当前课程知识点：简明线性代数 > 第3章 矩阵 > 3-3 矩阵的其他运算 > 3-3 矩阵的其他运算
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线性代数先修课
第三章 矩阵
3.3节 矩阵的其他运算
在本讲当中
我们将介绍矩阵除了线性运算
以及乘法运算之外的其他几种运算
包括矩阵的方幂与多项式
矩阵的转置运算
以及方阵的行列式
首先 我们先来定义
矩阵的方幂与矩阵多项式
假设A是一个m×n型的矩阵
则由可乘条件知
如果A乘A有意义
当且仅当m=n
也就是矩阵的行数等于列数
即A为方阵
对于n阶方阵A而言
我们定义A的方幂为
A的k次方 即A和自己做k次乘法
所得到的n阶方阵
另外 和数的方幂类似
我们规定A的0次方等于I_n
下面我们给出矩阵方幂的性质
设A为n阶方阵
k和l为非负整数
则A的k次方和A的l次方
相乘等于A的(k+l)次方
它也等于A的l次方
乘以A的k次方
这一点和数的乘法是一致的
另外 对A的k次方
再做l次方 就等于A的k乘l次方
这和数的方幂也是一样的
进而 对同一个n阶方阵A
反复地进行线性运算
与乘法及方幂运算以后
经过合并化简后
我们可以得到这样的一个算式
这个式子 我们把它记为f(A)
称为关于矩阵A的m次多项式
请大家思考这个问题
如果我们对不同的两个方阵A和B
反复地进行线性运算和乘法运算
是否可以化成类似的结果
我们将在后面讨论这个问题
由于A的k次方和
A的l次方乘法可交换
所以对任意多项式f和g
我们对于矩阵多项式f(A)和g(A)
乘法依然是可交换的
也就是下面的等式成立
下面 我们提出以下的问题
设A和B同为n阶方阵
则下面的等式是否成立
其中第二个等式
是我们熟悉的完全平方展开公式
但是对于矩阵的乘法以及方幂而言
这两个算式都不成立
而我们正确的推导应该如下
A乘B的平方
应该等于AB乘AB 由结合律
我们可以把括号去掉
但是 由于矩阵乘法没有交换律
所以我们不能够写成A平方
乘以 B平方的形式
同样的道理
对于A+B的平方 我们也只能写成
A+B乘以A+B 利用分配律
我们可以把它展开成这样的形式
也就是 A平方
加上AB再加BA
再加B平方
对比一下我们就发现
由于矩阵乘法没有交换性
所以我们不能够把BA写成AB
从而写成2倍AB的形式
也就是完全平方展开公式
在矩阵乘法里面是不对的
那么特别地
当A和B乘法可交换的时候
也就是AB=BA的时候
我们就可以把BA替换成AB
从而得到 AB的平方
等于A平方乘B平方
而把 A+B的平方
经过AB和BA的替换
就可以写成完全平方公式
下面 我们来看一个例子
设X为一个列矩阵
而Y为一个行矩阵
请大家求X乘Y的100次方
首先 我们来分析一下
我们要去计算XY的100次方
当然应该先把XY算一下
由于X是一个3行1列的矩阵
而Y是一个1行3列的矩阵
所以它们乘积应该是
一个3行3列的矩阵
也就是这样的一个矩阵
但是 对于这样的一个矩阵
去计算它的100次方
显然是不可行的
但是 当我们交换一下
也就是当我们去计算Y乘X的时候
我们就发现
它乘完以后应该是一个1阶矩阵
也就是乘完之后是一个数
对一个数去求它的方幂非常的简单
因此 我们要利用
矩阵乘法的结合律来简化计算
具体的解题过程如下
我们把XY的100次方展开写成
XY乘XY再乘XY...乘100次
那么利用乘法的结合律
我们把YX优先计算
也即去算YX的99次方
再分别左乘X和右乘Y
而Y乘X是一个数
因此它的99次方可以提到最前面来
因此我们实际上只需要去计算一次XY
然后再对它做一个
某一个数的99次方的数乘即可
计算的最终结果如下
下面 我们来引入矩阵的转置运算
在第二章当中
我们讨论行列式的时候
我们曾经把行列式的行与列进行互换
那么对一般的m×n阶矩阵来说
也有同样的操作
下面 我们给出矩阵转置的定义
设矩阵是一个m×n型的矩阵
将A的行与列互换得到的矩阵
我们就称为A的转置 记为A的T次方
也就是用数学式子表达出来
也就是这样的表达式
其中我们发现这里A的第1行
在A的转置里就变成了第1列
而A的第2行在A的转置里就变成了第2列
以此类推
我们特别说明一下
如果A是一个m×n型的矩阵
那么A的转置就应该
是一个n×m阶的矩阵
并且 如果我们把A的转置分量
用a'_ij表示
则我们会知道
a'_ij就应该等于a_ji
也就是交换下标的位置
对于矩阵的转置运算
有如下的运算规律
设A和B是为矩阵 λ为实数
