2-4 行列式的性质在线视频

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第二章 行列式

2.4节 行列式的性质

在本节当中

我们将分析介绍行列式的基本性质

目的是利用行列式的性质

去化简行列式的计算

那么首先 我们先提出这样的一个问题

什么样的行列式比较容易计算?

好 那么在上一讲当中

我们曾经讨论过低阶行列式

以及0元素比较多的行列式

我们都比较容易计算

那么 对2阶和3阶行列式

我们有这样的性质

就是行列互换 则行列式值不变

对于n阶行列式

它的情况如何

好 我们假设D是一个n阶行列式

那么 如果我们将行列式当中的行与列互换

所得到的新的行列式

我们就把它称为转置行列式

记为D的T(上标)

好 也就是说D^T

和D有这样的一个关系

那么 转置了之后

原来的第一列在新的行列式里

就变成了第一行

原来的第一行就变成了第一列

所以 两个行列式实际上相当于

黄色的部分和红色的部分进行了对调

那么 n阶行列式和2阶,和3阶行列式一样

都有这样的结论

就是行列互换 则行列式相等

也就是这里的D等于D^T

这个结论很容易证明

因为我们已经知道了行列式的等价定义

这个 是行列式的标准定义

第二个等式是行列式的等价定义

由于我们之前已经说过

行列式的转置对应到每一个元素

对应了它的两个下标的指代性互换

也就是说 转置之后的矩阵

第一个下标表示其列数

而第二个下标表示其行数

所以 我们再以这样的观点来看

行列式的等价定义的时候

就知道它等于转置之后的行列式

因此 我们就证明了性质1

性质2 某行或者某列相加可拆项

这个性质和2阶,3阶行列式也是一样的

具体的说

若行列式的某一行或者某一列的元素

是两数之和

例如 对于这个n阶行列式

我们看 它的第i行分别等于

a_i1+a_i1’ a_i2+a_i2’ 一直到a_in+a_in’

则 D等于下列两个行列式之和

好 下面我们来证明这个结论

对于等式的左边

也就是有加项的那个行列式

我们根据定义把它展开

对于每一项中的这个括号

当中的加法在用分配率把它展开之后

就得到了这样的两个求和式

那么 对于每一个求和式

我们再根据行列式的定义

就可以得到

它等于以下两个n阶行列式的和

于是 我们就证明了性质2

有时 为了方便

我们把行列式D

按列表示为如下形式

其中α_j表示行列式D的第j列

于是 利用行列式的行列等价性

我们的性质2还可以表示成

以下以列的拆分形式

我们把它记为性质2’

大家可以看到它的第j列

分别可以写成

一个α列加上一个β列

于是 根据我们拆项的法则

它能写成一个关于α_j和β_j

为第j列的两个行列式的求和

对性质2 我们做如下的说明

第一 在拆分的时候

我们仅对一列或者一行进行拆分

而其他行或者列一定要保持不变

第二 性质2也称为

逐行保加法或者逐列保加法

也称为加法拆项法则

下面 我们来看一个问题

利用性质2

可以将如下2阶行列式拆分为

几项之和

我们观察一下这个行列式

这个行列式当中每一项

都可以写成两个数的和

那么 根据我们刚才的讨论

我们必须先固定其中一列

比如说 我们固定第二列

先把第一列拆分为两个行列式求和

第二步 再对这两个行列式

分别固定第一列 拆分第二列

各自得到两个行列式

于是合起来一共拆成了

四项行列式之和

那么 我们的问题是

对于这样的一个n阶行列式

每一项都可以写成两个元素之和

按照加法拆项法则

一共可以拆成多少项?

我们的答案是2的n次方项

你回答对了吗?

另外一个问题

下边这个行列式

可以用拆项法则来拆分吗?

