当前课程知识点：线性系统理论 > 第二周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（一） > LST1-1-1 状态、状态空间及系统的状态空间描述（一） > 视频
下面我们就进入具体的技术部分的内容
我们会从时域理论第二大部分开始
我们在这里面分成几个模块
其中我们先介绍第一个模块
是系统的状态空间描述
这应该说是我们整个系统研究的一个起点
是从它的数学模型开始
在这里面我会依次给大家介绍
关于状态空间模型本身的定义
还有怎么样从系统相关的数据
相关的基本的已知的信息
来建立我们这种状态空间模型
还有状态空间模型和其他模型之间的关系
我们首先来介绍
状态 状态空间 系统状态空间描述
这几个基本概念
分成三个小的知识点来介绍
第一个知识点是状态的概念
状态的概念粗略的来说
就是表示动态系统的过去 现在和未来的运动状况
那么精确的来说
他需要一组必要且充分的数据来说明
也就是我们曾经提到的状态变量组
要用这个概念来精确的刻画什么是状态
我们会通过一个具体的例子
给大家形象的来说明状态的概念
图1里面给大家展示的是运动的小车
我们有一个向右的推力 水平的推力
还有小车自身有重力
同时由于跟地面的摩擦 它有摩擦的阻力
这个阻力还和速度是成正比的
我们在描述小车的运动状态的过程当中
大家都很熟悉
我们肯定要知道小车往什么方向运动
同时我们也关心小车运动到什么地方
所以我们选一个参照就是水平上的位移y
作为我们位置的衡量
这样我们就知道
对于这样一辆小车我们具体要了解它的运动的状况
肯定要知道它的位置和速度
那么你说这个加速度我们需不需要知道呢
加速度实际上就是我们给的推力
根据它的重力和阻力
你实际上可以算出来它的加速度
所以这一点我们不需要测量
但我们真正关心的位置和速度
它会决定在作用力底下整个的运动状况
我们来定义一下状态变量
状态变量是系统的
足以完全确定系统运动状态的最小的一组变量
从数学上来看
一个用n阶微分方程所描述的系统
它就有n个独立的变量
求这n个独立变量的时间响应
系统的运动状态也就揭露无疑了
就是说能够完全定下来
因此我们对于一个n阶系统
n阶的微分方程系统描述的系统
它的独立的变量个数就是n个
所以对我们一个具体的问题
比如我们的小车来说
我们知道它的独立变量实际是两个
因为它满足的是牛顿定律的方程
待会我们还会更仔细的来说这个点
我们首先对这组变量我们要有一点基本的条件
所谓的这组必要且充分 它体现在两个方面
一个是在任何一个时刻t=t0
这组变量x1一直到xn
他都是表示了该时刻的状态
他都是一组确定性的数
第二个 当这个系统在t0时刻以后
再给它输入 比如说我们那个力
给它加上输入的力以后
你又知道它初始的位置和速度
那么你就可以完全的确定
小车在t0时刻以后所有的行为
就是未来它运动到什么地方
以多大的速度朝哪个方向运动
就都完全确定下来了
这个东西在客观上我们看到
对小车的例子
它实际上是用牛顿定律来保证的
那么对其他系统
同样的我们根据所满足的
物理 化学这些基本的自然规律
我们也都能够一一的确定下来
所以状态变量这个概念
一旦当我们把它转化成微分方程的描述
我们就能够确定下来
它的状态一共需要几个
具体是选哪些量作为它的状态变量
所以接下来我们回到小车的例子
我们来具体的看一下
在图1里面
当我们知道了t=t0时刻的
小车的位置y0和速度V0
并且知道了t≥t0的时候
水平方向的推力有多大的时候
我们就可以理论上来说
把未来的小车的位置和速度
它的所有的运动状态确定下来了
在n阶动态系统里面
t时刻的状态是由t0时刻的初始状态
和t≥t0时刻的输入函数所唯一确定的
而与什么没有关系呢
就是和t0时刻之前的状态以及输入没有关系
特别我想强调的一点
状态变量的充分性
体现在只要我知道t0时刻的状态了
我就不需要知道在t0时刻之前
它是如何运动到当前这个位置和速度的
这点我就不需要知道了
以及t0时刻之前
到底推力是如何加到小车上
我也不需要知道了
唯一知道的就是初始时刻它位置和速度在什么地方
