4-4 极大线性无关组在线视频

同学们 大家好

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线性代数先修课

第四章 向量空间

4.4节 极大线性无关组

在本讲当中

我们将首先讨论

两个向量组的线性关系

进一步 我们将介绍

极大线性无关组的定义及其性质

接着 我们将给出

极大线性无关组的求法

本节的开始

我们提出一个问题

我们提问的方式

是以这样一种五言绝句的方式

叶落留枝干 擒贼先擒王

若论向量集 去冗何物存？

那么这个问题

就是对于一个向量组构成的集合

什么时候能够把多余的向量去掉？

留下最精炼的向量组

为了解决这个问题

我们首先先来讨论

两个向量组的线性关系

之前我们已经给出了

一个向量被一个向量组

线性表出的概念

下面我们将其推广到

一个向量组

被另一个向量组

线性表出的形式

定义1

设有两个向量组

向量组1为α_1,α_2,到α_s

向量组2为β_1, β_2,到β_t

如果向量组1中

每一个向量α_i

都要可以由

向量组2中的向量

β_1, 到βt线性表出

则我们称向量组1

可以由向量组2线性表出

如果同时向量组1

和向量组2可以相互线性表出

则我们称这两个向量组是等价的

我们就用这样的符号

来表示两个向量组的等价

下面我们看个具体的例子

设α_1, α_2

β_1, β_2和β_3为

这样给定的二维向量

我们很容易给出

下面的表达式

第一行给出了α_1和α_2

由β线性表出的表达式

而第二行给出了

β_1, β_2和β_3由α

线性表出的表达式

从而我们就知道了

这两个向量组可以相互表出

因此他们是等价的

向量组之间的等价

具有下列简单的性质

1 自反性

也就是任何一个向量组

与自己是等价的

2 对称性

也就是如果

向量组1与向量组2是等价的

则我们可以推出

向量组2与向量组1也是等价的

3 传递性

也就是如果向量组1

和向量组2等价

同时向量组2和向量组3等价

则我们可推出

向量组1和向量组3也是等价的

如果满足上述三条性质的关系

我们把它称为等价关系

在代数学当中

等价关系是我们经常

要讨论的一种关系

当一个向量组

可由另一个向量组线性表出时

他们的线性相关性

和数量有何关系呢

下面的这个结论

回答了我们的这个问题

定理1 设向量组

α_1, α_2, 到α_s可由

另外一个向量组

β_1, β_2, 到β_t线性表出

如果第一个向量组的个数s

大于第二个向量组的个数t

则第一个向量组α_1, 到α_s

一定线性相关

这个命题的等价命题是这样的

即如果第一个向量组

α_1, 到α_s是线性无关的

则我们一定知道

第一个向量组的个数

要小于等于第二个向量组的个数

对于定理1

我们有如下注释

结论2是结论1的等价逆否命题

故我们只需证明其一即可

另外一方面

从直观上看

我们可以这样

来理解我们的定理1

以少生多

则必线性相关

反之线性无关的向量组

只能由更少的向量生成

下面我们给出定理1的证明

我们只证明结论1

我们要证明结论1当中

α_1, 到α_s线性相关

那么我们首先

先设他们的线性组合等于0

组合系数为x_1, x_2,...

