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线性代数-先修课
第三章 矩阵
3.1节 矩阵及其线性运算
在本讲当中
我们将引入矩阵的概念
并且介绍几类特殊的矩阵
进一步 我们将给出矩阵的线性运算
并且讨论其运算律
首先 我们先来回顾一下矩阵的概念
矩阵的概念是在
我们讨论线性方程组的时候引入的
我们先来看
假设我们有这样的一个线性方程组
当我们把这个线性方程组的系数和常数项
按照原来的位置写成两个矩形数表
就是这样的两个矩形数表
其中 左边这个称为系数矩阵
右边这个称为增广系数矩阵
那么 在引入了系数矩阵
和增广系数矩阵之后
于是 我们对线性方程组的研究
就可以转化为对系数矩阵和
增广系数矩阵的研究
首先 我们来看这样的一个例题
设某航空公司在
A B C D 四个城市之间
开辟了若干航班
如图所示
表示了四个城市之间的航班图
如果从A到B有航班
则用带箭头的线连接A与B
四个城市之间的航班图
情况常用如下的表格来表示
其中 行表示出发站 列表示到达站
那么 画一个勾
表示从A点到B点有航班
空格表示没有航班
为了方便计算
我们常常把这个表格
又改写为下面的一个矩阵
其中 表格当中的空白填上0
于是 就可以得到这样的一个矩阵
其中 这个矩阵的行同样表示出发站
而列表示到达站
这个表格和这个矩阵是等价的
它们均反映了
四个城市之间的交通连接情况
下面 我们再来看一个例题
设甲乙丙三人为刚刚认识的朋友
甲列出了自己的生日范围如下
并且分别把自己生日的
月和日告诉了乙和丙
乙先说 我不知道甲的生日
但是我知道丙也不知道
丙再说 我一开始不知道甲的生日
但是现在我知道了
在听完丙说之后
乙又说 我现在也知道了
请大家根据以上的描述
决定甲的生日到底是哪一天
下面 我们来求解这个问题
把甲给出的生日列表列为下面的一个表
其中1表示在范围内
0表示在范围之外
好 那么我们先来分析乙说的第一句话
乙先说 我不知道甲的生日
但是我知道丙也不知道
我们知道乙只知道甲生日的月份
根据乙的描述
他知道丙并不知道甲的生日
所以我们首先
先把黄色方框的两列给排除掉
这又等价于
乙知道甲的生日一定不是5月和6月
所以甲的生日就缩小到了蓝色方框的
这个范围之内
下面 我们再来看丙说的话
丙说我一开始不知道甲的生日
但是听完乙说之后
我现在知道了
我们知道丙知道的是甲生日的日子
也就是说丙知道甲的生日
在这个表格当中所在的列
这个时候丙知道了甲的生日也就是说
丙知道的列与我们这个
蓝色的方框交集一定是唯一的
所以也就是说甲的生日一定不在14号
所以我们把范围又缩小了一点
最后我们再来看乙说的话
乙在听完丙的描述之后
也知道了甲的生日
也就是说 乙所确定的行这个时候和
蓝色方框的交集是唯一的
所以 可以把8月给划掉
只剩下了7月
于是 这个时候在范围之内的数字1
就成了唯一的这个位置
所以 通过分析以上数表及其行列关系
我们就得到了甲的生日为7月16日
我们看到在以上的几个例子当中
我们都用到了矩阵的概念
所以 我们再来回顾一下
我们在第一章当中
给出的矩阵的数学定义
定义
由m乘n个实数排成行列的矩形数表
用圆括号或者是方括号括起来
即这个形式 我们就把它称为
这是一个m乘n型的矩阵
简记为大写字母A或者是(a_ij)
其中 横排称为矩阵的行
竖排称为矩阵的列
a_ij称为矩阵的元素
其中 第一下标表示其所在的行数
第二下标表示其所在的列数
全体m乘n型的矩阵组成的集合
我们记为这样的一个符号
二 几类特殊的矩阵
