6-1 向量空间中的内积与度量在线视频

同学们 大家好

欢迎来到MOOC课程

线性代数先修课

第六章 内积空间

6.1节 向量空间中的内积与度量

在本讲当中

我们将把2维 3维空间中的向量

的长度与夹角等度量概念

推广到一般的n维线性空间中

为此 我们将首先回顾

3维空间中向量的基本几何概念

以及3维空间中向量的长度

夹角与内积等概念及其性质

接着 只保留最基本的性质

和代数形式的前提下

我们把内积和度量的概念推广到

一般的n维空间中

我们在几何学 物理学等学科当中

有以下两类对象

一类 就是只有大小的量

比如面积 温度 时间等

对于这些量

我们把它叫做数量

而有另外一类量

是既有大小又有方向的量

比如 像速度 力 位移等

对于这些量

我们把它称为向量

因此 向量的特征

就是既有大小又有方向

对于向量的表示

我们一方面有几何的表示

即用有向线段

在这里我们假设A为向量的起点

而B为向量的终点

于是我们就以起点到终点

连接一条有向的线段

来表示这个向量

另一方面

我们还可以用代数的方式

来表示这个向量

也就是

用它的坐标

三维向量(x y z)

来表示这个向量

对于向量的表示符号

我们通常用一个字母

加上一个箭头的形式来表示

比如这里的α就等于有向线段AB

符号上 我们在向量的两侧

加上两条竖线

大家需要注意的是

这里的两条竖线

并不是绝对值的意思

而是向量的模长

而向量的模长是一个实数

对于两个向量相等

我们有这样的一个等价判则

也就是向量α等于向量β

当且仅当α与β的大小相等

而且方向相同

换言之 也就是把α和β

均通过平移

把它们的起点

均平移到原点

则两个向量完全重合

这里的向量与起点无关

也就是我们所谓的平移等价性

下面我们介绍几种特殊的向量

第一种 我们称为反向量

也就是α的反向量

就是那个大小与α相等

但是方向与α相反的向量

我们把它记为-α

而长度为零的向量

我们把它叫为零向量

把它记为0 上面加一个箭头

零向量的起点与终点重合

所以我们认为它的方向是任意的

第三类 我们叫做单位向量

也就是长度等于1的向量

我们把它称为单位向量

通常我们用小e

在上面加一个箭头

来表示单位向量

下面我们提出几个问题

第一个问题是

单位向量是唯一的吗

零向量是唯一的吗

好 我们的回答是

单位向量并不是唯一的

只需要它的模长等于1

它就是一个单位向量

但是零向量是唯一的

第二个问题是

如果把所有单位向量的起点

都放在一起

终点构成一个什么样的几何图形

请大家想象一下

那么我们的回答是

它在3维空间当中

就构成了一个单位球面

问题3 向量可以比较大小吗

我们的回答是

向量本身并不能比较大小

但是向量的长度

也就是向量的模长

是可以比较大小的

下面我们对向量的加法

给出其几何解释

向量的加法

源于物理学当中

两个有方向的量的合成

那么 我们按照如下的几何法则

来定义向量的加法

假设有一个向量α

以及另外一个向量β

那么我们将两个向量的起点

平移到相同的位置

于是 以α和β为相邻边的

构成的平行四边形

它们的这条对角线

就是α加β

对于这样的原则

我们把它记为平行四边形法则

利用向量的平移不变性

我们也可以把平行四边形法则

简化成为这样的

一个三角形法则

假设我们有这样一个向量α

那么我们从α的终点出发

引出向量β

再把α的起点和β的终点

连接起来

得到的向量就称为α加β

由于这三个向量

恰好构成了一个三角形

所以我们把这样的方法

简称为三角形法则

也就是α加β

等价于把α和β首尾相连

构成的一条路径

我们也可以换一种观点