并且使得下列运算有定义
则第一条运算律为
两次转置则还原
第二条运算律为
加法和转置相容
这里的两种运算相容是指
这两种运算交换次序运算以后
计算结果相同
在我们第二条运算律当中
我们也可以看到
左边表示对两个矩阵
先做加法再做转置
而右边表示对两个矩阵
各自做转置再做加法
而它们的计算结果是相同的
第三条运算律为
转置和数乘是相容的
即先做数乘再做转置
等于先做转置再做数乘
第四条我们称为乘法反序
也就是对两个矩阵
先做乘法再做转置
等于分别做转置以后但是反向相乘
这四条运算律
前三条可以直接验证
下面 我们只给出第四条的详细证明
设A和B分别为m×n型和n×s型的两个矩阵
则根据矩阵乘法的运算律
以及矩阵转置的定义
我们会知道AB再转置
以及B转置乘以A转置
均为s×n阶的矩阵
一方面 A乘B再转置的第i行
第j列上的元素
正好应该为A乘B的第j行
第i列上的元素
因此 根据矩阵乘法的定义
它应该是对a_jk乘以b_ki
再对k求和所得到的结果
另一方面
如果我们假设A转置的分量为a'_ij
而B转置的分量为b'_kl
则我们有a'_ij=a_ji
而b'_kl=b_lk
也就是角标交换
于是 根据矩阵乘法的定义
我们知道B转置乘以A转置的
第i行第j列上的元素
就应该为b'_ik乘以a'_kj
并且 再对k求和
把上面等式代入
换成A和B的关系
再由元素乘法的交换性
交换A，B的位置
就可以得到这个等式
那么对比上下两个求和号
我们会知道 它们俩相等
从而A乘B的转置
与B转置乘A转置为同型矩阵
且对应元素相等
因此 它们两个为相等的矩阵
我们就证明了第四条运算律
下面来看一个具体的例子
假设A是一个2×3的矩阵
而B是一个3×3的矩阵
请大家计算A乘B的转置
我们给出两种解法
第一种 先去计算A乘B
那么根据矩阵乘法的运算律
我们会知道
选取A的第1行 B的第1列
可以计算出AB的(1,1)位置上的元素
选取A的第1行 B的第2列
可以计算出
(AB的)第1行第2列上的元素为14
选取A的第1行 B的第3列
我们可以计算出
(AB的)第1行第3列上的元素为-3
选取A的第2行 B的第1列
计算后我们可以知道
AB的第2行第1列上的元素为17
选取A的第2行 B的第2列
我们可以计算出乘积矩阵
第2行第2列上的元素为13
选取A的第2行 B的第3列
我们可以计算出乘积矩阵的
第2行第3列上的元素为10
然后再对这个
整个乘积矩阵转置以后
我们就可以求出AB的转置
另外一种解法
是利用我们的运算律四
我们直接去计算 B转置乘以A转置
也就是这两个矩阵相乘
那么 计算过程我们略去
可以知道和方法一
算出来的结果是一样的
在一般的情况下
A转置是不等于A的
例如 我们取A为这样的一个2阶方阵
而它的转置很容易看到是不等于A的
但是 如果A转置等于A时
则我们知道 A必为方阵
此时我们把A称为对称阵
我们还可以给出对称阵的数学描述
也就是所有的a_ij=a_ji
对于所有的i,j成立
来看一个具体的例子
这是一个3阶方阵
我们来检验一下
它是不是一个对称阵
首先 除了主对角线上的元素以外
以主对角线为轴成对称的
两个位置上的元素要相等
也就是a_12=a_21
a_13=a_31
a_23＝a_32
因此 A是一个对称阵
因此我们检验对称阵
就是以主对角线为轴
依次去检验对称位置上的元素
是不是相等
再举一个例子
对于对角阵来说
由于以对角线为轴的对称位置全都是0
因此对角阵自然地是一个对称阵
另一种情况
当A的转置=-A的时候
则A必为方阵
此时 我们称这样的方阵为反对称阵
对于反对称阵
我们可以给出如下的数学等价描述
也就是所有的a_ij=-a_ji
特别地
我们把i=j和i≠j的情况分离开
我们会知道
对于主对角线上的元素a_ii来说
应该全都等于0 也就是说
反对称阵一定是长成这个样子的
例如 如果一个对角阵是反对称阵
那么我们会知道
它的主对角线上的元素全为0
因此这个对角阵只能是一个0矩阵
下面我们来讨论
对称阵和反对称阵的运算律
第一 如果A,B是同阶对称阵
则对称阵的加法
和对称阵的数乘也是对称阵
类似地 如果A和B是同阶的反对称阵
则反对称阵的加法和
反对称阵的数乘依然为反对称阵
换言之 也就是说
矩阵的线性运算保持
其对称性或者是反对称性
对于这两个运算律
我们只对对称阵进行证明
而对反对称阵 同理可证
要证对称阵的加法依然是对称阵
只需要去证A+B的转置
依然等于它自己就可以了
那么利用加法和转置运算的相容性
