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线性代数先修课
第四章 向量空间
4.6节 矩阵的秩
在本讲当中
我们将首先介绍
矩阵的k阶子式的概念
进而利用k阶子式
我们引入了矩阵的秩的定义
接下来我们会介绍
矩阵的秩的计算方法
最后我们将
把关于矩阵的三组秩
即矩阵的秩
矩阵的行秩与列秩统一起来
好 我们首先先来回顾一下
上一讲当中留下的一个问题
也就是对同一个矩阵来说
它行秩等于列秩
是不是总是成立
首先 如果以上结论成立
则说明矩阵的行向量组
与列向量组之间
存在某种相同的本质
换言之 说明矩阵的行
与列之间存在某种意义的等价性
那么这种给了我们启发
我们过去学过的什么对象
是具有行列等价性的呢
对 是行列式
那么我们进一步分析
就知道行列式只能对方阵定义
但是对于一般的矩阵
可否也引入行列式的概念呢
我们的回答是肯定的
这几个解决方案是这样的
我们在一般的m乘n型的
矩阵A当中可以取出行数和
列数相同的k阶子方阵
对于这个k阶子方阵
我们即可计算其行列式
其中 这个k我们要求
它小于等于矩阵的行数m
也小于等于矩阵的列数n
从而它就要小于等于
m和n的最小数
下面
我们来引入矩阵的k阶子式
设k是1到m和n的
最小数之间的一个整数
那么 在一个m乘n型的矩阵A当中
任意取出k行k列
将位于这些行列交叉处的
k方个元素
按原次序组成的k阶行列式
我们就称为矩阵A的一个k阶子式
具体地说
设所取出的行数为第i_1行,
第i_2行,...,一直到第i_k行
并且满足1小于等于
i_1小于等于i_2,...,
又小于等于i_k小于等于m
设所取出的列数为
第j_1,j_2,...,一直到j_k列
并且满足1小于等于j_1
小于等于j_2,...一直小于等于j_k
又小于等于n
我们将上述k行k列上的元素
组成的A的子矩阵
记为这样的符号
其中脚标当中的第一行
表示所取出的行的指标数
而第二行表示所取出的
列的指标数
那么将对应的这个k阶子式
就记为这样的符号
我们对k阶子式作如下说明
第一 定义当中从A的行中
与列中取出k行k列
那么我们也可以反过来
把它理解为把某些行与列划去之后
剩下的A的k阶子方阵的行列式
第二
我们很容易计算出
A中k阶子数的总个数
是等于以下两个组合数相乘
它表示从m行当中取出k行的个数
再乘以从n列当中取出k列的个数
下面我们来看一个例子
例1 设A是这样的一个三行四列的矩阵
于是A就有3乘以4等于12个1阶子式
当然这也就是每个分量上的元素a_{ij}
那么对于2阶子式
我们容易计算出它一共有18个
例如 当我们取第1行第2行
以及第1列第2列组成的2阶子式
就是黄色方框当中A的左上角
这样一个二阶子式
对它的计算结果等于2
当然还有剩下17个
请同学们自行在课下练习
对于A的三阶子式
我们一定要取遍1,2,3行
然后从A的四列当中
任取其中三列就等价于
把其中一列给划掉
那么这样的话一共有
四个三阶子式如下
当我们取前三列的时候
得到了这样的一个三阶子式
当我们取1,2,4列的时候
也就等价于把第三列划掉
是这样子一个子式
当我们取1,3,4列的时候
就等价于把第二列划掉
当我们取2,3,4列的时候
它又等价于把第一列划掉
这样的四个三阶子式
由于在上述四个三阶子式当中
我们均有第三行等于前两行之和
因此我们很容易知道
这四个行列式都等于0
有了k阶子式的概念
下面我们来给出矩阵的秩的定义
首先 对于A的k阶子式
有这样的性质
若A的所有k阶子式均为0
则一定可以推出A的
所有k+1阶子式也均为0
这个性质可以把A的k+1阶子式
按某一行或者某一列展开成
k阶子式的组合式
那么就可以说明这个结论
基于以上的性质
我们可以给出如下的定义2
矩阵A中非零子式的最高阶数
我们把它称为A的秩
或者称为A的行列式秩
也记为r(A)
由矩阵的秩的定义
我们很容易知道
它具有以下的性质
如果A是一个m乘n型的矩阵
则矩阵A的秩大于等于0
小于等于m和n的最小数
第二
我们已经给出如下的等价定义
也就是若矩阵A的秩等于r
则当且仅当A中存在r阶非零子式
并且所有的r+1阶子式均为零
第三
根据行列式的行列等价性
那么k阶子式转置后的
行列式依然和原来的k阶子式相等
所以很容易知道A的转置的秩
等于A的秩
下面 我们还是来看刚才的例1
对于这样的一个三行四列的矩阵
由于刚才我们已经讨论过
它所有的三阶子式均为零
也就是这四个三阶子式均为零
并且A又存在一个非零的二阶子式
例如我们取左上角这个二阶子式
很容易计算它的值
等于2而不等于0
所以根据矩阵秩的定义
我们就知道这个A的秩等于2
另一方面我们也可以来考察
A的所有行向量
由于A的第三行等于
第一行加上第二行
而第一行与第二行明显地不成比例
所以我们就知道A的行秩等于2
对于A的列向量组
我们很容易发现A的第一列
等于第三列加上第四列
第二列等于第三列减去第四列
而第三列和第四列
明显地不成比例
所以第三列和第四列就是A的
列向量组的极大无关组
因此A的列秩也等于2
那么对于这个例子
我们可以看到A的秩
行秩和列秩都等于2
因此 我们提出这样的一个问题
对于一般的矩阵
是不是也有这样的结论
也就是行列式秩等于
行秩等于列秩
如果这个等式成立
那么它们之间有什么样的
内在联系呢?
