4-1 n维向量空间在线视频

同学们 大家好

欢迎来到MOOC课程

线性代数先修课

第四章 向量空间

4.1节

n维向量空间及其线性运算

在本节当中

我们将给大家介绍n维向量空间

那么首先

我们将要讨论这样一个问题

就是为什么我们要

研究n维向量空间

接下来我们将为大家介绍

n维向量及其线性运算

进一步我们将引入

n维向量空间及其子空间的概念

最后我们将介绍

向量之间的线性组合与线性表出

今天 我们来给大家介绍

n维线性空间及其线性运算

首先 来复习一下

二维平面与三维空间当中的

向量的概念

在几何方面

向量就是既有大小又有方向的量

那么在代数方面

在建立了坐标系之后

我们可以得到任何一个向量的坐标

于是 二维平面当中的向量

就对应了一个二元有序数组

那么 三维空间当中的向量

就对应了一个三元有序数组

用这样的一个图表

我们就可以得到

全体向量空间以及R^3

也就是全体有序数组之间的关系

他们之间在建立了

坐标系之后形成了一个一一对应

以此为基础

我们可以展开

平面解析几何与空间解析几何的讨论

这些都是中学数学课程

当中重要的内容

但是在大学数学课程当中

我们不仅局限于此

希望大家发散思维

将二维、三维的情况推广到四维、

五维以及一般的n维向量空间

问题是我们为什么

要做这样的推广呢？

如何推广呢？

首先

我们来做这样的一个思想实验

井底之蛙的故事我们都知道

当一只青蛙在井里待久了

就以为天空只有井口这么大

那么 我们把这个寓言故事稍做修改

一只生活在平面里的青蛙待久了

就以为世界只有平面这么大

那它不会知道还会有球体、

立方体、圆锥体

这样的立体事物的存在

以此看来

我们就是生活在

三维空间中的一群青蛙

如果不去发散思维

如果不去认识了解

四维、五维甚至更高维的空间

我们就会变得和平面之蛙一样浅薄

可是 真的有四维空间吗？

古希腊哲学家赫拉克利特曾经说过

“人不能两次踏进同一条河流”