假设上述三角形的三个顶点为ABC

我们也可以在某一个向量当中

增加中间点

从而把向量拆分为

两个向量之和

用殊途同归的思想

来解释向量的加法

也就是

我们有一个有向线段AB

那么在A和B中间

加入一个中间点C

把它拆分成向量AC

加上向量CB

那么它们的和

就等于向量AB

进一步 我们用几何的方法

来解释向量加法的运算律

我们知道

向量的加法满足交换律

用几何来解释就是

向量α加β就是把

α和β首尾相连

于是根据三角形法则

黄色的这个向量

就是α加β

而另外一方面

我们把β和α首尾相连

构成的三角形

它的另外一条边

就是对应了β加α

那么在同一个

平行四边形当中来看

这两条边就是重合的

因此我们在几何上

就证明了α加β

就等于β加α

向量加法的另外一个运算律

我们称为结合律

也就是对于三个向量

前两个向量先相加

再与第三个量相加

那么它等于

把后两个向量先相加

之后再和第一个向量相加

首先我们先计算α加β

就是把α和β首尾相连

这样 绿色的这个线段

就是α加β

那么再从α加β的终点

引出第三条向量γ

再把它们连起来

这条黄色的线段

就是α加β之后再加γ

另外一方面

我们把β和γ首尾相连

得到的粉色的这条线段

就是β加γ

于是再把它和α首尾相连

我们就可以发现

它依然是黄色的这条线段

因此我们在几何上

也证明了向量的结合律

对于多个向量相加

我们可以用这样的折线法则

来对它进行解释

也就是第一个向量α

从它的终点出发

引出第二个向量β

再从它的终点出发

引出第三个向量γ

以此类推

直到最后

我们引出一个向量δ

于是我们再把

第一个向量的起点

和最后一个向量的终点相连

得到的这个向量

就是之前所有的向量依次相加

从这里我们可以看到

我们为什么要引入

向量的平移等价性

原因就在于

在不计起点的情况下

我们可以把这些向量

平移到首尾相连

这样就可以更好的来解释

我们向量的加法

下面我们来解释一下向量的减法

对于向量α减去β

实际上它等于

向量α加上β的反向量

在几何上看

如果我们的α和β

分别是这样的两个向量

如果我们把β

移到等式的另一边

就可以得到这样的一个加法算式

也就是α减β这个向量

再加上β这个向量

最后等于α

那么根据向量加法的意义

也就是说我们从β出发

经过这样一条黄色的线段

我们就从α的起点

走到了α的终点

所以它们的差向量

就是β和α的终点相连

得到的线段

那么 差向量的终点就与

被减向量的终点相同

对于向量的数乘

也就是α的k倍

当k大于0时

k倍的α就表示一个

与α同向的伸缩向量

假设α是这样的一个红色向量

那么k倍的α

就是与α的起点相同

但是经过一定伸缩的向量

当k小于0的时候

k倍的α就表示

与α反向的伸缩向量

在图线上看

假设红色的线段是α

从α的起点的反向

我们就可以得到黄色的线段

就是k倍的α

二 3维空间中向量的度量与内积

在上一章当中

我们利用向量组的线性关系

给出了直线或者是

平面之间的位置关系的

等价代数条件

然而这样的等价代数条件

并不能决定几何对象的度量关系

比如说 这样的两组直线

它们都是平行的

然而第一组直线

它们的距离比较大

而第二组直线

它们的距离相对比较小

又比如 这样的两组直线

都是相交的直线

但是它们之间的夹角是不一样的

第一组直线它们相互垂直

而第二组直线它们并不垂直

那么什么是向量的度量关系呢

首先 对于一个向量来说

其度量就是它的大小

也即它的模长

也就是这样的一个符号

如何决定

如果我们给定了α的坐标

为(x1 x2 x3)

