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线性代数-先修课
第二章 行列式
2.7节 行列式的计算2
综合计算
在本节当中
我们将以例题的方式
介绍行列式的综合计算的方法
包括归纳法 递推法
升阶法 分块三角阵法 等等
n阶行列式的计算方法有很多
我们大致的把它们分成
以下几类典型的方法
其中
一 定义法
二 打洞法
也就是初等变换化为三角阵的方法
三 拆项法
也就是把某一行或者是列
表示为两行相加
从而可以把行列式拆分为
两个同阶的行列式之和
四 降阶法
也就是我们上一讲介绍过的展开公式
五 对于一些固定形式的行列式
如行和固定的行列式
或者是箭形行列式等等
六 升阶法
也就是加边法
七 递推公式法
八 化为范德蒙行列式计算
九 分块三角法
也就是分块打洞法
其中六到九将是
我们本讲给大家介绍的主要内容
首先 我们来看这个例题
这个例题
就是我们2.5节当中讨论过的例4
我们当时已经给出了
两种方法来计算它的行列式
第一种方法
就是把第2到第n行都减第一行
从而可以化成箭形行列式
进而计算行列式的值
方法2是拆项法
也就是把行列式当中
所有的1表示成1+0
从而 这个行列式可以拆分为
2的n次方个容易计算的行列式再求和
那么 在本讲当中
我们将介绍第三种方法
我们还是再次分析一下
这个行列式的特点
我们发现
这个行列式中的每一项
都含有一个1
那么一个自然的想法就是
如果我有一个全1的行 那就好了
于是 我就可以让每一行
都减去这个全1行
就可以把这里的1全部都消掉
那么 在这样的指导思想下
我们就在原来的行列式上面
可以加上一个全1的行
同时 在左边
又加上一个1 0 … 0的列
啊得到一个n+1阶的行列式
这样的方法叫做加边法
或者是升阶法
加边以后 虽然阶数增加了
但是 有利于简化计算
好
那么 我们用黄色把加出的这一行
和这一列标记出来
于是 大家就可以发现
这个行列式按第一列展开之后
正好就等于我们原来的行列式
那么 对于其他行
我们通通的都减去第一行
于是 就得到了这样的一个行列式
这个行列式是我们
很熟悉的箭形行列式
对于箭形行列式
我们套用固定的方法
也就是把第二到第n+1列
都加到第一列上化为三角行列式
从而计算出这个行列式的值
这与我们在方法1、
方法2得到的结论是一样的
下面我们再来引入
一个特殊的行列式
也就是我们的例2
这个行列式我们把它叫做
n阶范德蒙行列式
下面 我们来分析一下
这个行列式的特点
首先 它的第一行是一个全1的行
而第二行上面有a_1, a_2一直到a_n
这n个元素
这n个元素可以相同
也可以不同
下面 再来看它的列
这个行列式的每一列各占一个元素
而分别对应了该元素的0次方
1次方 2次方 一直到n-1次方
幂次从0到n-1连续递增
我们把范德蒙行列式
计算之后的结果列出来
我们对结果进行一下分析
这里大π表示连乘符号
而它的求积范围是对于
那些满足大于等于1
小于等于n的i和j
并且j要严格的小于i
而它的每一项就是a_i减去a_j
那么由j严格的小于i
我们就可以形象的
把这个结果这样的来记忆
就是它的每一项都是由
后边的元素减掉前边的元素
进一步
我们把所有的乘积项列出来
当j等于1的时候
有这样的一些项连乘
也就是a_2减a_1，a_3减a_1再乘以a_n减a_1
那么 当j等于2的时候
那就应该有n-2项相乘
这些项分别是a_3减a_2
a_4减a_2一直到a_n减a_2
以此类推
我们一直可以得到
当j等于n-1的时候
乘积项只有唯一的一项
也就是a_n减去a_{n-1}
所有的这些项乘起来就得到了
我们范德蒙行列式的计算结果
那么 也很容易计算
所有的这些项一共有2分之n乘n-1项
下面 我们来证明范德蒙行列式
等于这样的一个结果
我们的方法是对阶数n进行归纳
当n等于2的时候
范德蒙行列式就对应了
这样的一个二阶行列式
这个二阶行列式的计算
用对角线法则
我们很容易知道
它就等于a_2减去a_1
那么 这正好就等于
我们要证的结果的形式
下面 我们假设我们的结论对
n等于k-1时成立
也就是对于这样的一个
k-1阶的范德蒙行列式
我们的结论成立
好
下面我们考虑n等于k的情形
首先 我们来分析一下
我们如果能把n等于k的情形
降阶降到n等于k-1的情形
于是 我们就可以利用归纳假设
那么 这就启发我们
用我们熟悉的初等变换
加展开公式的方法
