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线性代数--先修课
第四章 向量空间
4.2节 向量组的线性相关性
在本节当中
我们将引入
向量组的线性相关
与线性无关的概念
并进一步给出
线性相关性的几何解释
以及线性相关性的方程组解释
首先 我们来看这样一个问题
几何方面
在二维平面与三维空间当中
常常会遇到与向量有关的
共线和共面的问题
关于两个向量
如果β能够表示为α的非零倍数
于是α和β就共线
反之 如果α和β不成比例
则他们就不共线
同样 对于三个向量
我们会遇到这样共面以及不共面的情况
另一方面
对于线性方程组
我们在求解过程当中
并不是所有的方程都是必须的
例如 这样的一个三元线性方程组
通过化简我们会发现
它的同解方程
就是这样的一个形式
因此 这三个方程一个都不能少
因为每个方程都给出了
一个未知量的解
当我们把左边这个方程组的
第二个方程的系数稍做修改
就得到了这样右边这个方程组
通过化简 我们会发现
这个方程组的同解方程是这样的
于是 我们会发现
第一个方程是多余的
再来看矩阵和行列式方面
对于一个三阶矩阵A来说
如果A可逆
则A的行列式不等于0
这是我们在上一章当中
介绍过的结论
那么 当A的行列式不等于0的时候
则A经过初等行变换
总可以化成单位阵I_3
当它化为单位阵的时候
我们会发现这里没有
全零的行或者是全零的列
可是 如果A的行列式等于0的时候
则A经过初等行变换化为
简化的阶梯形的时候
它的主元个数r
就一定严格地小于3
再经过初等列变换以后
则A一定可以化成
这样的一个形式
这时 我们会发现
A的化简形式
既有全零行又有全零列
我们把上述三个方面总结一下
分别是关于线性方程组
R^3当中的向量以及矩阵和行列式
当三元齐次线性方程组
有非零解的时候
我们就发现
一定有一个方程是多余的
也就是方程组一定有
个数更少的同解方程组
当R^3当中的三个向量共面的时候
则我们一定可以由
更少的向量来张成这个平面
而当一个三阶方阵的行列式
等于0的时候
则我们会知道
它通过初等变换
化为这样的形式的矩阵后
既有零行 又有零列
形象地看
这三种情形都出现了缩水的情况
那么我们的问题是
上述三件事是否有联系？
它们同时缩水是偶然的呢？
还是必然的
那么 刚才三件事都是关于
三维或者是三阶的情况
我们的第三个问题就是
这样的情况
是否可以推广到n维的情形？
好 为了回答上述问题
我们将引入向量组线性相关
与线性无关的概念
首先我们从代数的角度来刻画
三维空间中向量共线与共面的问题
找出规律后进一步推广到
一般的n维空间
在三维空间当中
如果有两个向量α和β共线
则它当且仅当存在一个数k
使得α等于k倍的β
或者β等于k倍的α
经过一定的形变
这件事又当仅且当存在
不全为零的数k_1，k_2
使得k_1倍的α加上
k_2倍的β等于零向量
那么 对于三个向量α_1，α_2和α_3
如果它们共面的话
我们知道
它当且仅当α_1，α_2和α_3当中
某一个向量可以被另外两个线性表出
那么 经过适当的形变和推导以后
我们就知道
这件事又当且仅当存在一组
不全为0的数k_1，k_2和k_3
使得k_1倍的α_1
加上k_2倍的α_2
再加上k_3倍的α_3等于零向量
下面 我们将共线、
共面的概念推广到n维空间当中
由于高维空间当中的几何意义
很难想象
所以 我们主要是从
代数的角度来做推广并刻画
定义1
给定向量空间R^n当中的s个向量
α_1，α_2和α_s
若存在不全为0的常数k_1
k_2一直到k_s
使得k_1倍α_1加上k_2倍α_2
再加上k_s倍的α_s等于零向量
则称这个向量组是线性相关的
否则 称这个向量组是线性无关的
首先 我们来解释一下
定义当中的“否则”是什么意思
通过对逆命题的分析
我们得到它等价于
下面的这样一个结论
即α_1, α_2 一直到α_s线性无关
它当且仅当
如果α_1, α_2到α_s的
线性组合等于0的话
从而只有全零的系数
使得该组合式等于0
下面我们来考虑线性相关
和线性无关一种最简单的情况
也就是对于只有一个向量
α组成的向量组
由定义1的叙述
