当前课程知识点：线性系统理论 > 第四周（第二部分：线性系统的时域理论）：状态变量的能控性和能观性（一） > LST3-1-3 能控性与能观测性的定义（三） > 视频
我们这里探讨能控性的定义
就是从数学上我们怎么样来严格的把这个概念定义下来
并且做相关的分析
所以这个定义非常重要
我们对这个能控性的定义
首先从它的概念出发
由于我们所讨论研究的系统是在输入u的作用下
状态x(t)如何进行转移这件事情
所以可以看出来跟输出y(t)是没有关系的
因此我们下面的定义里面也只是涉及到系统的状态方程
而不涉及到它的输出方程
那我们这里把这个状态方程再列一下
就是x导数等于Ax+Bu这样的一个形式
下面我们给出定义
针对这样一个状态方程
能控性的定义如下
对于一个初始时刻t0
在系统的时间定义域内
存在着另外一个时刻t>t0
如果能够找到无约束的控制向量u(t)
使得这个系统从初始状态x(t0)=x来推向一个末态x(t)=0
那么就称这个系统*号给出的这个状态方程系统
它这个特定的状态x^(-)(我们初态是x^(-))是能控的
如果这个x^(-)是从状态空间任意选取的一点
那么就称整个系统是状态完全可控的
简称这个系统是能控的 或者称为一个能控系统
如果一个系统存在某个特定状态不满足上面这个条件
就是不能够找到一个有限的时间t
让这个x^(-)特定的状态对于任意u来说
它都不能等于末态x(t)=0
那么这个系统称为不能控系统
这是我们讲这个能控性的概念
与这个概念有关的 有另外一个定义
是说如果我们这个(*)号式子从一个0的初始状态
x(t0)=0推向一个末态x(t)=x^(-)的控制作用u(t)
那么就称这个x^(-)是系统一个能达的状态
能达呢是指从原点出发能达
如果这个x^(-)可以是状态空间任意一点的话
我们就把这个系统称为是在感兴趣的
时间区间[t0,t]上面的一个状态完全能达的这样一个系统
大家可以从这个定义看出
能控和能达讲的都是关于这个输入作用底下
在有限时间之内
从一个状态到另外一个状态这样转移的能力
但是它们的区别在哪
就是能控是指从一个非0的初始状态出发 要回到0
那么能达是从0状态出发 要到任意一个状态
所以一个是能控 一个是能达
从图形上我们可以简单来看一下这两者也是有区别的
这个区别也就是
左图指的是x^(-)这个状态它的能控性
就是让它在t时刻的时候 要真正回到原点上
能达呢则是指的从一个原点出发
经过一段时间以后到达我们期望的x^(-)这种能力
那么能控能达看起来的话应该是不同的概念
但是在我们这个线性定常系统里面
我们下面要稍微做点分析的话
会揭示出来 其实这两个性质对于线性定常连续系统来说
本质上是等价的
我们就来看一下为什么是这样的
首先我们来看一下根据能控性的定义的话
也就是说我们经过一段时间
从t0出发到t的话
那么x(t)到底跑到什么地方
我们从能控性的定义说
希望它从初始状态x0出发要回到0
所以我们就要看x0=0这个条件底下
那么控制需要满足什么条件
那就是在我们这个（**）式子里面令x(t)=0
得到下面这个式子 就是0=e^A(t_alpha)
在这里用了一个t_alpha来表示我们的末态时刻
e^A（t_alpha-t0）*x0
加上后面这个在输入作用底下的状态转移的分量
那么就可以导出什么呢
就是说我们这个输入应该满足下边（***）这个式子
也就是说x0 它应该等于负的t0到t_alpha的积分
然后这个e的A t和Bu(t)做卷积在这上面
我们希望应该存在这样一个u信号
让它的卷积结果正好等于x0 （添个负号）
完全能控的话
意思是说你要满足（***）这个式子
对于一个任意的非0初态x0都要成立的
那就是说你这个无约束控制本身呢
要满足这样一个状态
就是满足这样一个条件做到完全能控
也可以看出来呢
要想让x0某一个状态是能控状态的话
就必然能够找到满足（***）这样一个式子u这个信号
这是关于能控性的条件
从这个状态响应表达式里面我们分析出来的
那么我们再来看一看这个能达性
能达性不是说从0出发吗
那么就希望从0出发的时候能够到达任一个状态
这个时候我们还是看一下全状态响应（**）这个式子
（**）这个式子里面讨论能达性呢
实际上就是要看一看 把这个x0置成0
那就只剩下后面这个强制分量
也就是只有u(t)这部分
所谓的零状态响应这个地方
我们想让在t时刻的时候
它要到达x^(-)这个状态
那么就得出来这个条件就是u要去满足这个式子
就是对于任意一个x^(-)
你能找到u满足（****）这个式子
那么同样的 如果让某一个状态x^(-) 是可达的话
你就应该能够找到一个无约束的控制
u(t)满足这个（****）式子
那么我们要比较（****）这个式子的话
