
e_1''到e_m''为R^m的自然基
因为A的第k列就为φ_A
作用在第k个
自然基上所得到的向量
即A乘以e_k'就是A的第k列
同样的道理B的第j列就是
φ_B作用在第j个自然基上
也就是B乘以ej
于是我们可以去计算
乘积矩阵C的第j列
它应该是复合映射作用在
第j个自然基上所得到的像
那么利用复合映射我们优先去
计算φ_B乘以ej
那么φ_B乘ej就等于B乘ej
而B乘ej根据刚才的讨论
就等于B的第j列
所以我们把B的第j列
按列的方式写出来
而这个列向量
是n维空间当中的列向量
因此我们把它表示成为
n维空间的自然基的线性组合
下一步再把φ_A的作用
作用到求和号里边
就得到了这样的式子
那么进一步我们去计算
φ_A作用在ek'上
它应该等于A的第k列
于是我们就把A的
第k列表示出来
进一步我们就把A的第k列
表示为m维空间当中的
自然基的线性组合
下一步交换求和号得到了
这样的一个式子
最后一步把m维向量空间的
自然基的线性组合表示为一个
m维的列向量
就得到了最右边的这个式子
好，经过上述计算
我们把乘积矩阵C的第j列
具体地表示出来了
而这个列向量上的每一个分量
都可以有这样的一个算式表示
即c_ij等于a_ik
乘以b_kj再对k求和
而这个式子正好就是我们
在第三章中给出的乘积矩阵
分量元素的计算公式
以上推导说明矩阵乘法的
诸多规定并不是凭空定义出来的
而是由矩阵映射的复合
一步一步推导出来的
本讲小结
在本讲中
我们用矩阵映射的复合
给出了矩阵乘法的几何解释
我们用矩阵映射的可复合的条件
即可给出矩阵的可乘条件
由复合映射的定义集
与像集的维数即可给出
乘积矩阵的尺寸
最后我们把复合映射作用在
自然基上并展开计算后
即可推出
乘积矩阵分量元素的计算公式
总之我们用几何观点
对矩阵乘法的三条规定
给出了具体的解释
使得这些规定不再生硬、突兀
而变得自然而然
好，本节的内容就到这
我们下节再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