我们可以得到第一个等式
那么再由A,B的对称性
我们可以得到第二个等式
从而也就证明了
A+B确实也是一个对称阵
同样的道理
利用数乘和转置的相容性
再利用A本身的对称性
我们也可以证明 kA的转置
就等于kA它自己
所以 kA依然是对称阵
接下来一个自然的问题就是
两个对称阵的乘积是不是对称阵呢？
或者是两个反对称阵的乘积
是不是依然是反对称阵呢？
我们的回答是否定的
因为 我们可以举出如下的一些反例
例如
当我们取A和B
为这样的两个2阶方阵时
它们都是对称阵
但是我们去计算A乘B
是等于这样的一个方阵
它是一个上三角阵
显然不是一个对称阵
再如 如果我们取A和B相等
都等于这样的一个反对称阵
那么我们去计算A乘B
也就是A的平方的时候
计算结果会发现
它是一个对角阵
由于它的主对角线上的元素都不是0
因此它不是反对称阵
第三 我们来看
方阵的运算与行列式的关系
对于n阶方阵A而言
如果我们用两条竖线
或者是det(A)来表示对应的n阶行列式
故行列式也可以看成是
方阵A的一种运算
以下的结论说明
方阵的行列式运算与乘法运算是相容的
或者 行列式是关于方阵的积性函数
我们具体的定理如下
设A,B是两个n阶方阵
则AB的行列式等于A的行列式乘以B的行列式
如果定理成立的话
我们可以推广到s个n阶方阵
则它们的乘积再求行列式
应该等于它们各自的行列式再乘积
下面我们来证明定理
假设A，B的分量分别为a_ij和b_ij
并且设AB=C
其中它的每一个分量为c_ij
那么根据我们第二章讨论过
分块三角行列式
要证等式左边
也就是detA乘以detB
就等于这样一个2n阶的
行列式的计算结果
我们把它展开
就可以写成右边这个很大的一个行列式
对于这个行列式
我们进行如下操作
我们将n+1行的
a_11倍加到第1行上
将n+2行的a_12倍加到第1行
以此类推
直到把第2n行的
第a_1n倍加到第1行
则经过以上倍加操作以后
行列式的值不变
但是 这个行列式的第1行的
前n个位置就可以化0
而第1行后n个位置
就变为如下的一个算式
仔细观察这个算式 我们就可以发现
它的每个分量正好是等于
乘积矩阵C的第1行的分量
因此 它正好就等于C的第1行
也就是我们得到了这样的一个等式
那么对于右边的行列式
我们继续进行如下操作
将n+1行的第a_21倍
加到第2行上面
再将n+2行的a_22倍加到第2行
一直到将第2n行的
a_2n倍加到第2行
经过以上操作以后
这个行列式的第2行的前n位就化0了
而第2行的后n个位置
就变成了这样的形式
也就是变成了矩阵C的第2行
以此类推
我们进行若干次倍加的变换
直到将行列式第n行的前n个位置化0
此时的右上角恰好为矩阵C
也就是得到了这样的一个等式
对于右边这个行列式
根据分块三角行列式的公式
它等于(-1)的n方次幂
再乘以负I的行列式
再乘以detC的行列式
那么 把(-I)的那个(-1)提出来之后
可以增加(-1)的n次方
再和前面的n平方结合以后
就可以得到(-1)的n(n+1)次方
而n(n+1)一定是个偶数
所以它一定等于1
因此它就等于detC
也就是等于detAB
因此我们就证明了这个结论
此外 容易知道
方阵的行列式运算和
其他运算还有如下的一些运算规律
如 方阵转置的行列式保持不变
方阵数乘的行列式等于
数k的n次方再乘以detA
那么我们的问题是
对于加法运算和行列式运算
是不是有如下的关系
这个问题的答案是否定的
那么我们请大家课后进行思考
并给出反例
本讲小结
在本讲当中
我们介绍了矩阵除线性运算与
乘法运算之外的几种运算
包括方阵的方幂与多项式运算
矩阵的转置
以及方阵的行列式运算与
其他运算的关系
特别 我们证明了
行列式与乘法运算的相容性
另外 我们还引入了
在转置运算下不变或者是取反的方阵
即对称阵和反对称阵的概念
这样的一些概念和结论
将在后续课程中被用到
本讲的内容就到这儿
我们下讲再见
-宣传片
--宣传片
-序论
--序论
-1-1 二元、三元一次方程组
-第1章 线性方程组--1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-1-2 一般线性方程组的解法：Gauss消元法
-第1章 线性方程组--1-3 线性方程组解的判定
-1-3 线性方程组解的判定
-第1章 线性方程组--1-4 齐次线性方程组
-1-4 齐次线性方程组
-第2章 行列式--2-1 二阶、三阶行列式的性质
-2-1 二阶、三阶行列式的性质