和前边这个（***）这个式子比较就可以看出来呢
由于这个e^At这个矩阵是一个非奇异矩阵
因为我们讲过啊
它其中有很重要一个性质
就是它这个逆矩阵e^（-At）肯定存在的
所以我们就比较一下（***）和（****）这两个式子
我们仔细看一下 就会发现呢
它里面实际上是差一个e^At这个表达式
那么这样我们就知道
能控性和能达性这个条件从数学上
对于一个连续的线性定常系统而言
它是完全等价的
这样也就使得我们抽象的讨论这个能控性问题呢
其实把能达性也都同时解决了
这就是为什么接下来我们会侧重在能控性这个问题上
而很少涉及到能达性这个问题
当然从工程概念上来说的话
这个能控也好 能达也好
它总的来说是反映了
我的输入去影响内部状态这种操控的能力
当然这种更细化严格定义 我们在这看到了
就是能控性是指的
一个偏差的状态回到平衡点原点的这个能力
让它在受控的情况下回来的能力
那这是我们关于能控性的定义
-线性系统理论的一个有趣应用
--视频
--动画文件
--课件
-系统的概念
--视频
--课件
-系统的概念--作业
-动态系统的分类
--视频
--课件
-动态系统的分类--作业
-因果系统的状态
--视频
--课件
-线性系统和非线性系统
--视频
--课件（1）
--课件（2）
-线性系统和非线性系统--作业
-定常系统和时变系统
--视频
--课件
-非线性系统的线性化
--视频
--课件
-非线性系统的线性化--作业
-时变系统的定常化
--视频
--课件
-时变系统的定常化--作业
-LST1-1-1 状态、状态空间及系统的状态空间描述（一）
--视频
--课件
-LST1-1-1 状态、状态空间及系统的状态空间描述（一）--作业
-LST1-1-2 状态、状态空间及系统的状态空间描述（二）
--视频
--课件
-LST1-1-2 状态、状态空间及系统的状态空间描述（二）--作业
-LST1-1-3 状态、状态空间及系统的状态空间描述（三）
--视频
--课件
-LST1-1-3 状态、状态空间及系统的状态空间描述（三）--作业
-LST1-2-1 由输出输入描述导出状态空间描述（一）
--视频
--课件
-LST1-2-1 由输出输入描述导出状态空间描述（一）--作业
-LST1-2-2 由输出输入描述导出状态空间描述（二）
--视频
--课件
-LST1-2-3 由输出输入描述导出状态空间描述（三）
--视频
--课件
-LST1-3-1 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（一）
--视频
--课件
-LST1-3-2 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（二）
--视频
--课件
-LST1-3-2 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（二）--作业
-LST1-4-1 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（一）
--视频
--课件
-LST1-4-2 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（二）
--视频
--课件
-LST1-4-2 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（二）--作业
-LST1-4-3 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（三）
--视频
--课件
-LST1-4-3 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（三）--作业
-LST1-4-4 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（四）
--视频
--课件
-LST1-5-1 线性定常系统的特征结构
--视频
--课件
-LST 1-6-1 线性定常系统的坐标变换及其特征（一）
--视频
--课件
-LST 1-6-1 线性定常系统的坐标变换及其特征（一）--作业
-LST1-6-2 线性定常系统的坐标变换及其特征（二）
--视频
--课件
-LST1-6-2 线性定常系统的坐标变换及其特征（二）--作业
-LST1-6-3 线性定常系统的坐标变换及其特征（三）
--视频
--课件
-LST1-6-3 线性定常系统的坐标变换及其特征（三）--作业
-LST1-6-4 线性定常系统的坐标变换及其特征（四）
--视频
--课件