然后我们就可以根据牛顿定律 完全确定了
解微分方程就可以知道
当然我们在这里还要强调一下
同一个系统
究竟选取哪些变量作为状态变量
事实上也不是完全唯一的
这点可能稍微有一点难以理解
但是后边给大家介绍变量的选取
尤其是坐标变换的时候大家会看到很明显
这里面关键点在哪呢
关键点就是我们这个状态变量
它的选取要相对独立
它包含的 应该等于微分方程的阶数
如果我们选的不够微分方程的阶数的话
那么我们所描述的动态过程
它的未来的变化 就不是仅仅决定于
当前的这几个变量的值和未来的输入
而是和历史还是有关系
这就说明我们的状态变量选取的不够充分
比如说我们在小车的例子上面
如果我们仅仅选择当前的位置
作为它的状态变量的话
那我们不知道它当前速度
甚至不知道它当前往哪个方向运动
很显然你就不清楚
下一时刻 即使你知道这个力是多大
你也不能够完全确定
它下一时刻是往左还是往右
那更谈不到它下一时刻在什么位置了
这就体现在状态变量要选择足够多
状态变量足够多在实际物理上
工程上我们怎么选呢
有个非常简单的原则
就是我们把状态变量的个数
选的只要等于你的系统独立储能元件的个数就可以了
在这个意义上来说
其实状态这个概念它也是一个物理的属性
这个物理属性体现在哪呢
就是你要想选择一个完整的
或者说充分多的状态变量来描述你这个因果系统
来把未来的状态和运动
和你以前的输入要想独立开来的话
你的个数有一个下限
一定要选的跟你的储能元件的个数有关
至少不少于储能元件的个数
那这里面深层次的原因是什么呢
就是说我们状态变化
实际上大家也看到前面我们提到的状态方程的问题
也就是说 变化速率是由状态和输入共同决定的
那这在物理上来说
凡是选为状态的变量
它不能够产生瞬间的变化 不能够产生跳变
它一定是有一个有限的速度
这样的话我们就知道
实际上现实世界当中 物理上来说
哪些东西不能够发生跳变
像位置 像速度
这些量它是不能发生跳变的
那究其根本的原因是什么
实际上一个动态系统的运动过程
他之所以能够让我们感受到它随时间的变化
是因为能量在不同的形式当中
或者在网络不同的位置当中
它发生了流动
当能量发生了转移
发生了流动的时候
从一种形式变成另一种形式的时候
我们就感受到了系统的动态变化
而这些变化都有一个过程
就是和时间相关的一个逐渐变化的过程
所以说储能的水平
实际上是天然的可以选作我们系统状态的变量
也就是说我们每一个状态变量
它反映的背后实际上是一个储能的水平
就是某种能量存在某个地方的水平
那么当状态的变化
它实际上反映的是能量存储水平的变化
或者某种形式能量存储多少的变化
这样大家就比较容易理解了
为什么说我们储能元件的个数那么关键
是因为能量不能发生瞬时的跳变
同时能量的变化也是需要经历过程的
这是我们说状态的物理上的基础
也就是我们选择状态变量的一个根据
那我们回到小车上来说
其实小车的位置 它体现了一种势能的变化
位置不同 势能可能不同
小车的速度 它其实体现了动能的存储的水平
所以我们看到
势能也好 动能也好
它是可以相互转化但永远不能被消灭的
所以这里边我们就知道
不同能量的转化
是导致我们系统运动状态变化的原因
同时我们在选取状态的依据
就是我们要选取储能元件的储能水平
这也就能解释为什么在电容里面
我们为什么要选择电容的电压作为它的状态
也是体现了这一点
就是它体现了存储电量的多少
是存储电能的水平
其它我想大家也能够想到很多
在你所熟悉的邻域里面
你的储能元件是什么样的
你的储能的形式是什么样的
但是我们选取状态的基本原则是不变的
都是指示能量水平的量
你把它选为状态就好了
还应该指出
状态变量 有的可能是直接测量不是很容易
那么 我们通常应该选择那些容易进行测量的量
作为它的状态变量
这样我们在建立模型的时候就相对更容易一些
这个点也体现在状态本身是系统内部的一些量
有的时候我们不太好直接能够测量出来
这是我们关于状态的概念的基本介绍
-线性系统理论的一个有趣应用
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