-第2章 行列式--2-2 n元排列
-2-2 n元排列
--2-2 n元排列
-第2章 行列式--2-3 n阶行列式的定义
-2-3 n阶行列式的定义
-第2章 行列式--2-4 行列式的性质
-2-4 行列式的性质
-第2章 行列式--2-5 行列式的计算1-利用性质
-2-5 行列式的计算1-利用性质
--Video
-第2章 行列式--2-6 行列式的展开公式
-2-6 行列式的展开公式
-第2章 行列式--2-7 行列式的计算2-综合
-2-7 行列式的计算2-综合
-第2章 行列式--2-8 Cramer法则
-2-8 Cramer法则
-第3章 矩阵--3-1 矩阵及其线性运算
-3-1 矩阵及其线性运算
-第3章 矩阵--3-2 矩阵的乘法
-3-2 矩阵的乘法
-第3章 矩阵--3-3 矩阵的其他运算
-3-3 矩阵的其他运算
-第3章 矩阵--3-4 分块矩阵
-3-4 分块矩阵
--3-4 分块矩阵
-第3章 矩阵--3-5 初等矩阵
-3-5 初等矩阵
--3-5 初等矩阵
-第3章 矩阵--3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-3-6 逆矩阵及矩阵可逆条件
-第3章 矩阵--3-7 逆矩阵的求法
-3-7 逆矩阵的求法
-第4章 向量空间--4-1 n维向量空间
-4-1 n维向量空间
-第4章 向量空间--4-2 向量组的线性相关性
-4-2 向量组的线性相关性
-第4章 向量空间--4-3 线性相关性的更多理论
-4-3 线性相关性的更多理论
-第4章 向量空间--4-4 极大线性无关组
-4-4 极大线性无关组
-第4章 向量空间--4-5 向量组的秩
-4-5 向量组的秩
-第4章 向量空间--4-6 矩阵的秩
-4-6 矩阵的秩
--Video
-第4章 向量空间--4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-4-7 矩阵秩的运算律与相关结论
-第5章 线性方程组的解理论--5-1 齐次线性方程组的解理论
-5-1 齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-2 非齐次线性方程组的解理论
-5-2 非齐次线性方程组的解理论
-第5章 线性方程组的解理论--5-3 线性方程组的几何意义
-5-3 线性方程组的几何意义
-第5章 线性方程组的解理论--5-4 矩阵方程
-5-4 矩阵方程
-第6章 内积空间--6-1 向量空间中的内积与度量
-6-1 向量空间中的内积与度量
-第6章 内积空间--6-2 标准正交基与正交矩阵
-6-2 标准正交基与正交矩阵
-第6章 内积空间--6-3 Schmidt正交化与QR分解
-6-3 Schmidt正交化与QR分解
-第6章 内积空间--6-4 正交投影与正交分解
-6-4 正交投影与正交分解
-第6章 内积空间--6-5 最小二乘问题
-6-5 最小二乘问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-1 矩阵的特征值与特征向量
-7-1 矩阵的特征值与特征向量
-第7章 矩阵的特征值理论--7-2 特征多项式与特征子空间
-7-2 特征多项式与特征子空间
-第7章 矩阵的特征值理论--7-3 相似矩阵
-7-3 相似矩阵
--7-3 相似矩阵
-第7章 矩阵的特征值理论--7-4 矩阵的对角化问题
-7-4 矩阵的对角化问题
-第7章 矩阵的特征值理论--7-5 实对称阵的对角化
-7-5 实对称阵的对角化
-第7章 矩阵的特征值理论--7-6 特征值理论的几个应用
-7-6 特征值理论的几个应用
-第8章 矩阵与变换--8-1 矩阵映射与矩阵变换
-8-1 矩阵映射与矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-8-2 二维三维空间中几类特殊的矩阵变换
-第8章 矩阵与变换--8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-3 矩阵映射的复合与矩阵乘法
-8-4 矩阵变换的不变量与特征值理论
-第8章 矩阵与变换--8-5 坐标系替换与矩阵相似
-8-5 坐标系替换与矩阵相似
-第8章 矩阵与变换--8-6 正交变换
-8-6 正交变换
--8-6 正交变换