这是一个充满思辨的哲学论题

那么 从数学角度来看

在加入了时间维度以后

如果我们用四维向量来解释

就能很容易理解他这句话

同样 爱因思坦的相对论

也是建立在加入了

时间维度的四维空间之上

那么 在实际问题当中

除了四维空间 人们有时

还需要更高维的数组以及向量

例如：人造卫星在运行中

在t时刻除了三维的位置参数以外

人们还需要知道

它的温度 压力等参数

于是 只用三元数组不足以表示这些量

我们采用六元数组

t，x，y，z，τ，p

来表示卫星的各个参数

因此 我们有必要把

二维 三维的向量

推广到n维也就是R^n

那么 如何推广到高维空间呢

我们还是来看这个图表

在建立了坐标系之后

任何一个向量

可以根据这样的一个表达式

表示成三元数组与基向量之间的关系

那么 从几何方面来看

我们很难在三维空间当中

画出高维空间之中的物体

那么 反而从代数方面来看

我们很容易地把二元有序数组

三元有序数组推广到n元有序数组

于是 我们就从代数方面这里入手

下面 我们就正式进入

本讲内容的学习

第一、n维向量及其运算

首先 我们给出定义

设R是实数集

n个数a_1, a_2,一直到a_n

属于实数

它们组成有序数组

我们用圆括号把它们括起来

称为n维向量

记作α等于a_1,a_2,…, a_n圆括号

或者α等于a_1, a_2,…, a_n

列向排列的圆括号

其中 a_i称为向量的第i个分量

前一个表示称为行向量

后一个表示称为列向量

一般用带箭头的希腊字母

表示为一个向量

且默认为列向量

如果向量的所有分量都是0

就称其为零向量

一般记作0

上面加一个小箭头

注意在手写体里

我们以加小箭头的方式表示向量

以示和其它的数做区别

那么在印刷体里边

也就是书本和讲义里边

我们用黑体来表示向量

一般的标准体表示一般的数

在介绍了上面的定义之后

我们来看一个例子

假设矩阵是这样的

一个三行四列的实矩阵

我们把它的行向量分别表示为

α_1, α_2和α_3

把它的列向量表示成β_1,β_2

β_3和β_4

于是 矩阵A有三个四维的行向量

有四个三维的列向量

下面我们来讨论

向量之间的简单关系

我们首先来定义

什么叫两个向量相等？

定义2 设有两个n维向量

α和β我们称

α与β是相等的向量

当且仅当它们对应分量全相等

即a_i等于b_i对所有的

i从1, 2,一直到n

简单地说

向量相等当且仅当

它的分量逐位相等

那么 我们再回过头来看

古希腊哲学家赫拉克利特

曾经说过的那个哲学命题

也就是人不能两次踏进

同一条河流

从两个向量相等的角度来看

若t_1不等于t_2 那么这两个向量

(t_1, x, y, z)和(t_2, x, y, z)

