3-3 矩阵的其他运算在线视频

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线性代数先修课

第三章 矩阵

3.3节 矩阵的其他运算

在本讲当中

我们将介绍矩阵除了线性运算

以及乘法运算之外的其他几种运算

包括矩阵的方幂与多项式

矩阵的转置运算

以及方阵的行列式

首先 我们先来定义

矩阵的方幂与矩阵多项式

假设A是一个m×n型的矩阵

则由可乘条件知

如果A乘A有意义

当且仅当m=n

也就是矩阵的行数等于列数

即A为方阵

对于n阶方阵A而言

我们定义A的方幂为

A的k次方 即A和自己做k次乘法

所得到的n阶方阵

另外 和数的方幂类似

我们规定A的0次方等于I_n

下面我们给出矩阵方幂的性质

设A为n阶方阵

k和l为非负整数

则A的k次方和A的l次方

相乘等于A的(k+l)次方

它也等于A的l次方

乘以A的k次方

这一点和数的乘法是一致的

另外 对A的k次方

再做l次方 就等于A的k乘l次方

这和数的方幂也是一样的

进而 对同一个n阶方阵A

反复地进行线性运算

与乘法及方幂运算以后

经过合并化简后

我们可以得到这样的一个算式

这个式子 我们把它记为f(A)

称为关于矩阵A的m次多项式

请大家思考这个问题

如果我们对不同的两个方阵A和B

反复地进行线性运算和乘法运算

是否可以化成类似的结果

我们将在后面讨论这个问题

由于A的k次方和

A的l次方乘法可交换

所以对任意多项式f和g

我们对于矩阵多项式f(A)和g(A)

