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同学们 大家好
欢迎来到MOOC课程
线性代数先修课
第四章 向量空间
4.1节
n维向量空间及其线性运算
在本节当中
我们将给大家介绍n维向量空间
那么首先
我们将要讨论这样一个问题
就是为什么我们要
研究n维向量空间
接下来我们将为大家介绍
n维向量及其线性运算
进一步我们将引入
n维向量空间及其子空间的概念
最后我们将介绍
向量之间的线性组合与线性表出
今天 我们来给大家介绍
n维线性空间及其线性运算
首先 来复习一下
二维平面与三维空间当中的
向量的概念
在几何方面
向量就是既有大小又有方向的量
那么在代数方面
在建立了坐标系之后
我们可以得到任何一个向量的坐标
于是 二维平面当中的向量
就对应了一个二元有序数组
那么 三维空间当中的向量
就对应了一个三元有序数组
用这样的一个图表
我们就可以得到
全体向量空间以及R^3
也就是全体有序数组之间的关系
他们之间在建立了
坐标系之后形成了一个一一对应
以此为基础
我们可以展开
平面解析几何与空间解析几何的讨论
这些都是中学数学课程
当中重要的内容
但是在大学数学课程当中
我们不仅局限于此
希望大家发散思维
将二维、三维的情况推广到四维、
五维以及一般的n维向量空间
问题是我们为什么
要做这样的推广呢？
如何推广呢？
首先
我们来做这样的一个思想实验
井底之蛙的故事我们都知道
当一只青蛙在井里待久了
就以为天空只有井口这么大
那么 我们把这个寓言故事稍做修改
一只生活在平面里的青蛙待久了
就以为世界只有平面这么大
那它不会知道还会有球体、
立方体、圆锥体
这样的立体事物的存在
以此看来
我们就是生活在
三维空间中的一群青蛙
如果不去发散思维
如果不去认识了解
四维、五维甚至更高维的空间
我们就会变得和平面之蛙一样浅薄
可是 真的有四维空间吗？
古希腊哲学家赫拉克利特曾经说过
“人不能两次踏进同一条河流”
这是一个充满思辨的哲学论题
那么 从数学角度来看
在加入了时间维度以后
如果我们用四维向量来解释
就能很容易理解他这句话
同样 爱因思坦的相对论
也是建立在加入了
时间维度的四维空间之上
那么 在实际问题当中
除了四维空间 人们有时
还需要更高维的数组以及向量
例如：人造卫星在运行中
在t时刻除了三维的位置参数以外
人们还需要知道
它的温度 压力等参数
于是 只用三元数组不足以表示这些量
我们采用六元数组
t，x，y，z，τ，p
来表示卫星的各个参数
因此 我们有必要把
二维 三维的向量
推广到n维也就是R^n
那么 如何推广到高维空间呢
我们还是来看这个图表
在建立了坐标系之后
任何一个向量
可以根据这样的一个表达式
表示成三元数组与基向量之间的关系
那么 从几何方面来看
我们很难在三维空间当中
画出高维空间之中的物体
那么 反而从代数方面来看
我们很容易地把二元有序数组
三元有序数组推广到n元有序数组
于是 我们就从代数方面这里入手
下面 我们就正式进入
本讲内容的学习
第一、n维向量及其运算
首先 我们给出定义
设R是实数集
n个数a_1, a_2,一直到a_n
属于实数
它们组成有序数组
我们用圆括号把它们括起来
称为n维向量
记作α等于a_1,a_2,…, a_n圆括号
或者α等于a_1, a_2,…, a_n
列向排列的圆括号
其中 a_i称为向量的第i个分量
前一个表示称为行向量
后一个表示称为列向量
一般用带箭头的希腊字母
表示为一个向量
且默认为列向量
如果向量的所有分量都是0
就称其为零向量
一般记作0
上面加一个小箭头
注意在手写体里
我们以加小箭头的方式表示向量
以示和其它的数做区别
那么在印刷体里边
也就是书本和讲义里边
我们用黑体来表示向量
一般的标准体表示一般的数
在介绍了上面的定义之后
我们来看一个例子
假设矩阵是这样的
一个三行四列的实矩阵
我们把它的行向量分别表示为
α_1, α_2和α_3
把它的列向量表示成β_1,β_2
β_3和β_4