我们用这样的一个三维列向量

来表示它的坐标

于是它的模长就等于

它的三个坐标的平方和再开根

而对于两个向量α和β来说

它们的度量除了模长之外

如果我们将它们使其起点重合

则它们的正向之间

不大于π的那个角

我们就称为向量α与β

之间的夹角

我们用这样的符号来表示

两个向量之间的夹角

在图形上看

如果红色的线段为α

蓝色的线段为β

于是α和β的

正向之间的夹角

就是黄色弧线标记的

这样一个夹角

我们把它记为θ

对于向量的夹角

由于它是落在0和π之间的

一个角度

所以决定θ就等价于

去决定它的余弦值cosθ

而当它们之间的夹角θ

等于0或者是π的时候

我们就成α与β是平行的

并用这样的符号来表示

两个向量平行

当θ等于2分之π

也就是90度的时候

我们称向量α与β是正交的

我们用这样的符号来表示

两个向量为正交的

由于通过模长和夹角

可以推出面积

进一步又可以推出体积

所以在向量空间当中

向量的模长和夹角

就是两个最基本的度量概念

由刚才的讨论

如果我们知道了

向量的坐标的话

模长的平方就可以用

坐标分量的平方和来计算

那么 两个向量的夹角又应该

如何计算呢

为了解决这个问题

我们首先先来讨论

如下的一个实际问题

我们考虑物理学当中

力做功的问题

假设一个光滑的平面上

有一个物体

这个物体在力F的

作用下有了位移s

请问这个F所做的功是多少

那么根据物理学的知识

我们很容易算出

这个力F所做的功

就等于力F的大小

乘以位移s的大小

再乘以它们之间夹角的余弦值

于是我们就借助功的表达式

去定义向量F与向量s的

点乘或者是内积是这样的一个式子

在这个定义式当中

两个向量的内积

是由它们各自的长度以及

它们之间的夹角来决定的

如果我们首先先去计算

F的大小乘以cosθ

于是F的大小乘以cosθ

就等于图像当中与s平行的

这样一条黄色线段的长度

这样的思想我们把它称为

正交投影的思想

利用正交投影

我们可以简化内积的计算

我们对内积做一个说明

对于上述定义的向量的内积

也就是向量的点乘

它的计算结果是一个数

我们也把它记为圆括号αβ

它有以下的几条性质

第一条我们称为正定性

也就是一个向量自己和自己做点乘

等于这个向量的模长的平方

由于模长是一个实数

所以模长的平方一定是

大于等于0的

并且等号成立当且仅当

向量α为零向量

第二条我们称为对称性

也就是α与β的做点乘

等于β与α做点乘

第三个我们称为保持数乘

也就是对于做内积的

任何一个向量

它的数乘可以整体的提到

内积的外面

第四条我们称为分配律

也就是对于α加β

再和γ去做内积

它等于α和β分别和γ

去做内积之后再求和

对于向量内积的性质

我们做如下的说明

如果我们固定内积的第二个向量

由性质3和性质4

我们可以知道

内积运算保持

第一个分量的线性运算

再有性质2对称性

我们可以知道

内积运算同时也保持

第二分量的线性运算

因此我们说内积具有

逐位线性的性质

由于内积运算有两个向量参与

因此我们把这样的性质

也称为双线性性质

下面我们给出这些性质的证明

性质123的证明都非常简单

我们留作习题

请大家课后自行补上证明

在这里我们只给出性质4

也就是分配律的证明

首先 当γ等于零向量的时候

等式两边的计算结果均为0

于是结论显然成立

下面设γ不为零向量

我们用这样的一个

图形来进行解释

我们假设α为线段OA

而β为线段AB

而γ为线段OC

于是把α和β首尾相连

得到的线段就是α加β

也就是在这个图形当中

就是线段OB

为了计算内积

我们首先先把点A和点B

分别沿着OC的方向

做一条垂线

垂足分别为P和Q

另外我们把OC平移到

经过点A得到的线段记为线段AT

于是很容易知道

α加β再和γ去做内积

等于把α加β做一个正交投影

之后得到的线段

也就是线段OQ

和γ去做内积

同样的道理

α和γ去做内积就等于