下面我们再来看一个例子
对于这样的一个阶梯型
矩阵B我们来求矩阵B的秩
一方面B的任意r+1阶子式
均会包含一个全零的行
那么根据行列式的性质
我们就知道它所有的
r+1阶子式都要等于零
另一方面 如果我们取
这个矩阵B的前r行和前r列
组成一个r阶子式
也就是黄色方框里的这个行列式
这是一个三角行列式
并且由于阶梯型矩阵
主元素b_{ii}不等于零
因此 这个黄框当中的r阶子式非零
那么根据矩阵秩的定义
我们就知道这个阶梯型矩阵的秩
就等于r也就是它的非零行数
也就是它的主元素个数
三 矩阵秩的计算
对于一般的矩阵A来说
为了确定矩阵A的秩等于r
我们需要去验证
这么多个r+1阶子式均为零
当r很大的时候计算量相当大
所以用定义去计算矩阵秩的方法
只适用于低阶情形或者是特殊情况
那么 是否有更有效的
计算矩阵秩的方法呢?
那么 我们来回顾一下
由上述例2我们知道
阶梯型矩阵的秩比较容易计算
而任意矩阵通过初等行变换
总可以化为阶梯型矩阵
这就给了我们一些启示
也就是是否可以用初等行变换
或者是列变换的方法来求矩阵的秩
为此 我们首先先证明
这样的一个结论
也就是说初等行变换
不改变矩阵的秩
下面我们来证明这个结论
我们按三种初等行变换分别讨论
第一 数乘变换
也就是把第i行乘以k倍
其中数乘的系数k不等于0
由于k不等于0
我们很容易知道这不影响
矩阵中任何一个子式的非零性质
也就是原来不等于零的子式
在作倍乘之后依然不等于0
最多相差一个非零系数k
而原来等于零的子式依然等于0
第二
我们来考虑对换变换
也就是把第i行和第j行交换
那么对于所有的子式来说
或者不变或者相差一个正负号
因而对换不影响矩阵中
任何一个子式的非零性质
第三我们来看倍加变换
我们假设把第i行的k倍
加到第j行上
并且设原矩阵的秩等于r
那么A经过上述倍加变换之后
变成矩阵B
进一步设D为B中
任何一个r+1阶子式
接下来我们分为三种情况来讨论
第一种情况 若D不包含第j行
那么由于除了第j行以外
A的所有行和B的所有行是一样的
所以D也是A的r+1阶子式
所以D等于0
第二种情况
如果D同时包含了第i行和第j行
则由行列式的对加不变性
则我们可以知道
D与原来的A的子式是相等的
因此也有D等于0
第三种情况
若D包含第j行但是不包含第i行
在这里我们用黄色的线
把它的第j行画出来
则由行列式的拆项法则
我们可以知道D可以拆为
两个同阶的行列式之和
其中的第一个我们用
黄色标记出来的第一个
它就是A的r+1阶子式
而其中的第二个也就是
我们用红线所画的第二个
它是由A的某一个r+1阶子式
经过行的对换和倍乘所得到的
由于A的秩等于r
所以它们都等于0
进一步它们的和
也就是D也等于0
综合以上三种子情况
我们就知道经过倍加变换
所得到的矩阵B的秩
不会超过原来A的秩
所以我们就知道B的秩
小于等于A的秩
反过来
由于倍加变换的过程是可逆的
即矩阵B经过倍加变换以后
也可以变成A
同上我们就可以得到A的秩
又小于等于B的秩
那么综合以上两方面
我们就证明了A和B的秩是相等的
那么利用行列式的行列等价性
我们也可以证明
初等列变换不改变矩阵的秩
所以我们的定理1
可以统一地说为
初等变换不改变矩阵的秩
由定理1
我们可以得到如下的推论1
设A是一个m乘n型矩阵
而P和Q分别为
m阶和n阶的可逆矩阵
即左右乘以可逆阵
不改变原矩阵的秩
推论1就是把初等行变换的过程
用左乘初等阵的方式
来描述就得到了推论1
推论2 若A的秩等于r
则存在可逆矩阵P Q
使得PAQ等于这样的一个矩阵
换言之也就是
经过初等行、列变换以后
可以将A化成这样的一个矩阵
对于这样的一个矩阵
我们可以把它称为矩阵A的标准形
下面我们来简单地证明一下推论2
A经过初等行变换
一定可以化成简化的阶梯形矩阵C
那么又由A的秩等于r
所以我们知道阶梯形矩阵C当中
有r个非零行也就是有r个主元素
那么对C经过列的对换