于是 矩阵A有三个四维的行向量
有四个三维的列向量
下面我们来讨论
向量之间的简单关系
我们首先来定义
什么叫两个向量相等？
定义2 设有两个n维向量
α和β我们称
α与β是相等的向量
当且仅当它们对应分量全相等
即a_i等于b_i对所有的
i从1, 2,一直到n
简单地说
向量相等当且仅当
它的分量逐位相等
那么 我们再回过头来看
古希腊哲学家赫拉克利特
曾经说过的那个哲学命题
也就是人不能两次踏进
同一条河流
从两个向量相等的角度来看
若t_1不等于t_2 那么这两个向量
(t_1, x, y, z)和(t_2, x, y, z)
就一定是不相等的两个向量
于是 就是两个不同的河流
向量可以看作特殊的矩阵
为此 我们如下定义向量的线性运算
也就是向量的加法和数乘
使其保持与矩阵相应的运算一致性
定义3
设有两个n维向量分别是α和β
以及一个数k
则 我们定义α加β
就是其分量逐位相加
k数乘α就是
k逐位相乘α里的每个分量
而-α就表示-1和α的数乘
也就是逐位取负号
对任何n维向量α,
β,γ以及任意的实数k和l
向量的加法及数乘
满足以下的八条性质
我们来看一下
其中1至4条也就是
第一列表示了加法的性质
分别为交换律 结合律
零元以及负元 5到8条
也就是第二列表示了
向量数乘的性质
分别是单位数乘
数乘结合律以及两种分配律
第二点 我们来看n维向量空间
全体n维向量组成一个集合
并定义了加法和数乘
用整体的观点来看
我们可以引入如下定义
定义4 全体n维向量组成的集合
当定义了上述向量的加法
及数乘运算之后
就称为n维向量空间
记作R^n
我们做几点说明
第一
n维向量空间R^n不仅仅是一个集合
更重要的是在这个集合上
赋予了两种线性运算
也就是加法和数乘
并且很容易验证满足以上8条性质
第二点 对R^n的研究
重点是向量之间的关系
第三点
若干个向量组成的向量组
是主要的研究对象
为此我们需要引进一组
向量来产生新的向量的概念
集合有子集合的概念
类似地我们可以给出子空间的概念
定义5
设W是R^n中的非空子集合
满足以下两点
第一
对向量的加法是封闭的
也就是任何的α
β如果属于W
一定有α加β也属于W
第二点
对于向量的数乘运算是封闭的
也就是对于任何α属于W
以及对于任何实数k
有k和α做数乘依然是W里的元素
如果满足上述两条
我们就称W是R^n的一个子空间
下面我们还是来看一个例子
设V_1是第一个分量为实数
而后边的分量全为0的向量组成的集合
显然V_1是R^n当中的一个子集合
并且向量的加法和数乘对V1来说
都是封闭的
所以V_1是R^n中的子空间
另外一个简单的例子
我们来看由
零向量一个元素组成的集合
我们记作V_0
那么对于向量的加法
和数乘它依然是封闭的
所以 V_0是R^n当中的子空间
我们特别称它为零子空间
3 线性组合与线性表出
在几何空间R^3当中
当我们引入了直角坐标系
也就是三个坐标轴的单位向量
e_1, e_2以及e_3以后
任何一个向量α
都可以表示为以下的形式
下面我们就将这样的概念
推广到n维向量空间当中
定义4 设α_1
α_2, 到α_s是s个n维向量
k_1, k_2,到k_s是s个实数
我们称k_1数乘α_1
加上k_2数乘α_2加一直加到
k_s数乘α_s是向量组
α_1, α_2,到α_s的线性组合
换言之
如果对于给定的β而言
若存在一组数k_1, k_2, 到k_s
使得β等于
k_1数乘α_1加k_2数乘α_2
加一直加到
k_s数乘α_s
我们则称β是
α_1, α_2, 到α_s的一个线性组合
也称β可由
α_1, α_2, 到α_s线性表出
下面来看一个例子
例3 第1小题
若α_1, α_2和β如下给定
那么 我们可以验证
β可以唯一地由
α_1与α_2线性表出
表出形式如下
第2小题
若α_1, α_2, α_3
以及β如下给定
则我们可以推出
β可以有以下三个
或者是更多的表示形式
所以 β是
α_1,α_2和α_3的线性组合
并且线性表出的方式不是唯一的