α往γ方向做正交投影

所得到的投影线段OP

与γ去做内积

那么β和γ做内积

就等于AT和γ做内积

再把AT平移到OC上

就相当于PQ和γ去做内积

由于OP与OQ平行于γ

所以我们可以设

OP等于a倍的γ

而PQ等于b倍的γ

其中a b为实数

从而我们把这两个式子代进去

就可以知道α和γ做内积

等于a倍的γ和γ做内积

于是利用内积保线性

我们可以把这个a提出来

那么γ和γ做内积

就等于γ的模长的平方

同理β和γ做内积

就等于b倍的γ的模长平方

而α加β再和γ去做内积

就等于OQ和γ做内积

于是再把OP等于a倍的γ和

PQ等于b倍的γ代到这个式子里

进行计算以后

它就等于a加b倍的

γ和γ去做内积

把a加b作为数乘提出来以后

它就等于a加b倍的

γ的模长的平方

这个时候所有参与运算的量

全都变成了数量

于是我们可以根据

γ的模长的平方乘到括号里边

于是它就等于a倍的γ的模长平方

加上b倍的γ的模长的平方

再把上面两个式子代进来

我们就知道它等于

α和γ做内积再加上

β和γ做内积

于是我们就证明了

内积运算的分配律

接下来我们来研究如何

用向量的坐标来计算α与β内积

由于自然基e1 e2和e3构成了

三维空间当中的一组直角坐标系

于是如果α的坐标为x1 x2和x3

于是α就可以表示为

自然基的线性组合

其组合系数就是

它的每个坐标分量

同样的道理

β也可以表示为自然基的线性组合

组合系数就是它的坐标分量

由自然基的正交性

以及内积的定义

我们可以知道

自然基当中的基向量

相互之间做内积

就只可能等于1或0

也就是当i等于j的时候

ei和ej的内积就等于ei的模长

就等于1

而当i不等于j的时候

ei与ej正交

那么我们知道

它们的内积等于0

利用内积的性质

我们可以把上述等式

代到α与β的内积当中

得到这样的一个式子

再利用内积性质的分配律

以及保数乘的性质

我们可以把它展开为以下的9项

对于这9项当中

当下标相等的时候

也就是黄色线段标记的这三项

它们的计算结果等于1

而当i不等于j的时候

也就是黄色方框标记的这六项

它们的计算结果统统为0

于是整个计算结果就等于

这样的三项相加

如果我们把α和β看成

两个列向量的话

于是这个计算结果就等于

α的转置再乘以β

那么经过这样的计算

我们对于任意两个向量的内积

把它转化成为对应分量

相乘再相加的一个计算结果

并且利用矩阵乘法的观点

把向量内积表示成为

一个行向量乘以列向量的形式

从而我们就用向量的坐标

计算出了向量的内积

此前我们根据做功的物理量

定义了向量的内积

在定义式当中

我们用到了向量的长度和夹角

进而 我们用内积的性质和

直角坐标系给出了

内积用其分量表示的代数表达式

但反过来 如果我们有了内积

我们就可以用它来

表示向量的长度

进而表示向量的夹角

具体如下

假设α和β是这样的

两个三维列向量

它们的夹角记为θ

首先一个向量的长度

它等于自己和自己

做内积之后再开根

它又等于它的坐标分量的

平方和再开根

其次我们可以用内积

来求向量的夹角

也就是cosθ等于α和β做内积

再除以α和β各自的模长

把分量代进去

就得到了这样的式子

有了夹角之后

我们就可以用内积来表示正交

也就是当α与β垂直

当且仅当它们之间的夹角为2分之π

那么当且仅当它们之间的内积等于0

类似的 我们可以用内积来表示

两个向量平行

也就是α与β平行

当且仅当它们之间的夹角

等于0或者是π

这又当且仅当它们内积的绝对值

等于它们模长相乘

三 n维空间中的内积与欧氏空间

下面我们把度量的概念推广到

一般的n维空间Rn当中

由于在高维空间中

几何图形很难想象

所以我们从代数的方面进行推广

首先我们来考虑n维空间当中的内积

定义1 设α和β为n维空间

当中的两个列向量

它们的坐标分别为

(x1 x2…xn)以及(y1 y2…yn)