就一定是不相等的两个向量

于是 就是两个不同的河流

向量可以看作特殊的矩阵

为此 我们如下定义向量的线性运算

也就是向量的加法和数乘

使其保持与矩阵相应的运算一致性

定义3

设有两个n维向量分别是α和β

以及一个数k

则 我们定义α加β

就是其分量逐位相加

k数乘α就是

k逐位相乘α里的每个分量

而-α就表示-1和α的数乘

也就是逐位取负号

对任何n维向量α,

β,γ以及任意的实数k和l

向量的加法及数乘

满足以下的八条性质

我们来看一下

其中1至4条也就是

第一列表示了加法的性质

分别为交换律 结合律

零元以及负元 5到8条

也就是第二列表示了

向量数乘的性质

分别是单位数乘

数乘结合律以及两种分配律

第二点 我们来看n维向量空间

全体n维向量组成一个集合

并定义了加法和数乘

用整体的观点来看

我们可以引入如下定义

定义4 全体n维向量组成的集合

当定义了上述向量的加法

及数乘运算之后

就称为n维向量空间

记作R^n

我们做几点说明

第一

n维向量空间R^n不仅仅是一个集合

更重要的是在这个集合上

赋予了两种线性运算

也就是加法和数乘

并且很容易验证满足以上8条性质

第二点 对R^n的研究

重点是向量之间的关系

第三点

若干个向量组成的向量组

是主要的研究对象

为此我们需要引进一组

向量来产生新的向量的概念

集合有子集合的概念

类似地我们可以给出子空间的概念

定义5

设W是R^n中的非空子集合

满足以下两点

第一

对向量的加法是封闭的

也就是任何的α

β如果属于W

一定有α加β也属于W

第二点

对于向量的数乘运算是封闭的

也就是对于任何α属于W

以及对于任何实数k

有k和α做数乘依然是W里的元素

如果满足上述两条

我们就称W是R^n的一个子空间

下面我们还是来看一个例子

设V_1是第一个分量为实数

而后边的分量全为0的向量组成的集合

显然V_1是R^n当中的一个子集合

并且向量的加法和数乘对V1来说

都是封闭的

所以V_1是R^n中的子空间

另外一个简单的例子

我们来看由

零向量一个元素组成的集合

我们记作V_0

那么对于向量的加法

和数乘它依然是封闭的

所以 V_0是R^n当中的子空间

我们特别称它为零子空间

3 线性组合与线性表出

在几何空间R^3当中

当我们引入了直角坐标系

也就是三个坐标轴的单位向量

e_1, e_2以及e_3以后

任何一个向量α

都可以表示为以下的形式

下面我们就将这样的概念

推广到n维向量空间当中

定义4 设α_1

α_2, 到α_s是s个n维向量

k_1, k_2,到k_s是s个实数

我们称k_1数乘α_1

加上k_2数乘α_2加一直加到

k_s数乘α_s是向量组

α_1, α_2,到α_s的线性组合

换言之

如果对于给定的β而言

若存在一组数k_1, k_2, 到k_s

使得β等于

k_1数乘α_1加k_2数乘α_2

加一直加到

k_s数乘α_s

我们则称β是

α_1, α_2, 到α_s的一个线性组合

也称β可由

α_1, α_2, 到α_s线性表出

下面来看一个例子

例3 第1小题

若α_1, α_2和β如下给定

那么 我们可以验证

β可以唯一地由

α_1与α_2线性表出

表出形式如下

第2小题

若α_1, α_2, α_3

以及β如下给定

则我们可以推出

β可以有以下三个

或者是更多的表示形式

所以 β是

α_1,α_2和α_3的线性组合

并且线性表出的方式不是唯一的

第3小题

如果

α_1 ,α_2以及β如下给定

那么 由于α_1和α_2的

第二个分量都为0

所以 无论k_1和k_2怎么取

它们的线性组合始终不能够等于β

也就是说β不能够由

α_1与α_2线性表出

请大家思考这个问题

向量β何时可以被

向量组

α_1,α_2, 到α_s线性表出

如果可以表出

线性表出何时是唯一的

何时不是唯一的

再来看一个四维的例子

已知α_1, α_2, α_3

以及β是这样给定的

请问β能否由

α_1,α_2,α_3线性表出

如能线性表出 请写出表达式

解我们假设β可以由

α_1,α_2和α_3线性表出

并且表出系数为x_1, x_2和x_3

若x_1, x_2, x_3有解

则β能由

α_1, α_2, α_3线性表出

否则 不能将表达式用分量式写出来

就可以得到这样的

一个非齐次线性方程组

那么 解线性方程组的标准方法

就是用Gauss消元法

把系数矩阵这样一个4*4的矩阵

化成简化的阶梯型

就是这样的

一个矩阵因此由简化阶梯型

我们就可以解得x_1, x_2和x_3

等于如下的通解

因此β可以由

α_1, α_2, α_3线性表出

且表出方法有无穷多种

表达式为如下的公式好

下面我们对上面的例子

做一点说明

将一个向量β表示为

向量组α_1, α_2,

到α_s的线性组合

求线性组合的系数

实际上与解线性方程组的问题是等价的

具体来说

当对应的线性方程组无解时

β就不能被这个向量组

α_1,α_2, 到α_s线性表出

当对应线性方程组有唯一解时

β可以被

α_1,α_2到α_s唯一地线性表出

而当对应线性方程组有无穷多组解时

β可以被

α_1,α_2, 到α_s线性表出

并且表出方式不唯一

另一方面

线性组合可以用来构造子空间

我们假设

α_1,α_2, 到α_s是n维向量

则它们的全体线性组合构成的集合

我们把它记作

L(α_1,α_2,…,α_s)

那么 它具体对应的集合

就是全体它们的线性组合

也就是它们的组合系数

k_1,k_2, 到k_s跑遍全体实数

那么 这个子集合L是R^n的子集合

而且很容易验证

这个子集合当中的全体向量

对于加法和数乘的运算都是封闭的

故L这个子集合构成R^n的子空间

称为由

α_1,α_2, 到α_s生成的子空间

简称为生成子空间。

来看一个矩阵

如果我们给定m×n阶的矩阵A

和由A的全体列向量生成的子空间

称为A的列空间

这个列空间是R^m的一个子空间

由A的全体行向量生成的子空间

称为A的行空间

而这个行空间是R^n当中的一个子空间

下面 我们来对本讲做一个小节

之前我们说过

大学的数学课程是介绍元素、

集合、关系及结构的一门课程

那么 在本讲当中

我们介绍的元素就是n维向量

即n元有序数组

那么 我们介绍的集合

就是n维向量空间

我们介绍的关系

就是这个n维向量空间当中的

线性运算线性组合

那么 我们介绍的结构就是

这个n维向量空间当中的子空间

以及生成子空间

线性代数这门课程里

有两个核心的内容

一个就是线性方程组

另一个就是矩阵

那么 我们本讲所讲述的内容

和这两个核心内容有密切的关系

例如

矩阵的运算与向量的线性运算是一致的

再如 我们求线性组合的系数的时候

等价于去解对应的线性方程组

以及矩阵的行空间和列空间

也是我们本节介绍的子空间的概念

而这两个概念

将在后边的解题当中

有重要的作用

以上就是我们本讲的主要内容

请同学们在课下

进一步思考以下的问题

以帮助我们学习下一讲的内容

子空间 生成子空间的概念

我们都是由代数方式给出的

那么 他们有什么样的几何意义呢？

请大家思考在三维空间R^3中

一个向量生成的子空间

对应什么图形？

两个向量生成的子空间

对应什么图形？

三个向量生成的子空间

对应什么图形？

你的答案是否唯一？

如果不唯一

是什么原因造成的呢？

这正是我们下一讲要

讨论与分析的内容

即向量组的线性相关性

我们今天的课程就到这儿

再见