第3小题
如果
α_1 ,α_2以及β如下给定
那么 由于α_1和α_2的
第二个分量都为0
所以 无论k_1和k_2怎么取
它们的线性组合始终不能够等于β
也就是说β不能够由
α_1与α_2线性表出
请大家思考这个问题
向量β何时可以被
向量组
α_1,α_2, 到α_s线性表出
如果可以表出
线性表出何时是唯一的
何时不是唯一的
再来看一个四维的例子
已知α_1, α_2, α_3
以及β是这样给定的
请问β能否由
α_1,α_2,α_3线性表出
如能线性表出 请写出表达式
解我们假设β可以由
α_1,α_2和α_3线性表出
并且表出系数为x_1, x_2和x_3
若x_1, x_2, x_3有解
则β能由
α_1, α_2, α_3线性表出
否则 不能将表达式用分量式写出来
就可以得到这样的
一个非齐次线性方程组
那么 解线性方程组的标准方法
就是用Gauss消元法
把系数矩阵这样一个4*4的矩阵
化成简化的阶梯型
就是这样的
一个矩阵因此由简化阶梯型
我们就可以解得x_1, x_2和x_3
等于如下的通解
因此β可以由
α_1, α_2, α_3线性表出
且表出方法有无穷多种
表达式为如下的公式好
下面我们对上面的例子
做一点说明
将一个向量β表示为
向量组α_1, α_2,
到α_s的线性组合
求线性组合的系数
实际上与解线性方程组的问题是等价的
具体来说
当对应的线性方程组无解时
β就不能被这个向量组
α_1,α_2, 到α_s线性表出
当对应线性方程组有唯一解时
β可以被
α_1,α_2到α_s唯一地线性表出
而当对应线性方程组有无穷多组解时
β可以被
α_1,α_2, 到α_s线性表出
并且表出方式不唯一
另一方面
线性组合可以用来构造子空间
我们假设
α_1,α_2, 到α_s是n维向量
则它们的全体线性组合构成的集合
我们把它记作
L(α_1,α_2,…,α_s)
那么 它具体对应的集合
就是全体它们的线性组合
也就是它们的组合系数
k_1,k_2, 到k_s跑遍全体实数
那么 这个子集合L是R^n的子集合
而且很容易验证
这个子集合当中的全体向量
对于加法和数乘的运算都是封闭的
故L这个子集合构成R^n的子空间
称为由
α_1,α_2, 到α_s生成的子空间
简称为生成子空间。
来看一个矩阵
如果我们给定m×n阶的矩阵A
和由A的全体列向量生成的子空间
称为A的列空间
这个列空间是R^m的一个子空间
由A的全体行向量生成的子空间
称为A的行空间
而这个行空间是R^n当中的一个子空间
下面 我们来对本讲做一个小节
之前我们说过
大学的数学课程是介绍元素、
集合、关系及结构的一门课程
那么 在本讲当中
我们介绍的元素就是n维向量
即n元有序数组
那么 我们介绍的集合
就是n维向量空间
我们介绍的关系
就是这个n维向量空间当中的
线性运算线性组合
那么 我们介绍的结构就是
这个n维向量空间当中的子空间
以及生成子空间
线性代数这门课程里
有两个核心的内容
一个就是线性方程组
另一个就是矩阵
那么 我们本讲所讲述的内容
和这两个核心内容有密切的关系
例如
矩阵的运算与向量的线性运算是一致的
再如 我们求线性组合的系数的时候
等价于去解对应的线性方程组
以及矩阵的行空间和列空间
也是我们本节介绍的子空间的概念
而这两个概念
将在后边的解题当中
有重要的作用
以上就是我们本讲的主要内容
请同学们在课下
进一步思考以下的问题
以帮助我们学习下一讲的内容
子空间 生成子空间的概念
我们都是由代数方式给出的
那么 他们有什么样的几何意义呢？
请大家思考在三维空间R^3中
一个向量生成的子空间
对应什么图形？
两个向量生成的子空间
对应什么图形？
三个向量生成的子空间
对应什么图形？
你的答案是否唯一？
如果不唯一
是什么原因造成的呢？
这正是我们下一讲要
讨论与分析的内容
即向量组的线性相关性
我们今天的课程就到这儿
再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