起到降阶的作用
好 我们来观察这个n等于k时
k阶的范德蒙行列式
我们首先来观察D_k的第一列
我们发现第一列当中
下面的元素总是上面元素的a_1倍
那么我们就可以依次的
将前一行的负a_1倍加到本行上
于是我们可以把k-1行的
负a_1倍倍加到第k行上
就可以把第一列中的
最后一位化零以此类推
我们可以把第二行的负a_1倍加到第三行上
就可以把这个位置化零
接着再把第一行的负a_1倍加到第二行上
就可以把这个位置化零
从而 我们就可以把第一列当中除了
第一个元素以外的其他元素
全都化零
进一步
我们再把这个行列式按第一列展开
我们知道它就等于划掉第一行
和第一列之后
剩下的这个k-1阶的行列式
那么对于这个行列式
我们仔细的观察 会发现
它的第一列当中
每一个元素都含有a_2减a_1的因子
第二列当中
每一个元素都含有a_3减a_1的因子
同理在第k列当中
每一个元素都含有a_k减a_1的因子
因此 把每一列的公因子提出来以后
就可以得到原行列式就等于
这样的一个形式
那么 我们会发现
这个行列式正好就是
一个k-1阶的范德蒙行列式
那么 根据我们的归纳假设
我们可以求出
这个范德蒙行列式的计算结果
其中
它的求积范围是从2一直到k
于是 我们把这个算式
再做合并整理以后就可以
把求积范围扩大到从1到k
因此就证明了当n等于k的时候
我们的结论依然成立
在我们的实际问题当中
并不是所有的行列式
都是标准的范德蒙行列式的形式
那么 我们的问题就是
哪些行列式可以化成
范德蒙行列式的形式
你能识别出来吗
那么对于这个例子
我们会发现它并不是
标准的范德蒙行列式
因为标准的范德蒙行列式我们要求
全1的行是要在第一行
因此 我们只需要做一个简单的变换
把第一行和第三行做一个对换
同时前面加一个负号
这样的话就变成了
一个标准的范德蒙行列式
那么 再用标准行列式的计算结果
我们就可以求出这个行列式
再来看一个例子
这个例子请大家观察一下
它有什么样的特点
首先 我们看第一列
这个第一列我们很容易发现
它分别等于3的0次幂
1次幂 2次幂和3次幂
那这就满足我们范德蒙行列式的特点
好 那么第两列也一样
它分别是2的0次幂
负1次幂 负2次幂和负3次幂
但是 到了第三列就出现了一点问题
它是从2的2次幂再到3次幂
4次幂和5次幂
并不是从0次幂开始的
到了第四列就更一般了
这是一个最一般的等比数列
而我们会发现它的前三列
也通通的都是等比数列
对于这个每一列
都是等比数列的行列式
我们都可以把它化成范德蒙行列式
方法就是把
每列的第一项都提到前面来
比如说：我们在这个例子当中
我们把第三列当中的4
以及第四列当中的a
都提到行列式的前面
于是 内部就变成了一个
标准的4阶范德蒙行列式的形式
那么 对于这个四阶范德蒙行列式
我们套用公式
就可以得到这样的计算结果
再归纳整理一下
就得到了最终的结果
下面 我们再来看这个例子
大家请观察一下
这个行列式有什么样的特点
同学们一定发现了
这个行列式每一列
都缺少了一个2次方的项
从而就构成了等比数列
那么当然
我们的想法就是
能不能把这个2次方的项给补上
所以我们在对于每一列
都补上了一个a_1的2次方
a_2的2次方和a_3的2次方
但是 补上这三项以后
这个行列式就不再是一个n行n列的了
于是 我们还要再补上一列
于是 我们在第一列补上
由未定元x构成的一组等比数列
把它记为一个新的行列式D'
我们想通过对于D’的计算
而得到原来行列式D的值
好 一方面
D’是一个标准的范德蒙行列式
于是 套用范德蒙行列式的计算公式
我们有这样的结果
那么 从这个结果我们可以看到
D’是关于一个x的3次多项式
其中x平方的系数为这个式子
这个式子是从
D’的展开式当中解得的
另一方面
如果我们将D’按第一列展开
而第一列第三行元素所对应的余子式
正好就是我们原来的行列式
我们这里可以看到
第一列和第三行划掉以后
它所对应的代数余子式
是-1的3+1次方再乘以
我们原来的那个行列式
于是就等于我们原来的行列式
比较上述两种方法得到的x平方的系数
于是 我们就得到了
原来行列式D的值等于这个结果
下面 我们说明一下
在本例当中
我们运用了加边法
特殊行列式法
按列展开法
对比系数法等方法
这说明了
我们在一个行列式的计算当中
往往需要综合利用各种方法
另外本例当中
所对应的缺了一行的行列式
我们把它称为超范德蒙行列式
而且本例的结果
可以推广到一般的情况