我们很容易知道
对于一个向量α线性相关
当且仅当α等于零向量
反之 α线性无关当且仅当
α为非零向量
证明很简单
即, 如果我们让α的线性组合等于0
也就是k倍α等于0
又若α线性相关即k不等于0
则推出α只能为零向量
下面 我们再来看两个向量的例子
设α_1和α_2分别
为这样的两个二维向量
则易知α_2是α_1的两倍
则把它们都移到等式的左边
就可以得到它们的线性组合等于0
并且组合系数为2和-1
不全为零
则由定义1我们可以知道
α_1,α_2线性相关
把例1的结论推广到一般的情形
也就是若有两个向量
α_1和α_2对应分量成比例
则α_1, α_2是线性相关的
以上讨论了一个向量
与两个向量的简单情形
下面 我们再来考虑一种特殊的情况
即我们的判则3
任何一个含有零向量的向量组
都线性相关
下面 我们来证明这个结论
假设向量组α_1,
α_2到α_s当中有一个零向量
不妨我们就设α1等于0
于是 有不全为零的系数
1, 0, 0, 0等
使得1倍的α_1 加上0倍的α_2
再加点点点一直加到
0倍的α_s等于0
所以α_1, α_2到α_s就线性相关
接下来 我们再来看
一个线性无关的例子
例2 这样给定的一个
三维向量组α_1, α_2和α_3是
R^3当中的三个向量
请大家判断它们的线性相关性
首先从几何上来看
α_1, α_2和α_3实际上
对应了三维空间当中的直角坐标系
于是我们可以初步判断
这三个向量是线性无关的
当然我们还需要
在代数上给予其证明
假设它们的线性组合等于零向量
且组合系数为k_1, k_2和k_3
那么计算这个等式的左边
很容易就等于(k_1, k_2, k_3)
这样一个三维向量等于零向量
那么 根据向量相等的条件
我们就知道它当且仅当
k_1等于k_2等于k_3等于零
也就是说
α_1, α_2和α_3是线性无关的
我们把例2的结论推广到
一般情况就得到了我们的判则4
它告诉我们Rn空间当中的
这样一个向量组
e_1, e_2一直到e_n是线性无关的
它对应了三维空间当中
直角坐标系到n维空间中的推广
于是我们把它称为
n维空间当中的自然基
线性相关性是
向量之间一种非常重要的关系
那么 除了利用定义来判断
给定向量组的线性相关性之外
我们还要通过进一步深入分析
得到其它性质
不仅可以加深我们对
向量组线性相关性的认识
而且还可以得到
更多的判别相关性的方法
下面我们将从三维空间中的几何意义
以及线性方程组的角度
来讨论向量组的线性相关性
二 线性相关性的几何解释
我们把刚才对于三维空间当中
共线以及共面的结论
总结一下就得到了这样的判则5
设α_1, α_2, α_3是三维向量
则 一 若α_1线性相关
则α_1等于0
二 若α_1, α_2线性相关
则当且仅当α_1和α_2共线
三 若α_1, α_2, α_3线性相关
则当且仅当这三个向量共面
有了这样的一个判则
下面我们来看例3
已知α_1, α_2和α_3线性无关
请大家判断这样的两个向量组
是线性相关的还是线性无关的
首先我们先来看第一个向量组
也就是(α_1)-(α_2)
(α_2)-(α_3)和(α_3)-(α_1)
我们首先给出几何分析
假设空间当中的
α_1为向量OA
α_2为向量OB
α_3为向量OC
由于α_1, α_2和α_3线性无关
则它们这三个向量
在空间当中是不共面的
那么我们来看一下
第一个向量组当中
(α_1)-(α_2)
就对应了这样的线段AB
而(α_2)-(α_3)
就对应了线段BC
(α_3)-(α_1)就对应了线段AC
那么在几何上看
这三个线段是共面的
从而我们可以初步判断
这三个向量是线性相关的
当然由于我们的题设里边
并没有说明是一个
三维空间当中的向量
所以我们还需要
用严格的代数方法
来对它进行证明
首先我们判断
这三个向量是线性相关的
因为我们很容易得到
这样的一个线性组合式使得
三个组合系数分别为1, 1, 1
但是它们的线性组合等于0
由系数1, 1, 1不全为零
所以 第一组向量就是线性相关的
下面来考虑第二组向量
我们的结论是线性无关
原因是: 如果我们假设
这三个向量线性组合等于0
且组合系数是k_1, k_2和k_3
