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同学们好
这节课来学习极点配置定理
首先我们介绍一下什么是极点配置定理
假如说我们现在考虑的控制系统
是一个单输入的受控系统
x一点等于A（乘以）x加上b u(t)
这里边由于输入的个数是1
所以u的系数矩阵就是一个列向量
那我们这个极点配置定理说的是什么呢
就是说如果我们这个系统的全部极点
它可以任意配置到我们所期望的位置
它的一个充分必要条件就是
(A, b)这个矩阵对是一个完全能控的矩阵对
那这里我们首先需要解释一下
就是所谓可任意配置
并不是说我们这个系统的n个极点
它可以在复平面的任意位置
它必须要满足我们数学的一些基本的约束
因为我们知道
如果我们的A和b是实数矩阵的时候
那么这个系统的闭环极点
它要么是纯实数的
要么是复数的
当这个极点是复数的时候
它必须是成对出现的
就是如果有一个极点是等于a+bi
那a-bi这个复数肯定也是一个闭环极点
所以说我们这个期望极点如果是满足这样（的条件）的话
而且任意这样组合的极点我可以任意配置的话
那我们下面要证明
它的一个充分必要条件是(A, b)完全能控
那我们首先说明
这个结论实际上是我们在线性系统综合理论中的
一个非常非常重要和核心的结论
这个结论
我们虽然在这里面证明给出的是对单输入系统给出证明
但实际上它也适用于多输入系统
那具体的证明大家可以在教材的6.10节里面可以找到
而且这个结论为什么这么重要呢
它实际上深刻的体现了
我们这个能控性在控制系统综合中所起的关键作用
大家在前面学习能控性的时候可能会有这样一个感觉
就是我们这个能控性到底有什么用
它只是告诉我们这个系统
从任何一个非0的初始状态能够把它控制到0
那这个结论在我们实际的控制设计中有什么用呢
那实际上这个结论就告诉我们
这个实际上是保证了
就是能控性实际上它是用来保障
我们这个系统性能能够得到任意改善的
这样一个基本的条件
好我们下面来具体地证明一下这个结论
首先我们证明它的必要性
也就是说如果这个系统的闭环极点可以任意配置的话
那么这个时候(A, b)的这个矩阵对肯定是完全能控的
那我们用反证法
就是如果这个(A, b)是不完全能控的
那么我们就要反证
那么这个闭环极点它肯定没有办法任意配置
好我们来看
假设这个(A, b)是不完全能控
我们知道
根据我们前面学过的系统的能控性分解
我肯定能够找到这样一个非奇异变换P
使得系统的状态变量x它能够分成两部分
那对应于这两部分
我可以把这个A矩阵把它变换成这样一个上三角的矩阵
b这个向量可以变换成上面这一部分向量是非0
下面这一部分是为0的
这是我们系统的一个能控性分解
其中上面这一部分代表了我们系统的能控的部分
其中A_bar_c_bar对应于系统的不能控部分
那我们看一下
假如说我们现在有一个状态反馈矩阵k
我们把k这个向量分成k1和k2这两部分
其中k1的维数是我们系统能控（变量）的维数
k2的维数是我们系统不能控变量的个数
那我们看一下
这时候闭环系统的系数矩阵从A变成了(A-bk)
那我们如果要分析它的极点的话
实际上等价的我们可以先把它变换到
能控性分解的这个坐标系下面
也就是说我可以对这个(A-bk)
通过这个非奇异变换P做一个变换
因为我们知道这个变换实际上不改变极点的分布
所以这个极点实际上是不变的
那在做了变换以后
大家可以看到
其中第一项就变成了P（乘以）A（乘以）P逆
这就是我们变换后的A_bar这个矩阵
第二部分P（乘以）b乘以k（乘以）P逆这一部分
我就可以把它分成两部分
其中P（乘以）b就变成了我们的b_bar
然后后面这个k乘以P逆这个向量
我们把它叫做k_bar
所以我们这时候就可以根据我们刚才上面表述的
A_bar和（b_bar）的分块表述
就可以把它写出来
假如说我把这个k_bar的两部分分别叫做k1_bar和k2_bar
它分别对应于我们这个能控部分和不能控部分
那这时候我们就可以把这个
A_bar - b_bar（乘以）k_bar这个矩阵
写成我们这个分块矩阵的形式
那这时候大家就可以看到
这个时候这个矩阵的极点就由我们两个对角块决定
因为这是一个上三角矩阵
那其中第一个对角块是
Ac_bar - bc_bar乘以k1_bar
那这一部分由于我们状态反馈的引入
它的极点的位置发生了改变
但是第二部分这个A_bar_c_bar这一部分
不管这个状态反馈是怎么引入
这一部分它还是原来的A_bar_c_bar
