5-3 线性方程组的几何意义在线视频

同学们大家好

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线性代数先修课

第五章

线性方程组的解理论

5.3节

线性方程组的几何意义

首先我们先介绍

线性方程组的行图与列图

并且

对于线性方程组的行图

分别在二维平面中

与三维空间当中

给出具体的几何描述

进一步我们将利用

系数矩阵的列空间

以及线性方程组的列图给出

非齐次线性方程组的

解的情况的几何解释

在本讲当中 我们将讨论

线性方程组的几何意义

在此之前

我们首先还是来回顾一下

线性方程组三种

常见的表出形式

第一种 我们称为普通形式

也就是将m个方程联立的形式

这个形式是

我们中学就接触过的

第二种形式我们称为矩阵式

也就是将系数表示为系数矩阵

将未知量表示为未知量向量

将常数项表示为常数向量

于是就得到了这样AX=b的形式

称为线性方程组的矩阵形式

第三种形式称为向量形式

当我们把系数矩阵

按列展开表示以后

就可以写为常数向量b表示为

系数矩阵的列向量的

线性组合的形式

在本章当中 我们将分别讨论

线性方程组这三种

表出形式的几何意义

首先我们先来看

线性方程组的行图与列图

我们首先讨论一个简单的例子

设我们有如下的一个线性方程组

这个方程有2个方程 2个未知数

对于方程组中每一个方程

表示增广矩阵当中的一行

同时对应了

平面R2中的一条直线

也就是当我们建立了

直角坐标系以后

第一个方程

也就是x-2y=0

就对应了这样一条直线

而第二个方程也就是2x-y=3

就对应了这样的一条直线

那么 整个方程组的解

即为所有方程的公共解

它对应了平面R2当中

上述直线的交点

在这里 交点就是

坐标为(2,1）的这个点

我们把这样的一个图称为

该线性方程组的行图

同样对于这个简单的方程组

我们从列的角度来看

我们可以把方程组

写为如下的向量形式

于是求解方程组就相当于

把(0,3)这个向量

表示为列向量(1,2)和

(-2,-1)的线性组合的系数

容易解得

这两个系数分别为2和1

也就是 2倍的向量(1,2)

再加上1倍的向量(-2,-1)

就等于我们要求的向量(0,3)