于是我们定义α和β做点乘

等于它们的对应坐标相乘

再相加得到的结果

把这个计算结果称为

α与β的点乘

或者是α与β的标准内积

与3维空间一样

我们可以验证

上述定义的n维空间当中的标准内积

也满足正定性 对称性以及

双线性等性质

进一步 我们还可以利用这些性质

定义更一般的内积的概念

定义2 若Rn中任意两个向量α和β

均唯一地对应一个实数

我们把它记为圆括号αβ

也就是满足以下

一 正定性

二 对称性

三 固定第二位

第一位保持数乘

四 固定第二位

第一位保持加法

也就是第一位具有分配律

如果满足以上四条性质

我们就把这个圆括号αβ

称为向量α与β的内积

并且把定义了内积的

n维向量空间Rn

称为n维欧几里得空间

简称欧氏空间

对定义2

我们做如下的说明

首先 定义1中给出的标准内积

实际上是定义2当中给出的

内积的一种特殊情况

其次 内积是两个向量的运算

其运算结果为一个实数

此外 与3维空间当中的内积相似

定义2当中的性质234合起来

说明这个内积是满足

双线性的性质

下面我们来看一个

非标准内积的具体的例子

我们设在n维空间Rn当中

对于两个向量α和β

如果我们规定

圆括号αβ等于

这样的一个计算结果

那么我们可以验证

这样定义的一个符号

满足定义2当中的性质1到性质4

所以这是一个内积

并且它并不是一个标准内积

于是向量空间Rn对于上述内积

也构成了一个欧氏空间

需要注意的是

例一当中定义的内积

与标准内积是两种不同的内积

于是Rn对于这两种不同的内积

就构成了两个不同的欧氏空间

此外Rn当中还可以定义

很多的非标准内积

但是今后如果没有特殊说明

我们均默认

Rn当中的内积是标准内积

四 n维向量空间中的度量

类似于3维空间

在n维空间Rn当中

当我们定义了内积的概念之后

我们就可以用它来表示

向量的长度 夹角等

基本的度量概念

首先我们用内积的正定性质

可以引入n维空间当中

向量的长度的概念

也就是下面的定义3

对于n维空间的任意向量α

其长度 也就是它的模长

我们是这样定义的

即它的自己和自己做内积之后

再开平方

对于定义3

我们做如下的说明

首先 如果这个内积是

标准内积的话

则它的模长就等于它的分量的

平方和再开根

这个结果是3维空间当中

向量模长的自然的推广

其次对于向量的数乘

k倍α再取模长

根据定义式之后计算结果

等于k的绝对值再乘以α的模长

于是对于空间当中的任意向量α

我们可以这样的去定义一个α0

很容易验证

这个α0就是与α

同方向的单位向量

下面我们要在Rn当中

推广向量夹角的概念

但是为了做到这一点

我们必须先证明下面

这个著名的不等式

也就是这个定理

我们称为柯西-施瓦兹不等式

它的结论是这样的

也就是Rn当中的内积

一定满足以下的这个不等式

也就是向量α与β的内积的平方

一定小于等于α模长的平方

再乘以β模长的平方

其中上式等号成立

当且仅当α与β是线性相关的

下面我们来证明这个不等式

我们分两种情况讨论

首先我们先考虑

α与β线性无关的情况

此时对于任意实数x

均有x倍的α加上β

不等于零向量

于是对于这个向量

它的模长的平方就不等于0

那就严格的大于0

再利用内积的性质

把它展开成为这样的三项

那么将上面的这个式子

看成一个关于x的二次函数

由于它严格的大于0

具体的计算其判别式小于0

就可以得到

α与β的内积的平方

严格的小于α和β

各自的模长的平方

第二种情况

我们来看α与β