下面 我们来介绍几类特殊的矩阵
第一类 我们把它叫成方阵
也就是行数和列数相等的矩阵
如果它们都等于n
我们把这样的矩阵称为n阶方阵
全体的n阶方阵组成的集合
我们用这样的符号来标记
例如 下面这个矩阵就是一个3阶方阵
因为我们可以检查它的行数和列数
都等于3
第二类特殊矩阵
我们把它叫成行矩阵或者是列矩阵
其中当行数m=1时
矩阵就可以表示成这个样子
于是 我们把这样的矩阵称为行矩阵
将来我们也把它叫成行向量
反之 如果列数n=1时
矩阵就是这个样子
我们把这样的矩阵称为列矩阵
将来也把它叫做列向量
第三类特殊矩阵
我们叫零矩阵
即元素全为0的矩阵称为零矩阵
我们用大写的O来表示0矩阵
第四类我们称为负矩阵
也就是每个元素前面加负号所得到的
矩阵就是负矩阵
例如 如果矩阵A是这样的一个矩阵
则负矩阵-A就是在A的每个元素之前
加上负号所得到的矩阵
下面 我们来介绍三角形矩阵
三角形矩阵又分为上三角矩阵
和下三角矩阵
其中 上三角矩阵是主对角线
下方的元素全为0的方阵
称为上三角形矩阵
其中
矩阵当中的0我们也可以省略不写
这样形象地看
非0元素就在右上角形成了一个三角
故此称为上三角矩阵
同样的道理
主对角线上方的元素全为0的方阵
则称为下三角形矩阵
那么 如果我们把0也省略不写
形象地看
非0元素就在左下角形成了一个三角
故此称为下三角矩阵
这里 注意一下上三角阵和下三角阵
均为方阵
第六类特殊矩阵 我们叫做对角矩阵
它是一类特殊的三角形矩阵
也就是 除主对角线上元素以外
全为0的方阵
具体写出来
并且把0省略掉以后就是这个样子
并且 我们可以用diag
把主对角线上的元素括到括号里
这样的一个形式来表示对角矩阵
对角矩阵里边有一类特殊的矩阵
我们把它叫做纯量矩阵或者是数量矩阵
也就是主对角线上的元素
全都相等的对角阵称为纯量矩阵
再特殊一点
当纯量矩阵里的这个数都等于1的时候
我们就把它叫做单位矩阵
单位矩阵在矩阵这个集合里
有特殊的意义
将来我们会再作深入的介绍
今后 我们将n阶单位矩阵
就表示为I_n
第七类特殊矩阵是我们在
第一章解线性方程组的时候就介绍过的
我们称为阶梯形矩阵
也就是0行在最下方
并且非0行左端的0严格地增加
这样的矩阵我们称为阶梯形矩阵
特别地
如果 一个阶梯形矩阵主元素都等于1
并且 主元所在的列其他元素均为0
我们就把这样的矩阵
称为简化的阶梯形矩阵
我们提一个问题
阶梯形矩阵和上三角矩阵有何异同
那么 经过定义的对比
我们会发现
它们相同的地方
均是非0元素均集中在右上方
不同的地方则是
上三角矩阵必须为方阵
而阶梯形矩阵可以为任意矩阵
下面 我们来引入矩阵相等的概念
要引入矩阵相等的概念
我们就要先说明什么叫做同型矩阵
当两个矩阵的行数相同
并且列数也相同的时候
我们就把这样的两个矩阵称为同型矩阵
或者是这两个矩阵是同型的
例如 这样的两个矩阵A和矩阵B
它们的行数都为2 列数都为3
因此 它们是两个同型矩阵
在有了同型矩阵的概念后
我们可以引入什么叫做矩阵相等
我们规定两个矩阵同型
并且对应元素相等
也就是说
如果我们用a_ij表示A的元素
b_ij表示B的元素
于是则A=B
当且仅当元素a_ij=b_ij
对于所有的i,j都成立
例如 我们来看这样的一个例子
A和B都是3阶方阵
因此 它们是同型方阵
如果A=B
则它们对应位置上的元素必须都相等
因此 我们就可以看到x就要等于1
y就要等于2 z就要等于0
下面 我们介绍矩阵的线性运算
所谓矩阵的线性运算
实际上就是矩阵的加法和矩阵的数乘
什么是矩阵的加法呢?
