4-3 线性相关性的更多理论在线视频

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线性代数--先修课

第四章 向量空间

4.3节 线性相关性的进一步理论

在本讲当中

我们将在上一讲讨论的基础上

进一步讨论

向量组在相关意义下的内部联系

包括线性相关性的增减关系

线性相关性的表出关系

以及线性相关性的临界关系

一 线性相关性的增减关系

线性相关性表示了

向量之前的相互联系

首先 我们来讨论

向量组的数量发生增减时

向量组的线性相关性的变化规律

我们的结论由判则10给出

它告诉我们

若向量组α_1, α_2到α_s当中

有一部分向量线性相关

则该向量组线性相关

那么 这个命题的逆否命题

也就是等价命题是这样的

即若向量组

α_1, α_2到α_s线性无关

则其任一部分组都是线性无关的

这里的“部分组”,就是

由向量组当中一部分向量

组成的集合称为部分组

下面我们来证明判则10

不妨设向量组里边有一个部分组为

α_1, α_2一直到α_r

其中r小于等于s

设这个部分组线性相关

于是有不全为零的系数

k_1, k_2一直到k_r

使得它们的线性组合等于零

从而 我们可以把这个组合式

扩展为整个向量组的线性组合式

只需要在原组合式的基础上

加上α_{r+1}, α_{r+2},

一直到α_s的组合

而它们的组合系数全为零

由这个组合式我们知道

α_1到α_s之间 有不全为零的系数

使得它们的线性组合等于零

从而我们就证明了整个向量组

α_1, α_2到α_s是线性相关的

我们在上讲当中介绍了

向量组的线性相关性与

齐次线性方程组解的情况

也就是判则6

下面利用齐次线性方程组的观点

来看我们刚才的判则10

很容易看到向量组中向量的个数s

对应了齐次线性方程组中

未知量的个数

而向量数目增加了

对应了未知量的个数也增加了

从而有自由未知量的可能性

也跟随增加

于是有非零解的可能性也增加

对应向量组线性相关的可能性也增加

简言之 从数量上来看

向量越多越容易相关

反之 向量数目越少则越容易无关

于是 我们可以把判则10

给出一个简化的口决

即部分组相关能推出向量组相关

等价地

整个向量组无关可以推出

任意部分组都无关

接下来 我们来讨论

向量组的维数发生增减时

向量组的线性相关性的变化规律

判则11

若向量组

α_1,α_2到α_s线性相关

则把每个向量去掉相同位置的分量

得到的截短后的向量组

仍然是线性相关的

判则11的等价命题也就是

它的逆否命题 是这样描述的

若向量组

α_1,α_2到α_s线性无关

则把每个向量增加相同数目

相同位置的分量得到的

加长的向量组

仍然是线性无关的

具体地

用数学语言来描述

判则11就是这样的

假设α_1到α_s是

一组m维的列向量

而β_1到β_s

是一组n维的列向量

如果所有的γ是

α接上β得到的一组(m+n)维的向量

于是如果

α_1,α_2到α_s线性无关

则γ_1, γ_2到γ_s

也线性无关

反之 如果γ_1, γ_2 到γ_s线性相关

则α_1, α_2到α_s也线性相关

于是我们可以用更简洁的语言

来描述判则11

即原向量组相关

则可推出截短的向量组也相关

若原向量组无关

则可推出加长的向量组也无关

下面我们用齐次线性方程组的观点

来看判则11

减少向量的分量相当于

减少齐次线性方程组中方程的个数

减少方程的个数从而约束条件就减少

因而方程组的解集就扩大了

原来已经有非零解了

变化后就更有非零解

反之 增加向量的分量

相当于增加齐次线性方程组中

方程的个数

方程增加了约束条件也就增加

从而方程组的解集只会缩小

原来就只有零解的话

变化后解集缩小了 依然只有零解

简言之 从维数上来看

向量越短越容易相关

反之 向量越长则越容易无关

实际上 在刚才的讨论当中

我们已经给出了判则11的证明

请同学们在课后自行补上

判则11的完整证明

二 线性相关性的表出关系

在上一讲当中我们讨论了

三维空间中的两个向量的

共线问题的时候有如下的结论

即两个向量共线当且仅当

存在一个数k使得α或者是β

能够表示成

另外一个向量的k倍

它又当且仅当存在不全为0的数k_1, k_2

使得以k_1,k_2

为系数α和β的线性组合等于零

这里出现了两个等价的判则

其中 一个是用线性表出的形式

给出的另外一个是用线性组合

等于零的形式给出的

那么 对于一般n维空间中

两个向量的线性相关性问题

也有类似的结论

即如果两个向量

α和β线性相关

则有不全为零的数k_1，k_2

使得它们的线性组合等于零

那么我们不妨设k_1不等于0

于是整理变形后

我们就可以把α表示成