乘法依然是可交换的

也就是下面的等式成立

下面 我们提出以下的问题

设A和B同为n阶方阵

则下面的等式是否成立

其中第二个等式

是我们熟悉的完全平方展开公式

但是对于矩阵的乘法以及方幂而言

这两个算式都不成立

而我们正确的推导应该如下

A乘B的平方

应该等于AB乘AB 由结合律

我们可以把括号去掉

但是 由于矩阵乘法没有交换律

所以我们不能够写成A平方

乘以 B平方的形式

同样的道理

对于A+B的平方 我们也只能写成

A+B乘以A+B 利用分配律

我们可以把它展开成这样的形式

也就是 A平方

加上AB再加BA

再加B平方

对比一下我们就发现

由于矩阵乘法没有交换性

所以我们不能够把BA写成AB

从而写成2倍AB的形式

也就是完全平方展开公式

在矩阵乘法里面是不对的

那么特别地

当A和B乘法可交换的时候

也就是AB=BA的时候

我们就可以把BA替换成AB

从而得到 AB的平方

等于A平方乘B平方

而把 A+B的平方

经过AB和BA的替换

就可以写成完全平方公式

下面 我们来看一个例子

设X为一个列矩阵

而Y为一个行矩阵

请大家求X乘Y的100次方

首先 我们来分析一下

我们要去计算XY的100次方

当然应该先把XY算一下

由于X是一个3行1列的矩阵

而Y是一个1行3列的矩阵

所以它们乘积应该是

一个3行3列的矩阵

也就是这样的一个矩阵

但是 对于这样的一个矩阵

去计算它的100次方

显然是不可行的

但是 当我们交换一下

也就是当我们去计算Y乘X的时候

我们就发现

它乘完以后应该是一个1阶矩阵

也就是乘完之后是一个数

对一个数去求它的方幂非常的简单

因此 我们要利用

矩阵乘法的结合律来简化计算

具体的解题过程如下

我们把XY的100次方展开写成

XY乘XY再乘XY...乘100次

那么利用乘法的结合律

我们把YX优先计算

也即去算YX的99次方

再分别左乘X和右乘Y

而Y乘X是一个数

因此它的99次方可以提到最前面来

因此我们实际上只需要去计算一次XY

然后再对它做一个

某一个数的99次方的数乘即可

计算的最终结果如下

下面 我们来引入矩阵的转置运算

在第二章当中

我们讨论行列式的时候

我们曾经把行列式的行与列进行互换

那么对一般的m×n阶矩阵来说

也有同样的操作

下面 我们给出矩阵转置的定义

设矩阵是一个m×n型的矩阵

将A的行与列互换得到的矩阵

我们就称为A的转置 记为A的T次方

也就是用数学式子表达出来

也就是这样的表达式

其中我们发现这里A的第1行

在A的转置里就变成了第1列

而A的第2行在A的转置里就变成了第2列

以此类推

我们特别说明一下

如果A是一个m×n型的矩阵

那么A的转置就应该

是一个n×m阶的矩阵

并且 如果我们把A的转置分量

用a'_ij表示

则我们会知道

a'_ij就应该等于a_ji

也就是交换下标的位置

对于矩阵的转置运算

有如下的运算规律

设A和B是为矩阵 λ为实数

并且使得下列运算有定义

则第一条运算律为

两次转置则还原

第二条运算律为

加法和转置相容

这里的两种运算相容是指

这两种运算交换次序运算以后

计算结果相同

在我们第二条运算律当中

我们也可以看到

左边表示对两个矩阵

先做加法再做转置

而右边表示对两个矩阵

各自做转置再做加法

而它们的计算结果是相同的

第三条运算律为

转置和数乘是相容的

即先做数乘再做转置

等于先做转置再做数乘

第四条我们称为乘法反序

也就是对两个矩阵

先做乘法再做转置

等于分别做转置以后但是反向相乘

这四条运算律

前三条可以直接验证

下面 我们只给出第四条的详细证明

设A和B分别为m×n型和n×s型的两个矩阵

则根据矩阵乘法的运算律

以及矩阵转置的定义

我们会知道AB再转置

以及B转置乘以A转置

均为s×n阶的矩阵

一方面 A乘B再转置的第i行

第j列上的元素

正好应该为A乘B的第j行

第i列上的元素

因此 根据矩阵乘法的定义

它应该是对a_jk乘以b_ki

再对k求和所得到的结果

另一方面

如果我们假设A转置的分量为a'_ij

而B转置的分量为b'_kl

则我们有a'_ij=a_ji

而b'_kl=b_lk

也就是角标交换

于是 根据矩阵乘法的定义

我们知道B转置乘以A转置的

第i行第j列上的元素

就应该为b'_ik乘以a'_kj

并且 再对k求和

把上面等式代入

换成A和B的关系

再由元素乘法的交换性

交换A，B的位置

就可以得到这个等式

那么对比上下两个求和号

我们会知道 它们俩相等

从而A乘B的转置

与B转置乘A转置为同型矩阵

且对应元素相等

因此 它们两个为相等的矩阵

我们就证明了第四条运算律

下面来看一个具体的例子

假设A是一个2×3的矩阵

而B是一个3×3的矩阵

请大家计算A乘B的转置

我们给出两种解法

第一种 先去计算A乘B

那么根据矩阵乘法的运算律

我们会知道

选取A的第1行 B的第1列

可以计算出AB的(1,1)位置上的元素

选取A的第1行 B的第2列

可以计算出

(AB的)第1行第2列上的元素为14

选取A的第1行 B的第3列

我们可以计算出

(AB的)第1行第3列上的元素为-3

选取A的第2行 B的第1列

计算后我们可以知道

AB的第2行第1列上的元素为17

选取A的第2行 B的第2列

我们可以计算出乘积矩阵

第2行第2列上的元素为13

选取A的第2行 B的第3列

我们可以计算出乘积矩阵的

第2行第3列上的元素为10

然后再对这个

整个乘积矩阵转置以后

我们就可以求出AB的转置

另外一种解法

是利用我们的运算律四

我们直接去计算 B转置乘以A转置

也就是这两个矩阵相乘

那么 计算过程我们略去

可以知道和方法一

算出来的结果是一样的

在一般的情况下

A转置是不等于A的

例如 我们取A为这样的一个2阶方阵