一直到x_s

那么这个向量表达式

也可以表示为这样的

矩阵的乘积的形式

其中向量x是由

x_1, x_2, 到x_s组成的s维的列向量

因为α_1, α_2, 到α_s

可以由β_1, β_2, 到β_t线性表出

于是我们可以

设表出的系数是这样的

其中

这是α_1被β线性表出的表达式

而这是α_2被β

线性表出的表达式

等等等

一直到α_s被

β线性表出的表达式

对于这样若干个式子

我们也可以把它表示为

矩阵与向量的乘积形式

也就是这个样子的

其中矩阵C是由c_{ij}组成的

一个t乘s的矩阵

而对比之前的那组表达式

我们会发现

而矩阵C的第j列

就是α_j被

线性表出的表出系数

于是考察

α_1, α_2, 到α_s的线性相关性

相当于考察这样的线性方程组

我们再把β和α之间的关系代进去

就等于这样的一个式子

由于我们在条件当中

假设了t小于s

而这里的t就是矩阵C的行数

而s是矩阵C的列数

于是我们就知道

由C为系数的齐次线性方程组

CX=0必有非零解

进一步

这个解也是上述方程组*式的解

从而我们就知道

α_1, α_2, 到α_s线性相关

回到我们本节初的问题

也就是对向量组来说

去冗为何物

具体地说就是

去掉一些多余的向量

剩下一组精炼的部分组

使得该部分组与原向量组等价

问题是

这样的部分组是否存在

如果存在

它又有何性质

那么又应该怎么求解它呢

二 极大无关组及其性质

定义2 如果向量组

α_1, α_2, 到α_s当中

存在r个线性无关的向量

我们把它设为

α_{i1},α_{i2},到α_{ir}

并且在原向量组当中

取出任一个向量α_i

加到上述向量组当中

都会使得增加后的向量组线性相关

那么我们就把这样的向量组

也就是α_{i1},到α_{ir}

称为原向量组的

一个极大线性无关组

简称为极大无关组

那么对于定义2当中

我们可以看到两个关键的条件

即条件1和条件2

我们分别把它简称为

无关性和极大性

关于向量组的极大线性无关组

我们有如下的一些问题

第一个就是一个向量组的

极大无关组与原向量组有什么关系

第二个是关于

向量组极大无关组的基本问题

也就是是否存在

是否唯一

所含的向量的个数

以及如何判断极大无关组

并且求解极大无关组

那么首先我们还是

来看一个具体的例子

考虑这样的三个二维向量

由于α_1与α_2不成比例

所以我们可以知道

α_1与α_2是线性无关的

并且我们可以把

α_3这样表示为

α_1与α_2的线性组合

因此再添加α_3

以后就线性相关了

所以由我们的定义2我们就知道

α_1, α_2是

一个极大线性无关组

类似地

我们也很容易验证

α_1,α_3以及α_2, α_3

也都是原向量组的

极大线性无关组

因此这个例子

说明极大线性无关组

不一定是唯一的

例3 我们有这样的结论

即线性无关的向量组

是自身的极大无关组

那么我们要验证例2

很简单

只需要分别去验证1

无关性

2 极大性即可

这个问题留给大家在课后

把完整的证明补上

例4 设e_i为这样的

一个列向量

其中它只有第i位为1

而其余位置均为0

那么当我们把e_1, e_2,...