-LST1-6-4 线性定常系统的坐标变换及其特征（四）--作业
-LST1-6-5 线性定常系统的坐标变换及其特征（五）
--视频
--课件
-LST2-1-1 线性连续定常系统状态方程的解
--视频
--课件
-LST2-1-1 线性连续定常系统状态方程的解--作业
-LST2-2-1 状态转移矩阵及其属性和算法（一）
--视频
--课件
-LST2-2-1 状态转移矩阵及其属性和算法（一）--作业
-LST2-2-2 状态转移矩阵及其属性和算法（二）
--视频
--课件
-LST2-3-1 脉冲响应矩阵
--视频
--课件
-LST2-4-1 系统的模态
--视频
--课件
-LST2-5-1 系统的外部稳定性
--视频
--课件
-LST2-6-1 线性定常系统的内部稳定性判据
--视频
--课件
-LST3-1-1 能控性与能观测性的定义（一）
--视频
--课件
-LST3-1-1 能控性与能观测性的定义（一）--作业
-LST3-1-2 能控性与能观测性的定义（二）
--视频
--课件
-LST3-1-2 能控性与能观测性的定义（二）--作业
-LST3-1-3 能控性与能观测性的定义（三）
--视频
--课件
-LST3-1-3 能控性与能观测性的定义（三）--作业
- LST3-1-4 能控性与能观测性的定义（四）
--视频
--课件
- LST3-1-4 能控性与能观测性的定义（四）--作业
- LST3-1-5 能控性与能观测性的定义（五）
--视频
--课件
- LST3-1-6 能控性与能观测性的定义（六）
--视频
--课件
- LST3-1-6 能控性与能观测性的定义（六）--作业
- LST3-2-1 能控性与能观测性的判据（一）
--视频
--课件
- LST3-2-2 能控性与能观测性的判据（二）
--视频
--课件
-LST3-2-3 能控性与能观测性的判据（三）
--视频
--课件
-LST3-2-4 能控性与能观测性的判据（四）
--视频
--课件
-LST3-2-5 能控性与能观测性的判据（五）
--视频
--课件
- LST3-2-6 能控性与能观测性的判据（六）
--视频
--课件
- LST3-2-6 能控性与能观测性的判据（六）--作业
-LST3-2-7 能控性与能观测性的判据（七）
--视频
--课件
-LST3-2-8 能控性与能观测性的判据（八）
--视频
--课件
-LST3-3-1 能控性能观性指数
--视频
--课件
-LST3-3-1 能控性能观性指数--作业
-LST3-4-1 对偶性原理（一）
--视频
--课件
-LST3-4-1 对偶性原理（一）--作业
-LST3-4-2 对偶性原理（二）
--视频
--课件
-LST3-4-2 对偶性原理（二）--作业
-LST3-5-1 系统结构的规范分解（一）
--视频
--课件
-LST3-5-1 系统结构的规范分解（一）--作业
-LST3-5-2 系统结构的规范分解（二）
--视频
--课件
-LST3-5-3 系统结构的规范分解（三）
--视频
--课件
-LST3-5-4 系统结构的规范分解（四）
--视频
--课件
-LST3-5-4 系统结构的规范分解（四）--作业
-LST3-6-1 能控标准型和能观标准型（一）
--视频
--课件
-LST3-6-2 能控标准型和能观标准型（二）
--视频
--课件
-LST3-7-1 传递函数矩阵的实现问题（一）
--视频
--课件
-LST3-7-1 传递函数矩阵的实现问题（一）--作业
-LST3-7-2 传递函数矩阵的实现问题（二）
--视频
--课件
-LST3-7-3 传递函数矩阵的实现问题（三）
--视频
--课件
-LST3-7-4 传递函数矩阵的实现问题（四）
--视频
--课件
-LST4-0 绪论
--视频
--课件
-LST4-0 绪论--作业
-LST4-1-1 状态反馈与输出反馈（一）
--视频
--课件
-LST4-1-1 状态反馈与输出反馈（一）--作业
-LST4-1-2 状态反馈与输出反馈（二）
--视频
--课件
-LST4-1-2 状态反馈与输出反馈（二）--作业
-LST4-1-3 状态反馈与输出反馈（三）
--视频
--课件
-LST4-1-3 状态反馈与输出反馈（三）--作业
-LST4-2-1 极点配置（一）
--视频
--课件
-LST4-2-1 极点配置（一）--作业
-LST4-2-2 极点配置（二）
--视频
--课件
-LST4-2-2 极点配置（二）--作业
-LST4-2-3 极点配置（三）
--视频
--课件
-LST4-2-4 极点配置（四）
--视频
--课件