我们可以把主元素全都换到
矩阵的最左边
于是就在左上角
得到一个r阶的单位阵
那么再经过列的倍加变换
可以将这个矩阵的右上角的
C1的部分化零
从而可以把它化成这样的标准形
那么由上述推论
我们又可以得到第三个推论
也就是如果A,B是同形的矩阵
那么A和B的秩相等当且仅当
我们存在可逆阵P,Q
使得P乘A再乘Q等于B
换言之
也就是同形矩阵A和B
如果秩相等则当且仅当
A经过初等行变换
和初等列变换之后
可以化成矩阵B
好 因此
由以上推导我们就知道
初等变换不改变矩阵的秩
所以我们可以用初等变换
可以把矩阵化为阶梯形矩阵
或者更进一步将其化成标准形
从而求出矩阵的秩
下面我们来看一下例子
例3 如果矩阵A是这样的
一个四乘四的含参的矩阵
若矩阵A的秩等于3
请求参数a和b的值
下面我们就用初等变换的方法
来求A的秩
我们对A作初等行 列变换
可以得到如下的结论
首先用初等行变换将
A的第一列的下方的元素化零
再进一步将这三个位置
用初等行变换化零
到这我们就把它化成一个
三角形矩阵
实际上已经可以通过
这个矩阵去求A的秩
以及参数a b的值
但是为了得到
更简化的矩阵
我们可以通过初等列变换
来得到这样的一个对角矩阵
或者是矩阵A的标准型
我们把它记为B
其中对这个位置
我们使用倍乘的方法
而对于这些位置
我们采用列的倍加变换
也就是把第一列的适当倍数
加上2 3 4列
进一步再把化简的第二列的
自然倍数加到第三列和
第四列上可以起到化零的效果
那么对于这个位置我们只需要
对第四行作一个倍加变换
就可以消掉它
因此就可以得到一个对角矩阵
那么利用初等变换不改变矩阵的秩
这个结论我们就知道
A和B的秩都等于3
因此就只有两种可能
一种就是a不等于1
而b等于2
另一种就是a等于1
而b不等于2 好
有了以上的理论准备
下面我们来回答
我们之前提出的问题
也就是同一种矩阵的三种秩
行列式秩
行秩和列秩是不是一定相等的
我们的定理2就是说
对于任何一个矩阵
它的秩等于行秩等于列秩
下面我们来证明这个结论
我们先证矩阵的秩等于列秩
假设A是一个m乘n型的矩阵
而A的秩等于r
并且我们对A按列进行分块
有如下的形式
将A的列记为
α_1,α2,...一直到α_n
这里的每个α
是一个m维的列向量
接下来我们用初等行变换
一定可以将A化成阶梯形矩阵B
那么由初等变换不改变矩阵的秩
我们就知道A的秩和
B的秩是相等的
从而阶梯形矩阵B
必然只有r个非零行
我们不妨假设B的主元素
就在前r列
也就是B有这样的形式
其中主元素b_{ii}不等于0
那么由极大无关组的求法
我们就知道主元素
所对应的列也就是
原来矩阵A的第一列
到第r列就是矩阵A的
列向量组的极大线性无关组
因此我们就知道
矩阵A的列秩也等于r
也就等于A的秩
把上述结论用于A的转置
我们就可以得到
A的转置的列秩
等于A的转置的秩
那么再利用矩阵秩的行列
等价性我们就知道
A的行秩就等于A的秩
综上我们就在理论上
证明了对于任何一个矩阵
它的三种秩必然是相等的
本讲小结
向量组的秩是反映向量组
内在本质的一个重要参量
把它用于考虑矩阵的行向量组
与列向量组就得到了
矩阵的行秩与列秩的概念
矩阵的行向量组与
列向量组是不同的
当我们试算了
若干例子发现总有行秩等于列秩
为了在理论上说明这一结论
我们引入了矩阵的k阶子式
进而引入了矩阵的行列式
秩的概念即非零子式最高阶数
或者所有的r+1阶子式为0
存在r阶子式非零
然而用定义去计算
矩阵的秩并不是有效率的方法
所以我们给出了利用初等变换化为
阶梯形矩阵进而求矩阵的秩的方法
最后我们在理论上证明了
矩阵的三种秩总是相等的
从而利用秩简洁明了地
给出了向量组 矩阵
行列式三个对象的本质的内在联系
好 本讲的内容就到这里
我们下讲 再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