一直到e_n放到一起

这个向量组就是R^n中

全体列向量集合的极大无关组

同样 我们要验证这个结论

只需去验证无关性和极大性

对于无关性

实际上我们

在4.2节的

判则4当中已经给出

那么对于极大性

同样我们

在4.2节当中的判则9

也就是R^n当中

任意多于n个向量的向量组

必定线性相关

就可以知道

任意添加一个向量之后

就会变成线性相关

从而我们就证明了向量组

e_1, e_2,一直到e_n在R^n当中

是一个极大无关组

那么将来我们会把

这样的一个向量组称为自然基

下面我们讨论

极大无关组的性质

第一个性质称为存在性

即向量组存在

极大线性无关组

当且仅当向量组中含有非零向量

下面我们来证明这个结论

从左到右推

我们采用反证法

如果向量组中只有零向量

则包含零向量的向量组

必然线性相关

我们就知道任何部分组

均是线性相关的

所以这里向量组

不存在极大无关组

反过来从右到左推

设向量组为

α_1,α_2, 到α_s

我们不妨设α_1非零

故α_1一个向量组成的

向量组是线性无关的

如果α_2,到α_s当中

任意一个向量

均与α_1是成比例的

也就是它们加入之后

变成线性相关的

则α_1是原向量组的

极大线性无关组

否则我们不妨可以设

α_1和α_2是线性无关的

那么继续这个过程

最终可以在原向量组当中

得到一组线性无关的向量

α_1, α_2, 到α_r

其中这个r小于等于s

使得在这组向量中

任意添加原向量组

当中的一个向量均会使得

添加后的向量组就线性相关

于是我们就得到了

原向量组的一个

极大线性无关组

极大线性无关组的

第二个性质我们称为非唯一性

也就是向量组的

极大线性无关组是不唯一的

而我们的例2

已经对这条性质给出了说明

性质3

我们称为等价性

即向量组与它的极大无关组等价

下面我们来证明它

一方面

由于极大无关组是

向量组的一个子集

故它可以被原向量组线性表出

另一方面我们假设

α_1, α_2, 到α_s为原向量组的

一个极大无关组

对于原向量组当中的

任何一个向量α

如果α本身就

包含在这个取定的极大无关组当中

则它一定可以被

这个向量组线性表出

另一种情况

就是我选择的这个α

不落在极大线性无关组当中

则由极大线性无关组的

定义的极大性我们可以知道

添加α以后得到新的

向量组就一是线性相关的

再由线性相关性

理论当中的临界关系

从线性无关到线性相关

这一步添加的元素α

就可以由

α_1, α_2, 一直到α_s唯一地线性表出

最后由α的任意性

我们就可以知道

原向量组当中的任意向量

均可以被极大无关组线性表出

综合上述两方面

我们就证明了

向量组与它的极大无关组

可以相互线性表出

也就是它们是等价的

由性质3我们可以

很快得到这样的一个推论

即向量组的

任意两个极大线性无关组

均是等价的

证明的思路是这样

我为了证明极大无关组1

和极大无关组2是等价的

我只需证明它们分别

和原向量组均是等价的

那么这个等价性

已经由性质3给出了

再利用等价的传递性

我们就可以证明极大无关组1

和极大无关组2是等价的

性质4我们称为表出性

即部分组α_1, α_2, 到α_s

是一个极大无关组

当且仅当α_1 到α_s线性无关

且向量组中每一个向量

α都可以由

α_1 到α_s线性表出

对性质4

我们作如下说明

该性质给出了

极大无关组的等价定义

即在无关性的前提条件下

极大性就是表出性的充分必要条件

这里由极大性我们可以知道

对任意向量α均有

α添加到极大无关组当中之后

这个向量组就线性相关了

再由线性相关性理论的

临界关系我们就知道

α就可以由原来的

极大无关组唯一地线性表出

从右到左推

如果α可由

α_1,α_2,到α_s线性表出

那么很容易说明

添加了α之后

这个向量组必定是线性相关的

从而再由α的任意性

我们就得到了极大性

再加上条件当中

α_1到α_s是线性无关的

从而我们就说明了

α_1到α_s是一个极大无关组

三 极大无关组的求法

用定义去求极大无关组

并不是一个有效的办法

特别是在验证极大性的时候

需要遍历并添加

已选定的向量组之外的

每一个向量

再分析其线性相关性

那么是否有一种更有效的方法

可求出一组极大无关组

并进一步将每一个向量

表示为极大无关组的

线性组合呢

我们的回答是肯定的

但是这需要矩阵

初等变换

以及齐次线性方程组的

相关理论和方法

下面我们就来介绍这个方法

首先

先在理论上证明这样的一个结果

即定理1

如果矩阵A经过

初等行变换化为矩阵B的话

则矩阵A及矩阵B的

列向量组的任何对应部分组

有相同的线性相关性

下面我们用数学的语言

来把定理1表示清楚

如果矩阵A的列向量为

α_1,α_2,到α_n

那么经过行变换以后

变成矩阵B

而矩阵B的列向量

为β_1, β_2,到β_n

那么对于1, 2,...

一直到n, 这个集合当中的

任何一个子集合

我们不妨设它是

i_1, i_2,一直到i_r

则α_{i1}, α_{i2}, ...

一直到α_{ir}线性相关

当且仅当β_{i1}, β_{i2}, ...