而它的转置很容易看到是不等于A的

但是 如果A转置等于A时

则我们知道 A必为方阵

此时我们把A称为对称阵

我们还可以给出对称阵的数学描述

也就是所有的a_ij=a_ji

对于所有的i,j成立

来看一个具体的例子

这是一个3阶方阵

我们来检验一下

它是不是一个对称阵

首先 除了主对角线上的元素以外

以主对角线为轴成对称的

两个位置上的元素要相等

也就是a_12=a_21

a_13=a_31

a_23＝a_32

因此 A是一个对称阵

因此我们检验对称阵

就是以主对角线为轴

依次去检验对称位置上的元素

是不是相等

再举一个例子

对于对角阵来说

由于以对角线为轴的对称位置全都是0

因此对角阵自然地是一个对称阵

另一种情况

当A的转置=-A的时候

则A必为方阵

此时 我们称这样的方阵为反对称阵

对于反对称阵

我们可以给出如下的数学等价描述

也就是所有的a_ij=-a_ji

特别地

我们把i=j和i≠j的情况分离开

我们会知道

对于主对角线上的元素a_ii来说

应该全都等于0 也就是说

反对称阵一定是长成这个样子的

例如 如果一个对角阵是反对称阵

那么我们会知道

它的主对角线上的元素全为0

因此这个对角阵只能是一个0矩阵

下面我们来讨论

对称阵和反对称阵的运算律

第一 如果A,B是同阶对称阵

则对称阵的加法

和对称阵的数乘也是对称阵

类似地 如果A和B是同阶的反对称阵

则反对称阵的加法和

反对称阵的数乘依然为反对称阵

换言之 也就是说

矩阵的线性运算保持

其对称性或者是反对称性

对于这两个运算律

我们只对对称阵进行证明

而对反对称阵 同理可证

要证对称阵的加法依然是对称阵

只需要去证A+B的转置

依然等于它自己就可以了

那么利用加法和转置运算的相容性

我们可以得到第一个等式

那么再由A,B的对称性

我们可以得到第二个等式

从而也就证明了

A+B确实也是一个对称阵

同样的道理

利用数乘和转置的相容性

再利用A本身的对称性

我们也可以证明 kA的转置

就等于kA它自己

所以 kA依然是对称阵

接下来一个自然的问题就是

两个对称阵的乘积是不是对称阵呢？

或者是两个反对称阵的乘积

是不是依然是反对称阵呢？

我们的回答是否定的

因为 我们可以举出如下的一些反例

例如

当我们取A和B

为这样的两个2阶方阵时

它们都是对称阵

但是我们去计算A乘B

是等于这样的一个方阵

它是一个上三角阵

显然不是一个对称阵

再如 如果我们取A和B相等

都等于这样的一个反对称阵

那么我们去计算A乘B

也就是A的平方的时候

计算结果会发现

它是一个对角阵

由于它的主对角线上的元素都不是0

因此它不是反对称阵

第三 我们来看

方阵的运算与行列式的关系

对于n阶方阵A而言

如果我们用两条竖线

或者是det(A)来表示对应的n阶行列式

故行列式也可以看成是

方阵A的一种运算

以下的结论说明

方阵的行列式运算与乘法运算是相容的

或者 行列式是关于方阵的积性函数

我们具体的定理如下

设A,B是两个n阶方阵

则AB的行列式等于A的行列式乘以B的行列式

如果定理成立的话

我们可以推广到s个n阶方阵

则它们的乘积再求行列式

应该等于它们各自的行列式再乘积

下面我们来证明定理

假设A，B的分量分别为a_ij和b_ij

并且设AB=C

其中它的每一个分量为c_ij

那么根据我们第二章讨论过

分块三角行列式

要证等式左边

也就是detA乘以detB

就等于这样一个2n阶的

行列式的计算结果

我们把它展开

就可以写成右边这个很大的一个行列式

对于这个行列式

我们进行如下操作

我们将n+1行的

a_11倍加到第1行上

将n+2行的a_12倍加到第1行

以此类推

直到把第2n行的

第a_1n倍加到第1行

则经过以上倍加操作以后

行列式的值不变

但是 这个行列式的第1行的

前n个位置就可以化0

而第1行后n个位置

就变为如下的一个算式

仔细观察这个算式 我们就可以发现

它的每个分量正好是等于

乘积矩阵C的第1行的分量

因此 它正好就等于C的第1行

也就是我们得到了这样的一个等式

那么对于右边的行列式

我们继续进行如下操作

将n+1行的第a_21倍

加到第2行上面

再将n+2行的a_22倍加到第2行

一直到将第2n行的

a_2n倍加到第2行

经过以上操作以后

这个行列式的第2行的前n位就化0了

而第2行的后n个位置

就变成了这样的形式

也就是变成了矩阵C的第2行

以此类推

我们进行若干次倍加的变换

直到将行列式第n行的前n个位置化0

此时的右上角恰好为矩阵C

也就是得到了这样的一个等式

对于右边这个行列式

根据分块三角行列式的公式

它等于(-1)的n方次幂

再乘以负I的行列式

再乘以detC的行列式

那么 把(-I)的那个(-1)提出来之后

可以增加(-1)的n次方

再和前面的n平方结合以后

就可以得到(-1)的n(n+1)次方

而n(n+1)一定是个偶数

所以它一定等于1

因此它就等于detC

也就是等于detAB

因此我们就证明了这个结论

此外 容易知道

方阵的行列式运算和

其他运算还有如下的一些运算规律

如 方阵转置的行列式保持不变

方阵数乘的行列式等于

数k的n次方再乘以detA

那么我们的问题是

对于加法运算和行列式运算

是不是有如下的关系

这个问题的答案是否定的

那么我们请大家课后进行思考

并给出反例

本讲小结

在本讲当中

我们介绍了矩阵除线性运算与

乘法运算之外的几种运算

包括方阵的方幂与多项式运算

矩阵的转置

以及方阵的行列式运算与

其他运算的关系

特别 我们证明了

行列式与乘法运算的相容性

另外 我们还引入了

在转置运算下不变或者是取反的方阵

即对称阵和反对称阵的概念

这样的一些概念和结论

将在后续课程中被用到

本讲的内容就到这儿

我们下讲再见