线性相关的情况

如果α和β当中有一个为零向量

则不等式两边计算结果均为0

则结论显然成立

下面我们不妨设β

可以表示为k倍的α

于是我们把它代到不等式的左边

进一步我们利用内积的性质

我们可以把这个k倍提出来

之后得到一个k平方项

进一步又可以把它展开写成

α与α自己的内积再乘以

k倍α和k倍α自己的内积

最后再把k倍α等于β代回来

于是就等于不等式的右边

从而我们就证明了

α和β线性相关的时候等号成立

进而我们就完成了定理的证明

那么根据柯西-施瓦兹不等式

对于任何非零向量α与β

总有向量内积除以

各自的模长相乘

是落在-1和1之间的

于是我们可以给出如下的定义4

即对于Rn当中的

任意两个向量α与β

我们去定义它的夹角的余弦

等于这个结果

于是利用反三角函数

我们就可以求出

它们之间对应的夹角

由定义4 我们可以进一步给出

欧氏空间Rn当中正交

和平行的概念

也就是 如果α和β的内积等于0

则称α与β是正交的或者是垂直的

如果α与β的内积的绝对值等于

它们各自模长的乘积

则我们称α与β是平行的

于是我们用内积又定义了

正交和平行的概念

由上述定义我们可以知道

在欧氏空间Rn当中

零向量与任意向量

均是正交的 也均是平行的

下面我们来看一个例子

设4维空间当中

三个向量αβγ分别如下给定

请求出与这三个向量

均正交的向量

首先我们对例2进行分析

由于这里提到了正交

于是它一定有内积

但是题目并没有说明

是什么样的内积

于是 根据没有说明则

默认为是标准内积的原则

我们可以展开计算

具体的求解是这样的

假设与这三个向量

都正交的向量为x

则把标准内积代入之后

x1 x2 x3 x4一定满足

这样的三个条件

而这就是我们熟悉的

齐次线性方程组

于是 我们用高斯消元法

即可就解这个线性方程组

经过初等行变换之后

我们可以根据主元的位置

知道它有三个主变量

和一个自由变量

这个自由变量就是x3

于是我们把自由变量设为1

而主变量就代为第3列上的

元素的负号

于是我们就可以求出

这个方程组的通解是这样的

其中k为任意实数

如果我们将例2的结果一般化

就可以得到齐次线性方程组的

另一种几何意义

具体来说

假设齐次线性方程组

有n个未知数m个方程

我们令A是它的系数矩阵

而X是其解向量

则X可以看作是欧氏空间Rn中

与系数矩阵A的每一个行向量

都正交的向量

将向量的正交概念扩展到集合

我们就可以得到这样的结论

也就是 A的列空间和A的解空间

是两个相互正交的集合

这里的两个集合的正交

就表示各自集合当中的

任意向量均正交

那么关于一个矩阵的

列空间行空间解空间的

进一步关系

我们将在下面的课程

当中详细讨论

本讲小结

在本讲中

我们首先回顾了

3维空间中的基本几何概念

包括空间向量的平移不变性

加法的平行四边形法则等

接下来

我们根据做功的物理量

引入了向量内积的概念

其定义依赖于

向量的模长与夹角

但是当我们用性质给出

内积的代数表达式后

就可以反过来用内积

表示向量的模长

向量之间的夹角

向量的正交或平行等度量关系

基于此 我们把内积的概念

推广到了n维向量空间中

定义了欧氏空间的概念

并用内积给出了n维空间中

度量的关系

需要强调的是

定义一般内积的时候

我们只保留了

最基本的四条性质

满足条件的内积有很多

而标准内积只是其中的一种

如无特别说明

我们都默认

欧氏空间的内积是标准内积

本讲的内容就到这儿

我们下讲再见