范德蒙行列式在
很多实际问题当中
都有广泛的应用
所以希望大家要特别的记忆
例5 计算下列行列式
请大家观察一下这个行列式
我们会发现
它的对角线以及对角线上下的
附近有三个斜列
于是我们把这样的行列式
称为三对角行列式
在本例当中
我们将采用递推公式法
好 首先我们还是先来分析一下
这个行列式的特点
我们会发现除了主对角线
以及它上下的两个斜列以外
其他元素都是零
所以这个行列式含有很多零元
而且有明显的规律
因此 我们可以采用
行列式展开公式的方法
使行列式降阶
从而得到递推公式
首先
我们先将行列式按第一列展开
于是它的第一行第一列
所对应的余子式就是
我们黄色方框里标记的这个行列式
仔细一看他实际上就是我们想求的
行列式的低一阶的行列式
也就是Dn-1
那么它第一列第二行
所对应的余子式
就是我们把第一列和
第二行划掉以后
所对应的n-1阶行列式
于是 我们把按第一列展开的公式写出来
就是这样一个表达式
其中 最右侧这个行列式
我们再把它按第一行展开
我们会发现: 它第一行第一列元素
所对应的余子式正好就是D_{n-2}
于是 我们就得到了
D_n表示为D_{n-1}和D{n-2}的一个系数组合
对于这样的一个公式
我们称为二阶递推式
我们对这个二阶递推式做适当的变形
把它展成这个样子
于是我可以令d_n等于
D_n减去beta倍的D_{n-1}
从而上述式子可以改写
d_n的一个递推式
再利用d_n的递推式
我们就可以很快的求出
dn的通项是alpha的n次方
在利用d_n和D_n之间的关系
我们可以得到这样的一个式子
那么经过反复的迭代
我们就可以求出D_n的值
那 总结下来我们的思路
我们是把一个二阶递推式
通过换元的方法变成两个一阶递推式
并分别求解这两个一阶递推式
从而 达到求解二阶递推式的目的
例6
请大家证明这个行列式等式
首先
我们还是先来观察一下
这个行列式等式的左边
这是一个阶数比较高的行列式
那么 我们会发现它有明显的规律
什么规律？
如果我在这个行列式当中
画上这样一条横线和竖线
将这个行列式分成四块
并且 分别对这四块标记上
A，O，C，B
而且 我们可以知道
A是一个r乘r的方阵
O是一个r乘s的全零矩阵
而B是一个s乘s的方阵
C是一个s乘r的矩阵
那么 如果我们设
A B C和O分别为
我上述规定的几个矩阵的话
则我们要证明的结论
可以简写为这样的式子
当然将来我们会说明
这个式子是一个分块矩阵
进一步
当A的阶r等于1的时候
我们就可以按
第一行展开左边这个行列式
于是 就得到了我们的结论
因此 这个思路启发我们对A的阶
也就是r进行归纳法
下面 我们来证明这个结论
我们对r做归纳法
当r等于1时
按第一行展开即可得到结论
假设结论对于r-1成立
下面我们考虑r的情况
我们仍然是
把左边的行列式按第一行展开
并且将A中去掉第一行第j列的矩阵
记为A_j
将C中去掉第j列的矩阵记为C_j
其中j从1跑到r
于是 我们则有
原来左边这个行列式
按第一行展开之后得到的公式
就是右边这个等式
由于上式等式右边
每一个行列式当中的A_j
均为r-1阶的方阵
所以我们可以根据
归纳假设有下面的结论
把这些等式带回到原等式当中
我们就得到这样一个式
进一步把B的行列式提出来
得到一个括号
那么 这个括号里正好就对应了
A的行列式按第一行展开的公式
于是 我们就得到了
我们最终想要的结论
类似的我们还可以得到如下的结论
我们仍然用分块矩阵的形式
把它(们)表示出来
其中 第二个公式
我们可以利用这样的方法来证明
我们将该行列式中的
后r列当中的每一列
依次向前交换s次
就可以得到公式(1)当中的行列式
于是 我们借助公式(1)的结果
就可以得到公式(2)
那么 利用上述结论
我们可以尽量使行列式的整块化零
从而 降阶简化行列式的计算
对于这样的方法
我们称为分块三角法或者是
分块打洞法
本讲小结
本讲通过例题
介绍了更多行列式的典型计算方法
包括升阶法 归纳法
化为特殊行列式法
递推公式法 分块三角法
行列式的计算
特别是一般含参的n阶行列式的计算
技巧性很强
初学者只需掌握基本计算方法
想要把许多技巧学到手
必须通过大量做题才能实现
这需要花费很多的时间和精力
至少现在我们不提倡这样做！
本节的内容就到这儿
我们下节再见！
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