那么我们在平面R2当中

把这个向量加法表示出来以后

就是这个样子

而这个图就称为

该方程组的列图

一般地 对于m个方程

n个未知数的线性方程组

方程组的每一行

也即方程组当中的每一个方程

都表示Rn中的一个几何对象

其中当n=2的时候

每一个方程表示一条直线

当n=3的时候

每一个方程表示一张平面

当n>3的时候

每一个方程表示一张超平面

于是 求解线性方程组

就等价于考察这些直线

或者是平面

或者是超平面是不是有交点

那么于是 从代数上看

线性方程组的普通形式

就对应了几何上看

Rn中线性方程组的行图

也就是这些几何对象的交点

另一方面

若将系数矩阵A按列分块

表示为α1,α2,...,αn

n个列向量的形式

则我们求解线性方程组

就等价于将常数向量b

表示为A的列向量

α1,α2,...,αn的

线性组合的组合系数

也就是说 代数上来看

线性方程组的向量形式

就对应了几何上

m维向量空间当中

线性方程组的列图

自然的一个问题是

线性方程组的另一种表出形式

也就是代数上看

线性方程组的矩阵表出形式

在几何上看

它对应了什么样的几何意义呢

我们的回答是

它对应的几何意义

就是矩阵映射

这个概念我们将在

第八章当中详细介绍

好 下面我们将

对n=2和3的情形下

线性方程组的行图

进行详细的讨论

具体地来说

当n=2的时候

每一个方程对应了

平面R2中的一条直线

于是行图讨论

就是平面R2当中m条直线的关系

而当n=3时

每一个方程就对应了

几何空间R3中的一个平面

于是行图讨论的就是

几何空间R3当中m张平面的关系

首先我们先来看

n=2时二维平面中

直线的位置关系

当未知数的个数n=2的时候

线性方程组的行图就对应了

二维平面R2当中的几何对象

对于一个方程ax+by=c

我们有如下的规定和结论

第一条 为了使其几何上有意义

我们要求系数a和b不能同时为0

第二点 当常数c等于0的时候

方程ax+by=0对应的直线

必然经过原点

并且它的斜率就等于-a/b

在这里

我们允许这个比值等于无穷

它对应了这条直线和x的夹角

当c≠0的时候

方程ax+by=c对应的直线

就是直线ax+by=0的平移

也就是图形当中蓝色的直线

它与原来这条黄色的

直线是平行的

它相当于把黄色的直线

平移到了这个位置

其x和y的截距分别为

a分之c和b分之c

在这里 我们依然允许

这两个比值可以等于无穷

首先我们先考虑m=2

也就是平面上的两条直线

从几何上看

平面上的两条直线的

位置关系有以下三种

一 平行 二 相交 三 重合

对于这两条直线的交点

分别就为

第一种情形 无交点

第二种情形 交于一点

第三种情形 交于一条直线

我们进一步讨论

这两条直线的斜率和截距

我们就会发现

当两条直线平行和重合的时候

它们的斜率相同

而当两条直线相交的时候

它们的斜率不同

而对于平行的情形

两条直线的截距不同

而对于重合的情形

两条直线的截距相同

从代数上来看

设两条直线对应的方程

分别为L1和L2

具体的代数表达式

分别为a1x+b1y=c1

而另外一条是a2x+b2y=c2

考虑联立后

所得到的线性方程组

并记其系数矩阵为A

增光系数矩阵为A-bar

也就是这里 A是一个2×2的矩阵

而A-bar是一个2×3的矩阵

由矩阵秩的性质

我们可以知道

这两个矩阵的秩有这样的关系

于是有线性方程组的解理论

以及斜率与截距的关系

我们就有这样的结论

当A的秩不等于

A-bar的秩时候

线性方程组无解

此时 由于A的秩等于1

也即A的两行线性相关

因此它们有相同的斜率

但是由于A-bar的秩等于2

也就是A-bar的两行线性无关

因此它们的截距不同

从而它对应的几何图形

就是两条平行的直线

而当A的秩等于

A-bar的秩的时候

线性方程组有解

进而我们分为两种情况讨论

第一种情况 当A的秩等于

A-bar的秩等于2的时候