-LST4-2-5 极点配置（五）
--视频
--课件
-LST4-2-5 极点配置（五）--作业
-LST4-2-6 极点配置（六）
--视频
--课件
-LST4-2-6 极点配置（六）--作业
-LST4-3-1 状态反馈镇定
--视频
--课件
-LST4-4-1 状态反馈解耦（一）
--视频
--课件
-LST4-4-1 状态反馈解耦（一）--作业
-LST4-4-2 状态反馈解耦（二）
--视频
--课件
-LST4-4-2 状态反馈解耦（二）--作业
-LST4-4-3 状态反馈解耦（三）
--视频
--课件
-LST4-4-3 状态反馈解耦（三）--作业
-LST4-5-1 状态观测器（一）
--视频
--课件
-LST4-5-1 状态观测器（一）--作业
-LST4-5-2 状态观测器（二）
--视频
--课件
-LST4-6-1 分离性原理（一）
--视频
--课件
-LST4-6-1 分离性原理（一）--作业
-LST4-6-2 分离性原理（二）
--视频
--课件
-LST4-6-3 分离性原理（三）
--视频
--课件
-LST4-7-1 跟踪控制和扰动抑制（一）
--视频
--课件
-LST4-7-1 跟踪控制和扰动抑制（一）--作业
-LST4-7-2 跟踪控制和扰动抑制（二）
--视频
--课件
-LST4-7-2 跟踪控制和扰动抑制（二）--作业
- LST4-7-3 跟踪控制和扰动抑制（三）
--视频
--课件
- LST4-7-3 跟踪控制和扰动抑制（三）--作业
-LST4-7-4 跟踪控制和扰动抑制（四）
--视频
--课件
-LST4-7-4 跟踪控制和扰动抑制（四）--作业
-LST4-8-1 线性二次型最优控制（一）
--视频
--课件
-LST4-8-1 线性二次型最优控制（一）--作业
-LST4-8-2 线性二次型最优控制（二）
--视频
--课件
-LST4-8-3 线性二次型最优控制（三）
--视频
--课件
- LST4-8-4 线性二次型最优控制（四）
--视频
--课件
-LST5-0 复频域理论概论
--视频
--课件
-LST5-1-1 传递函数阵及其MFD
--视频
--课件
-LST5-1-1 传递函数阵及其MFD--作业
-LST5-2-1 MFD的真性及其判别准则
--视频
--课件
-LST5-2-2 由非真MFD导出严格真MFD
--视频
--课件
-LST5-3-1 不可简约MFD（一）
--视频
--课件
-LST5-3-1 不可简约MFD（一）--作业
-LST5-3-2 不可简约MFD（二）
--视频
--课件
-LST6-1-1 Smith-McMillan形
--视频
--课件
-LST6-1-1 Smith-McMillan形--作业
-LST6-2-1 多变量系统的极点零点定义和属性
--视频
--课件
-LST6-2-1 多变量系统的极点零点定义和属性--作业
-LST6-2-2 结构指数，无穷远处的极点和零点（一）
--视频
--课件
-LST6-2-3 结构指数，无穷远处的极点和零点（二）
--视频
--课件
-LST6-2-3 结构指数，无穷远处的极点和零点（二）--作业
-LST6-2-4 传递函数阵在极点零点上的评价值
--视频
--课件
-LST6-3-1 零空间
--视频
--课件
-LST6-3-2 最小多项式基和Kronecker指数
--视频
--课件
-LST6-3-2 最小多项式基和Kronecker指数--作业
-LST6-3-3 传递函数阵的亏数
--视频
--课件
-LST7-1-1 多项式矩阵描述
--视频
--课件
-LST7-1-2 不可简约的多项式矩阵描述
--视频
--课件
-LST7-1-2 不可简约的多项式矩阵描述--作业
-LST7-2-1 解耦零点
--视频
--课件
-LST7-2-1 解耦零点--作业
-LST7-3-1 系统矩阵
--视频
--课件
- LST7-4-1 严格系统等价（一）
--视频
--课件
- LST7-4-1 严格系统等价（一）--作业
-LST7-4-2 严格系统等价（二）
--视频
--课件
-LST7-4-2 严格系统等价（二）--作业
-LST8-1-1 具有补偿器的输出反馈（一）
--视频
--课件
-LST8-1-2 具有补偿器的输出反馈（二）
--视频
--课件
-LST8-1-3 具有补偿器的输出反馈（三）
--视频
--课件
- LST8-1-4 具有补偿器的输出反馈（四）
--视频
--课件
-LST8-2-1 输出反馈动态解耦控制（一）
--视频
--课件
-LST8-2-2 输出反馈动态解耦控制（二）
--视频
--课件