β的线性组合

若k_2不等于0

则我们整理或变形后

就可以把β表示成α的线性组合

反之 如果我们有了

线性表出式 也可以给出

对应的线性组合

刚才我们讨论的是

两个向量的情况

下面的结论说明

对于所有多于两个向量的情形

线性相关与线性表出

具有等价的关系

也就是我们的判则12

n维向量

α_1,α_2到α_s线性相关

当且仅当存在一个向量

可由其余向量线性表出

判则12的等价命题是这样的

n维向量α_1, α_2到α_s线性无关

当且仅当任何向量都不能由

其余向量线性表出

我们形象地来理解一下这个判则

当某个向量可由

其它向量线性表出时

它就有可有无

或者说它就是多余的

即便没有它 也可以通过

其他向量的线性组合

得到其应有的信息

而当某个向量均不能由

其余向量线性表出的时候

则 它的存在就是必须的

如果没有它我们就会丢失

那些无法恢复的信息

下面我们来证明判则12

如果α_1到α_s线性相关

则由定义知

存在不全为0的系数k_1, k_2

一直到k_s使得以k为系数的

α的线性组合等于0

我们不妨设k_i不等于0

于是我们可以

把其余α移到等式的右边

那么 由于k_i不等于0

我们可以对等式两边同时除以k_i

于是就可以得到α_i

被其余向量线性表出的表达式

从而我们就知道

α_i可被其余向量线性表出

反之

如果某一个α_j

可以由其余的向量线性表出

那么 我们不妨可以设

线性表出的表达式是这个样子的

进而我们可以把所有的α

都移到等式的同一边

于是 我们就得到了

所有的向量的一个线性组合

而它的组合系数就是这个样子

其中 α_j的组合系数是-1

因此 这个组合系数是不全为0的

所以 就可以知道α_1到α_s

是线性相关的

从而我们就完成了判则12的证明

利用上述判则

请大家判断下述命题是否正确

一 若向量组线性相关

则其中每一个向量都是

其余向量的线性组合

这个命题是不正确的

因为我们的判则12是说

存在一个向量可以表示为

其余向量的线性组合

这很容易举出反例

若一个向量组线性无关

则其中每一个向量都不是

其余向量的线性组合

这个命题是正确的

这实际上就是判则12的逆否命题

命题3 若α_1, α_2线性相关

β_1, β_2线性相关

则α_1加β_1

α_2加β_2也线性相关

这个命题是不正确的

我们可以举出这样的一个反例

例如 (1 0) 和 (2 0) 是线性相关的

而 (0 1) 和 (0 3) 是线性相关的

但是它们相加之后得到了

(1 1) 和 (2 3) 这两个向量

很容易验证它们是线性无关的

三 线性相关性的临界关系

由之前的讨论

我们可以知道如下事实成立

向量的个数越多越容易线性相关

当向量数量足够多的时候

如 向量个数s大于维数n时

向量组必然线性相关

那么 从一个无关的向量组开始

不断地往向量组中加新的向量

一定会在某一步就从

线性无关的状态变成了

线性相关的状态

我们就把这一步称为临界情形

下面的结论说明临界情形下

添加的向量可被唯一地线性表出

判则13设n维向量

α_1到α_s线性无关

而添加一个向量β以后

整个向量组就线性相关了

则添加的向量β可由

原向量组α_1到α_s线性表出

且表出方法唯一

下面 我们来证明判则13

首先 先证明表出性

由添加β以后的向量组

是线性相关的

我们知道一定存在这样一组

不全为零的数

使得以它们为系数的

α_1,α_2一直到α_s和β的

线性组合等于零

如果β的组合系数l 等于零的话

那么则存在不全为零的一组数

k_1一直到k_s,使得α_1到α_s

的一组线性组合等于零

那么这就与α_1, α_2到α_s

线性无关就矛盾了

因此 在刚才的那个组合式中

l不能等于零

由于l不等于零

根据我们刚才的推导

于是β就可以由

α_1,α_2到α_s线性表出

从而我们就证明了表出性

下面 我们再来证表示的唯一性

假设β可以有这样的两种方式

由α_1到α_s线性表出

则我们可以把这两个式子相减

就得到了这样的一个表达式

它表示α_1到α_s的

一个线性组合等于零

但是由于α_1到α_s

是线性无关的

因此它所有的组合系数必然全为零

而这就等价于是所有的x_i等于y_i

从而我们就证明了表出的唯一性

本讲小结

本讲我们在上一讲的基础上

进一步讨论

向量组在线性相关性的意义下的

内部联系

得到了更多的结论与关系

包括向量组的增减关系

表出关系和临界关系

这些关于线性相关性的理论和判则

都非常基本也非常重要

作为关于向量组的线性关系的常识

必须记住

但记住的方法并不是通过死记硬背

而是通过证明和理解

逐渐熟悉并掌握线性相关性

这一套语言和基本结论

本讲的内容就到这儿

我们下讲再见