也就是说状态反馈它不影响这一部分极点的分布
也就是说状态反馈不能够改变这一部分极点的位置
所以这是和我们这个极点可任意配置的假设是矛盾的
所以说我们这个必要性成立
也就是说如果我们这个极点是可任意配置的
那这个系统必然是完全能控的
这是我们必要性的证明
我们下面来看一下充分性怎么证明
这里面我们给出的实际上是一个构造性的证明
它也是后面我们形成的极点配置算法的一个基础
我们看
假如说我们现在系统是完全能控的
也就是(A, b)这个矩阵对是完全能控的
我们来证明
这时候系统的闭环极点肯定是可以任意配置的
首先我们把系统的
就是A的特征多项式也就是说(sI-A)的行列式
把它的特征多项式我们叫做alpha(s)
那它的系数分别是a_(n-1)到a0
分别表示s的(n-1)次到常数项的系数
我们先做这样一个记号
那另外一个呢
我们可以通过非奇异变换把(A,b)化为能控规范形
这个能控规范形我们前面学过
它长的是这个样子
就是说我们这个A矩阵变完以后
A_bar是分成4块
其中右上角这块是一个(n-1)维的单位阵
左边的这一列的前(n-1)行都是0
然后这个矩阵的最后一行
它所对应的这些元素就对应于
A矩阵它的特征多项式的系数
也就是说我们上面求到的alpha这些系数
这些系数的相反数相应地填到相应的位置
那么在这个能控规范形下面
这个b向量就变成了一个标准的一个单位向量
它的所有的前(n-1)个元素是0
最后一个元素是1
所以这个时候如果我们在这个坐标系下面引入
这样一个状态反馈
假如说我们这个状态反馈系数是k_bar等于
第一个系数是k0_bar
到k_(n-1)_bar
那这个时候闭环系统的矩阵
会变成
大家可以计算一下
就把这A_bar和b_bar和k_bar的数值代进去以后
大家可以看到
由于这个b_bar它只在最后一个元素是1
前面都是0
所以A_bar - b_bar k_bar
它只在最后一行元素上发生了改变
那这个改变就是原来的-a0变成了-a0 - k0_bar
-a1变成了-a1 - k1_bar
这个大家可以简单地去算一下
这是很容易验证的
那么我们可以看一下
那么在这个变换下面
它能够对系统的极点发生什么样的改变
从另外一个角度我们可以看
如果我们希望这个系统的闭环极点配置到
lamda_1_star到lamda_n_star
就是我们选择好这样一个期望闭环极点组以后得到
这样的一个期望的特征多项式以后
那这个特征多项式就应该等于
我们前面推导出来的
这个闭环系统系数矩阵的它的特征值
我们知道这个闭环系统的系数矩阵的特征值
其实就是对应于a0 + k0_bar, a1 + k1_bar, ...
这些系数它应该等于
我这个期望特征多项式alpha_star(s)里面
相应的系数
所以从这里边我们就可以列出这样的一个方程
也就是说a0 + k0_bar就应该等于a0_star
所以从这儿我们就可以推出来
k0_bar就应该等于a0_star - a0
那同样的道理
这个i从0到1到(n-1)都成立这样一个关系
所以说我们这样就可以确定这个反馈系数
ki_bar就应该等于ai_star - ai
在这样的反馈律下面
我们就可以让反馈闭环系统的特征多项式
变成alpha_star(s)
也就是说我们可以把闭环极点配置到我们期望的位置
那在这里面我们实际上可以看到
这里面的这个能控性是保证我们可以这样做
因为只有这个系统完全能控
我才能够把这个系统变成这样一个能控的规范形
那在这里（根据）能控规范形
我们就可以很容易地把需要的反馈系数求出来
最后大家需要注意一点
就是我现在求出来这个反馈系数
实际上它是在能控规范形的这个坐标系下面求出来的
它并不是我们最初在定义这个系统状态空间模型
所用的这个坐标系
所以说为了使得
反馈对应于我们实际的定义的原始的状态空间模型
我们还需要把这个状态反馈律
变换到原来这个坐标系下面
那这个变换实际上是很容易的
因为我们知道了
如果这个变换矩阵是这个P的话
那么原来这个坐标系下面我们所需要的反馈矩阵k
就等于我们现在求出来的这个k_bar再乘以P的逆矩阵
所以说我们最后一步只要做这样一个变换
就可以得到我们最终所需要的反馈矩阵
那这样我们就可以证明我们这个极点配置定理
以后我们就会基于这个极点配置定理去研究
具体怎么样去设计算法来配置系统的极点
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