首先 我们规定两个矩阵相加
就是指两个同型矩阵对应分量逐位相加
也就是A=(a_ij) B=(b_ij)
则A+B我们就定义为
(a_ij + b_ij)
对所有的i, j成立
有了矩阵的加法
我们同样可以定义矩阵的减法
也就是 两个同型矩阵对应分量逐位相减
即A-B,结合上负矩阵的概念
我们就可以这样地来定义
A-B为A+(-B)
也就是每一个分量上为a_ij - b_ij
例如 当我们给定矩阵A和矩阵B
是这样的两个矩阵的时候
那么A+B就对应了A和B的每个分量
逐位相加得到了这样的一个矩阵
那么 A-B就是A和B的分量
逐位相减得到的是这样的一个矩阵
下面 我们再来引入矩阵的数量乘法
简称为数乘
我们这样定义矩阵的数乘
对于矩阵的每个分量同乘以一个数
即设k是一个实数
矩阵A是一个m×n型的矩阵
则kA就定义为
A的每个分量a_ij都乘以k
例如 我们的A是这样的一个2阶方阵
则2A就是A的每个分量都乘以2
得到的就是这样的一个2阶方阵
我们对数乘做这样的一个说明
由于数的乘法具有可交换性
那么 我们就知道
这个数k左乘在矩阵A上和
右乘在矩阵A上都是一回事情
因此 将来我们统一地都把
数乘k乘在矩阵的左边
也就是统统地记为kA
这样的形式
由于矩阵的减法相当于加上一个负矩阵
所以 我们实际上真正定义了两种运算
分别为矩阵的加法和矩阵的数乘
我们把这两种运算
合起来称为矩阵的线性运算
下面 我们来讨论矩阵线性运算的运算律
我们假设A B C为同型矩阵
则我们首先先给出加法运算律
第一条 矩阵加法满足交换律
也就是A+B=B+A
第二条 矩阵加法的结合律
也就是这样的一个式子
第三条 零矩阵的加法
即零矩阵加任何矩阵保持不变
第四条 负矩阵的加法
也就是矩阵A
加上它所对应的负矩阵等于零矩阵
关于矩阵加法的运算律非常容易验证
只需要按照每一个元素
逐位地去验证即可
下面 我们来讨论矩阵数乘的运算律
第五条 单位数乘
也就是数字1
数乘任何矩阵保持矩阵不变
第六条 结合律
也就是两个数相乘再做数乘的话
等于这两个数分别做数乘
第七条和第八条我们都把它称为分配律
它们反映了数乘和加法的综合运算规律
也就是说 对两个矩阵做加法再做数乘
它等于分别做数乘再做加法
另一个分配律是指
对两个数先做加法再去做数乘
等于各自做数乘之后再做加法
五至八条运算律的证明也很简单
只需要按分量逐位验证即可
本讲小结
在本讲当中
我们从几个具体的问题出发
引入了矩阵的概念
我们发现 矩阵的使用
能使很多问题的表示得到简化
接着我们给出了几类特殊的矩阵
并讨论了矩阵相等的条件
即两个矩阵相等
当且仅当它们为同型矩阵
且矩阵内元素逐位相等
本讲最主要的内容是
介绍了矩阵的加法和数乘
合起来称为矩阵的线性运算
我们讨论了矩阵线性运算
的定义和性质
其中 矩阵的加法要求同型矩阵
且内部元素逐位相加
矩阵的数乘为内部元素逐位做数乘
且左乘和右乘均可
本讲的内容就到这儿
我们下讲再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