我们的回答是:可以

但是 有的同学就会奇怪

你刚才说拆项的话必须对整行

或者整列进行拆分

但是 这一项可以拆分吗

确实 我们只能对整行或者整列进行拆分

但是 我们可以在不能拆分的地方加上0

加上0之后

大家可以看 固定第二列 拆分第一列

就可以得到这样的两个行列式求和

因此 我们通过补0的方法

也可以拆分行列式

性质3

行列式的某一行或者某一列的公因子

可以提到行列式外边

我们分别用行的形式和列的形式表出

好 这个性质3也称为

逐行或者逐列保持数乘

它反映了倍乘这种初等变换

对行列式的影响

如果性质3成立的话

这个推论告诉我们

行列式有一行或者是一列

元素全为0的话

则行列式的值为0

下面我们来证明性质3

对于第i行的每个元素都乘以k

按照行列式的定义展开以后

在每一项里面都含有一个k的因子

因此 我们可以把这个k提到前面来

后边求和

那么 后边的这个求和式

正好就等于原来这个行列式

因此 我们就证明了性质三

下面 来看一个例子

这是一个2阶行列式

我们会发现它的第一行里面

有15这个公因子

因此 我们先把15提出来

剩下的这个行列式用对角线法则展开

很容易计算 因此它等于负的105

提出一个因子后

行列式的计算量就减小了

这比直接用定义展开要简单

当然 我们还可以用另外一种方法

就是我们先把第2列当中的公因子3

给提出来

接着再看这个行列式

它的第一行还有一个5的公因子

于是 我们又把5这个公因子提出来

剩下的这个2阶行列式

通过对角线法则计算很简单

它的计算结果也等于负的105

性质4

交换行列式的任意两行

或者两列的位置

行列式的值变号

我们先用行的方式来表示这个结论

我们用黄色标记行列式的一行

红色标记行列式的另一行

另外 我们也可以用列的方式来表示

就是把黄色的这一列和

红色的这一列交换位置之后

整个行列式多一个负号

性质4也称为行列式的交错性

它反映了对换这种初等变换

对行列式性质的影响

交错性(的叫法)是怎么来的

交错 交错 意思就是说

交换位置之后取相反数

因此称为:交错性

好 如果性质4成立

我们马上就有如下的推论

这个推论告诉我们

如果行列式当中

有两列或者两行元素相同

则行列式值一定为0

这个结论实际上在上一讲当中

我曾经作为一个思考问题提给大家

那么由推论2

我们很快又可以得到推论3

它的内容是 行列式当中

如果有两行或者两列成比例

则行列式的值为0

好 下面我们就来证明性质4

首先 我们设交换第s行与第i行之后

得到的新的行列式

我们把他记为D'

而D’的元素 我们把他记成a’

由于D’是由原来的行列式

交换第s行和第i行之后而得到的

因此 我们可以知道

a’可以由这样的一个算式来决定

其中如果a’落在第s行里

则它就对应了原来行列式当中

第i行中的元素

因此 我们就直接把小a’的

行坐标换成i

同样的道理

如果a’落在第i行里

则它就对应了原来第s行里的元素

因此我们把a’的行坐标换成s

在去掉’之后就对应了a_sj

如果a’既不落在第s行里

也不落在第i行里

则他就等于原来的a_kj

于是

我们把D’按照定义展开以后

就得到这样的一个式子

接下来 我们再(把)a(与a')之间的关系

带到这个式子里面

就得到了这样的一个式子

在这个式子里面

我们用黄色标记第i行里的元素

用红色标记s行里的元素

好 同样是这一项 另一方面

在原行列式D的展开式当中

同样的这一项 也是存在的

我们在D的展开式当中

考虑这一项的符号

就是这个样子

其中

它的符号由他的行排列的逆序数

和列排列的逆序数共同决定

而由于这里的行排列是由自然排列

仅仅交换了i和s的位置而得到的

因此 这个排列是一个奇排列

所以

它相当于在原排列的基础上

加了一个负号

于是 我们就证明了D=-D’

从而证明了性质4

性质5

把某一列的常数倍加到另一列上

则行列式的值不变

这个结论对行也同样成立

用数学公式表达出来

就是这样的形式

我们取第j列的k倍

把它加到第i列上

得到一个新的行列式

它的第i列就等于

原来第i列加上原来第j列的k倍

其他的列不变

则这样的一个变换 不改变行列式的值

或者我们用更简单的符号表示出来

就是这个样子

对性质5

我们也称为行列式的倍加不变性

它反映了倍加这种初等变换

对行列式的影响

下面 我们来证明性质5

对于右边这个行列式

也就是做完倍加之后的行列式

我们按照加法拆分的方式

也就是性质2

可以把他拆分为两个行列式相加

那么 对于第二个行列式

我们可以根据推论3

也就是有两列成比例的话则行列式为0

因此 它就等于原来的行列式

我们就证明了性质5

在本节当中

我们介绍了行列式的以下五条性质

分别是转置不变性

逐行(或者逐列)保加法

逐行(或者逐列)保数乘

交错性 以及倍加不变性

其中后面3个性质

分别反映了3种

初等变换对行列式值的影响

而初等行,列变换

则成为行列式计算当中最常用的方法

除此之外 由这5条性质

我们还可以得到3条推论

分别为:零行或者零列得零

同行或者同列化零

也就是说

如果有两行或者两列相同

则行列式的值为零

第三条推论 同比化零

也就是说

如果有两行或者两列成比例

则行列式的值得零

本节的内容就介绍到这