通过整理和合并
我们把式子化成这样的形式
由于α_1, α_2和α_3线性无关
而上式给出了
它们的线性组合等于0
从而 只有它们的三个系数
全都等于0
列出来之后
我们要求解k_1, k_2, k_3
就相当于去求解
这样的一个关于
k_1, k_2和k_3的齐次线性方程组
那么对于这个线性方程组
我们用Gauss消元法很容易
求解得它的解只能是
k_1等于k_2等于k_3等于0
因此 第二组向量就是线性无关的
请大家课后思考以下的问题
也就是把我们上一页例题当中的
三个向量推广成4个向量
以及n个向量的情况
请大家判断由它们的组合
而得到的新的向量组的
线性相关性是如何的？
三 线性相关性的方程组解释
在上一页例题的计算过程当中
我们发现求解线性组合的系数
就归结到求解某一个齐次线性方程组
那么 下面我们将讨论
这种关联性 对于一般情况
都是成立的
按线性相关的定义
决定一组n维向量
α_1, α_2一直到α_s的线性相关性
就等价于决定向量方程x_1乘α_1
加上x_2乘α_2一直加
加到x_s乘以α_s
等于0是否有非零解
如果我们令A是由
这s个列向量构成的矩阵
X是由这s个组合系数构成的列向量
那么 上式就可以表示成A乘X的形式
而这 就是我们熟悉的
以A为系数矩阵的齐次线性方程组
那么 我们就得到了
线性相关性的第6个判则
即s个n维向量
α_1, α_2一直到α_s
它们线性相关当且仅当
对应的齐次线性方程组AX=0
有非零解
等价命题为它们线性无关
当且仅当齐次线性方程组AX=0
只有零解
由判则6
我们可利用齐次线性方程组的
相关理论来判断向量组的线性相关性
判则7
对于n个n维向量α_1, α_2到α_n
如果我们令A为
这n个列向量构成的一个矩阵
则α_1, α_2到α_n线性相关
当且仅当A的行列式等于0
又当且仅当A为奇异矩阵
那么反之
α_1, α_2,..., α_n线性无关
当且仅当A的行列式不等于0
又当且仅当A为一个
非奇异的可逆矩阵
判则8
如下的阶梯形向量组是线性无关的
它的证明就对应了
这s个向量构成的阶梯形矩阵
所对应的齐次线性方程组只有零解
判则9
R^n空间当中, 任意多于
n个向量的向量组必定线性相关
下面我们来证明这个判则9
设s大于n
取s个n维向量如下
并且设这s个列向量构成的矩阵为A
而X为一个s维的列向量
则对应的齐次线性方程组AX=0
的未知量个数s
大于方程个数n
由我们1.4节的结论
我们就知道
这个齐次线性方程组一定有非零解
从而 对应的向量组线性相关
用上面的判则
我们来考虑如下的一个例子
例4 a取何值时
β_1, β_2和β_3 是线性无关的
其中β_3是一个含参的四维向量
它的参数就是我们要考虑的a
首先 我们先把
这三个向量的线性组合等于0设出来
其中 组合系数为
x_1, x_2和x_3 并且把这个式子
称为星式
设β_1, β_2和β_3为列
构成的矩阵是
这样的一个4×3的矩阵
那么我们来求解
这个矩阵所对应的齐次线性方程组
就相当于对这个矩阵进行初等行变换
经过初等行变换我们先把第一列当中
1下面的位置化零
进一步再把第二列
第三列主对角线下方的元素化零
就得到了这样的一个阶梯形矩阵
那么 对于这个阶梯形矩阵
我们就知道 当a不等于-2的时候
主元的个数就等于未知量的个数
从而方程组只有零解
即x_1等于x_2等于x_3等于0
此时 β_1, β_2和β_3线性无关
在本讲当中我们介绍了
向量组线性相关与线性无关的概念
简单地说
若令这些向量线性组合等于零
若有非零系数
则向量组线性相关
若只有全零系数
则向量组线性无关
线性相关只是一套形式化的语言
几何空间R^3中共线 共面问题
齐次线性方程组是否有
非零解的问题都可以用
线性相关的语言站在
更高的角度统一地来描述
利用这套语言
我们将进一步探究
线性方程组行列式
矩阵与空间几何之间的本质联系
作为初学者
希望大家尽快熟悉这套语言
接下来的章节中
我们还将用它来推导和证明
本讲的内容就到这
我们下讲再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