此时它们的斜率不相同

因此 必为两条相交的直线

而当A的秩等于

A-bar的秩等于1的时候

它们的斜率和截距均相同

因此对应的几何图形

就是两条重合的直线

下面 我们来讨论一般的情况

也就是平面上的m条直线

这里m≥2 对于一种特殊的情况

也即线性方程组为齐次的时候

对应的m条直线均过原点

也就是对应了这样的图形

从而这个图形对应了

方程组只有零解的情况

而当m条直线均重合的时候

就对应了这样的图形

它对应了线性方程组有非零解

且解空间的维数等于1的情况

这里我们特别用粗的线条

表示这是m条重合的直线

一般地

当m条直线对应的线性方程组

为非齐次的时候

其位置关系比较复杂

下面我们只讨论m=3的情况

也就是

平面当中3条直线的位置关系

及其对应的

线性方程组的代数条件

我们分为两大类

第一类是有公共交点的情形

又分为以下三种情况

第一种情况

三条直线的斜率 截距均相同

而第三种情况

三条直线的斜率均不相同

而第二种情况

其中两条直线的斜率

和截距相同

另一条的斜率不同

下面我们再来看

没有公共交点的情况

又分为以下四种情况

其中情形④中

三条直线的斜率相同

但是存在不同的截距

情形⑤是斜率相同

但是截距两两不同

情形⑥有两条直线的斜率相同

但其截距不同

而另外一条直线的斜率不同

情形⑦是三条直线

斜率两两不同

下面我们来看代数方面

设三条直线的方程分别为

其中i从1跑到3

那么对应方程的系数矩阵为A

增广系数矩阵为A-bar

也就是在这里A是这样一个

三行两列的矩阵

并且我们设A的三行

分别为α1 α2和α3

而增广系数矩阵

是这样一个三行三列的方阵

并且设其三个行

分别为β1 β2和β3

那么由矩阵秩的性质

我们有如下的结论

也即A的秩只能等于1和2

而A-bar的秩可能等于1,2,3

并且A-bar的秩

要么等于A的秩

或者等于A的秩+1

由此我们可以发现

行向量α1 α2和α3

实际上体现了三条直线的斜率

而在斜率相同的情况下

βi就体现了直线Li的截距

从而对于平面上的

三条直线的七种位置关系

我们可以逐一地

给出其等价的代数条件

我们将条件整理汇总

为这样的一个表格

其中表格的2、3列

表示了几何情形

而4、5列给出了代数情形

从线性方程组解的情况分为

解数有无穷多解

唯一解 和无解的情况

其中无穷多解就对应了

三条直线重合的情况

此时的等价的代数条件就是

A的秩等于A-bar的秩等于1

而有唯一解的情形就对应了

A的秩等于A-bar的秩

等于2的情形

它们又分为两种子情形

分别是情形②和情形③

为了区别情形②和情形③

实际上我们通过α的关系

也就是斜率的关系就可以给出

其中 情形③是

三条斜率两两不同

其中就对应了αi两两线性无关

而情形②是有两条斜率相同

因此它就对应了αi当中

有两个是线性相关的

由于A的秩等于A-bar的秩

因此αi的关系实质上

等价于βi的线性关系

后四种情形均对应了

线性方程组无解的情况

那么我们又分为两种情况

一种是A的秩等于1

而A-bar的秩等于2的情况

另一种(情况)是A的秩等于2

而A-bar的秩等于3的情况

分别又分为两种

我们将斜率与截距的关系转化为

行向量αi以及

行向量βi之间的线性关系

给出了更准确的描述

下面请大家思考这样的一个问题

对于平面上m条过原点的直线

它们有的是重合的

有的是不重合的

如果我们将重合的直线

视为一条的话

实际上平面只有m1条直线

这里m1

我们的问题就是

你能否给出此时等价的

代数条件是什么

这个问题我们留给大家

作课后思考

第三点 三位空间中

平面的位置关系

当未知数的个数n等于3的时候

它所对应的的行图

就是三维空间R3

此时对一个方程ax+by+cz=d

我们有如下的规定和结论

同前 所有为了使其几何上有意义

三个系数a b c不能同时为0

第二 系数向量(a,b,c)