一直到β_{ir}线性相关

同样线性无关也有相同结论

下面我们就来证明这个结论

我们假设符号规定如上

则由初等变换

与初等矩阵之间的关系

我们就知道一定存在

一个可逆矩阵P

使得P乘以A等于B

那么我们对A和B按列的方式展开

就得到这样的一个式子

那么根据分块矩阵的乘法

我们就可以把P乘到括号里边

从而得到对于A的

任何一个列α_i

左乘P以后

就等于β_i即B的第i列

如果我们把刚才取的

那个子集所对应的列

也就是

α_{i1}一直到α_{ir}的列

构成的一个矩阵称为A_1

对应的把

β_{i1}一直到β_{ir}构成矩阵叫作B_1

则由刚才得到的P(乘)α_i等于β_i

我们可以知道

P左乘在A_1上就等于B_1

由于P是可逆矩阵

则齐次线性方程组

(A_1)X=0与(B_1)X=0

就是同解的

从而两个向量组的

线性关系必然相同

也就得到了

我们刚才想要的这个结论

再由这个子集和

选取的任意性

我们就可以证明

如果矩阵A的

某几列是A的列向量组的

极大无关组的话

对应的那些列就是B的

列向量的极大无关组

我们这个结论的证明

留给大家作为课后思考题

由于这个结论成立

那么也就是说矩阵的初等行变换

不改变矩阵列向量组的

线性相关性

又因为所有矩阵

经过初等行变换

总可以化为简化的阶梯形矩阵

于是我们的问题

就归结为简化的阶梯形矩阵的

列极大无关组为什么

下面我们就来看一个

简化的阶梯形矩阵

假设C是这样的一个阶梯形矩阵

那么我们会发现C的

主元素所在的列

就是第1到第r列

好 那么由于自然基的无关性

我们就可以知道

主元素所在的列

这里也就是第1到

第r列是线性无关的

同时我们也很容易

看到其它的列

也就是第r+1列到第n列

可以表示为前r列的线性组合

并且线性组合的系数

就是该列的前r个元素

因此我们就证明了

无关性和表出性

所以主元素所在的列

就是C的列向量集的

一个极大无关组

下面我们就给出

向量组极大无关组的

求法的具体步骤

第一步我们将m维向量组

α_1, α_2,到α_n按列排成矩阵

这个矩阵

就是一个m乘n阶的矩阵

第二步用初等行变换

将A化成简化的阶梯形矩阵C

第三步C的主元素

所在的列对应的A的列向量

就是其列向量组的极大无关组

第四步A中任意列

可唯一地表示为

上述极大无关组的线性组合

其组合系数

就为C中对应列的

前r个分量上的数

这里r是C中主元的个数

那么我们有一个问题

就是刚才的方法

是针对列向量组的

那么如果是

对于行向量组要求极大无关组

应该如何操作呢

其实方法很简单

我们有两种解决方案

第一种方案就是

把行向量转置之后得到列向量

然后再把列向量排成矩阵

另外一种方案

就是把行向量

排在矩阵后

对该矩阵进行初等列变换

两种方案都能最终得到结果

下面我们就用刚才的方法

去计算一个具体的极大无关组

假设矩阵A

是这样的一个三行四列的矩阵

求矩阵A列向量组的

一个极大无关组

并且把其余的列

用所求出的

极大无关组线性表示出来

首先我们通过初等行变换

把矩阵A化成

简化的阶梯形矩阵

具体步骤如下

我就不再展开

得到这样

一个简化的阶梯形矩阵之后

我们就知道C的主元

在第一列和第二列上

因此矩阵A的第一列

和第二列就是

它的列向量组的一个极大无关组

并且由于C的

第三列的前两个元素是-3和1

因此对于矩阵A来说

它的第三列就可以

表示成c1和c2的

这样的一个线性组合

同样对于矩阵A的

第四列就可以表示成

它的第一列和第二列的

这样的一个线性组合

组合系数

来自于矩阵C的第四列

在线性相关的向量组中

有些向量

可以由其它向量线性表出

也就是说有一些信息是冗余的

极大线性无关组

当中没有冗余的信息

而且它可以线性

表出向量组中所有的向量

因此极大线性无关组

精炼而全面地反映了

整个向量组的信息

换言之

极大线性无关组

就是向量组的本质

正因为如此

研究向量组时

我们往往剔除冗余的向量

仅仅抓住

极大线性无关组来说事

正所谓叶落留枝干

擒贼先擒王

若论向量集

极大且无关

那么我们进一步的问题是

由于我们都知道

极大无关组的选取

并不是唯一的

那么不同的

极大线性无关组之间

会存在什么样的本质联系呢

而这正是

我们下一讲要和大家

讨论的内容

本讲小结

在本讲中

我们首先讨论了

两个向量组之间的线性关系

包括向量组之间的线性表出

向量组的等价

以及表出向量组之间的数量关系

其次 我们定义了

向量组的极大线性无关组

它有两个关键条件

即无关性与极大性

进而我们讨论了

极大线性无关组的性质

包括存在性

非唯一性

与原向量组的等价性

以及无关性加表出性的等价定义

最后 我们介绍了

列向量的极大线性无关组的

计算方法

即初等行变换

化为简化阶梯形矩阵的方法

需要说明的是

简化的阶梯形矩阵当中

不仅包含了

极大线性无关组的信息

同时也包含了

其他向量表示为

极大线性无关组的组合系数

我们说过初等变换

是线性代数

这门课程当中的两大武功之一

本节又介绍了

它的一个用途

同学们要熟练地掌握

本节的内容就到这

我们下节再见