对应了平面的法向量

记为n加一个箭头

法向量实际上

刻画了平面的方向

第三点

这个平面在

三个坐标轴上的截距

分别为a分之d b分之d c分之d

这里我们同样允许

这些比值为无穷

第四点 当d=0的时候

对应的平面必然过原点

而当d≠0时

相当于把刚才那个

过原点的平面

作平移后得到的平行平面

下面我们还是来考虑

一种简单情况

也就是三维空间中

两张平面的位置关系

从几何上看

在三维空间中两张平面

有如下三种位置关系

即平行 相交 和重合

平行的时候没有交点

相交的时候交集为一条直线

而重合的时候交集为一个平面

从平面的法向量来看

设两个平面的方程分别如下

记为π1和π2

因此平面πi的法向量就为

(ai,bi,ci)组成的三维向量

当π1与π2相交的时候

当且仅当两个法向量不平行

这又当且仅当

这里的三个比值不全相等

这又当且仅当

n1和n2是线性无关的

当π1与π2平行的时候

它当且仅当它们的法向量相同

但是某个截距不同

因此它等价于前三个比值相等

但是不等于第四个比值

当π1与π2重合的时候

它当且仅当

这四个比值全都相等

特别的对于上下两组等式

我们都取出前三项

这三项就表示了

n1与n2是平行的

而n1与n2平行又当且仅当

n1与n2是线性相关的

从代数上来看

设将两个平面方程联立后

所得到的线性方程组

是这个样子

并且将其系数矩阵设为A

增广系数矩阵记为A-bar

进一步

我们将A的两个行

记作α1和α2

将A-bar的两个行

记为β1和β2

于是在这里我们可以看到

α1和α2就分别等于

刚才的法向量n1和n2

因此从代数上来看

当A的秩等于

增广矩阵的秩的时候

方程组有解

那么又分为两种情况

这个秩等于2的时候

对应了两个法向量不平行

因此 对应的两个平面相交

而当秩等于1的时候

对应了两个法向量是相同的

因此对应了两张平面是重合的

而当A的秩不等于

A-bar的秩的时候

方程组无解

此时只可能是A的秩等于1

而A-bar的秩等于2

此时对应的几何图形

就是两个平行的平面

下面我们来讨论

空间中的三张平面的位置关系

从几何上看

分别有以下八种情形

其中 第一种情形是

三个平面交于一点的情形

而情形②和情形③是

三个平面交于一条直线的情形

情形④是三个平面重合

即三个平面交于一个平面的情形

情形⑤⑥⑦⑧均为

三个平面没有公共交集的情形

下面我们从代数上

来讨论这八种情形

设三个平面方程

分别为如下形式

其中ai bi ci di属于实数

并且呢每一组ai bi ci

均不同时为零

设此时三个平面

构成的线性方程组的

系数矩阵为A

增广系数矩阵为A-bar

同样像A的行

记为α1 α2和α3

而A-bar的行

记为β1 β2和β3

那么对于空间中

三张平面的上述八种位置关系

我们可逐一地给出

其等价的代数条件并且列为此表

这个表格的第一列

是八种几何情形

而表格的最后一列

是其等价的代数条件

几何情形简单直观

而等价的代数条件准确严谨

因此我们将几何与代数相结合

就把同一个问题的直观

与严谨的方面相结合

下面我们来看一个具体的例子

请大家判断

这三个平面的位置关系是怎样的

我们将其对应的

增广系数矩阵写出来

是这个样子的一个矩阵

经过初等行变换可以化为

阶梯型矩阵

于是我们发现A的秩

等于A-bar的秩均等于3

因此它对应了

三个平面交于一点的情形

也就是这样的情形

例2 请大家判断

这三个平面的位置关系

同样的方法

我们将增广系数矩阵列出

并且通过初等行变换

将其化为简化的阶梯型矩阵

此时A的秩等于A-bar的秩等于2

因此这三个平面是有交点

问题是这个焦点是

构成一条直线还是

构成一个平面呢

那么又因为增广系数矩阵的

三个行是两两线性无关的

因此它表示的几何图形

就是这样一个图形

三个平面交于一条直线

本节的最后我们来讨论

线性方程组的列图

以及系数矩阵的列空间

设非齐次线性方程组的

系数矩阵为A

其行数为m列数为n

并且将其按列分块表示为

α1,α2,...,αn 的形式

设方程组的常数向量为b

这是一个m维的列向量

则求解线性方程组

当且仅当求将常数向量b

表示为A的列向量αi的

线性组合的系数

而这个就相当于

在Rm这个空间当中的

线性方程组的列图

另一方面

我们在4.1节当中引入了

矩阵的列空间的概念

也即A的全体列向量

在m维向量空间当中

生成的子空间

我们记为Col(A)

因此线性方程组的列图

实际上就是在A的列空间当中

将常数向量b

具体地表示出来的问题

容易知道

当方程组无解的时候

就对应了常数向量b

不属于A的列空间

反过来

当线性方程组有解的时候

就对应了常数向量b

属于A的列空间

进一步 代数方面

当线性方程组有解

且解唯一的时候

它对应了A的秩等于

增广矩阵的秩等于列数n

在几何方面

当A列满秩的时候

我们知道n个列向量

α1,α2,...,αn是线性无关的

也即这一组向量

构成了列空间的一组基

当常数向量b

属于这个空间的时候

于是b就可以表示为

这组基的线性组合

从而 根据向量组线性关系

当中的临界关系我们知道

向量b可以由α1...,αn

唯一地线性表出

也即线性方程组的解是唯一的

于是 我们就从几何的角度解释了

方程组有唯一解的原因

那么代数方面

当线性方程组

有无穷多组解的时候

它的几何解释又是怎样的呢

下面我们来具体讨论一下

在代数方面

当线性方程组

有无穷多组解的时候

在几何方面

此时我们知道A不是列满秩的

它对应了A的列向量

α1...,αn是线性相关的

假设A的秩等于r

于是我们就可以通过初等行变换

将A化为阶梯型矩阵的方法

求出A的列向量的

一个极大无关组

也即主元素所对应的列

就是极大无关组

不妨设这前r个向量

α1,α2,...,αr

就是这个极大无关组

当常数向量b属于列空间的时候

有前面的讨论我们可以知道

b可以唯一地

被极大无关组线性表出

而这个线性表示就对应了

方程组的一个特解

另一方面 原向量组的其他向量

也就是α(r+1)一直到αn

同样可以由极大无关组线性表出

根据我们之前介绍过的方法

这个表出的系数就正好是

简化阶梯型矩阵中

非主元素所在列的前r个分量

如果将这组系数取负号

再来做线性组合的话

它就相当于把列空间当中

其他向量都给化零了

而这又对应了

非齐次线性方程组通解当中

导出组基础解系的那一部分

因此我们从列空间

以及列图的角度

给出了线性方程组

有无穷多组解的几何解释

本讲小结

在本讲当中

我们讨论了

线性方程组的几何意义

其中我们介绍了

线性方程组的行图与列图

而行图就对应了

线性方程组的

普通形式的几何意义

它的每一个方程对应了

一个几何图形

那么整个方程组的解就对应了

上述几何图形的公共交点

而列图就对应了

线性方程组的向量形式

它表示在几何中将常数向量

表示为列向量的线性组合的形式

进一步

我们在二维平面

和三维空间当中

具体地讨论了

线性方程组的行图

给出了各种几何图形

所对应的等价代数条件

最后我们用线性方程组的列图

以及系数矩阵的列空间

给出了非齐次线性方程组的

解的情况的几何解释

几何图形 直观简单

而代数推导 准确 严谨

同学们在学习

线性代数的过程当中

要不断地将几何与代数

相结合来进行讨论

一方面对代数推导

我们需要作出其几何图形

另一方面对于几何图形

来增加形象性以及我们的理解

我们又要能给出

其准确且严谨的代数推导

而这两方面

正是我们线性代数

这门大戏当中的两条主线

好 我们本节当中的内容

就到这儿

我们下节 再见