当前课程知识点：线性系统理论 > 第九周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：矩阵分式描述 > LST5-2-1 MFD的真性及其判别准则 > 视频
我们给大家介绍过矩阵分式描述
所以我们知道MFD它现在代表矩阵分式描述
在这里面我们现在来探讨一下
矩阵分式描述它的真性和严格真性
这个话题是什么原因要去感兴趣呢
主要是这样的 我们也曾经给大家提到过
我们在复频域里面去综合这个控制器的时候
我去做设计 去设计一个控制器
那么这其实等价于去解一个补偿器方程
而这里面补偿器方程待定的参数是什么呢
就是我们控制器的分子分母矩阵
像我们Nc Dc这个矩阵
那么这个矩阵呢 大家都知道
在我们经典频域理论里面
我们感兴趣的是控制器是由一个待定有理分式决定
那么有理分式去做设计的时候
我们很重要的一个条件是什么
就是当我们找个控制器的时候
对它的结构上是有个要求的
这个要求其实就体现在
首先它必须在物理上是可实现的
而这个可实现的条件呢
在我们原来熟悉的经典频域里面
我们的这些控制器结构
其实事先都已经由约束条件给定了
那么在这个概念要推广到多变量情况
现在就变成了MFD它的一个结构性要求
在这呢我们说它就体现在MFD真性和严格真性要求上
那什么叫MFD的真性或严格真性呢
我们在这里给出定义
首先先定义一个传递函数矩阵的真性和严格真性
一个传递函数矩阵G(s)我们把它称为真的英文叫proper
如果当s趋于无穷的时候 这个G(s)极限是存在的
这什么意思呢
就是这个G(s)作为一个有理分式矩阵
那么它每个元素比如叫g_ij（s）
每个元素本身就是个有理分式
这个有理分式当s趋于无穷的时候
我们要看看这个有理分式极限是否存在
所谓存在呢 就无非是当s趋于无穷的时候
它要么是个常数 要是等于零
这个包括了等于零的情况
那么什么叫它不存在呢
就是当s趋于无穷的时候
它是发散的 没有一个极限存在
这是复变函数里面大家都很熟悉的内容
那我们就根据这个条件看 当s趋于无穷的时候
到底这个矩阵的极限是否存在来判定
它是否是一个真的有理分式矩阵
那么把真的有理分式矩阵G(s)
称为是一个真的传递函数矩阵
如果一个传递函数矩阵不但它的极限是存在的
而且它的极限是零
也就是它的每个元最终都趋向零
这种情况呢我们就把传递函数矩阵G(s)
称之为是严格真的 叫 strict proper
那么有了这个概念以后呢
我们就可以来定义什么叫一个真的MFD了
那么一个MFD ND逆 我们在这举的是UMFD的意思
我们把它称为真的或者严格真的
它意味着就是它对应的这个传递函数矩阵G(s)
就是ND逆乘出来这个G(s) 它是不是真的还是严格真的
那么这样大家就知道了其实我的MFD
大家前面我们都知道
它是描述一个传递函数矩阵
你给定一个MFD你总能够算出来对应的这个传递函数矩阵
那我们就说 如果它的传递函数矩阵是真的或者严格真的
就把这个MFD称为真的或者严格真的
这件事的重要性就体现在
我们去求解补偿器方程
或者说我们在复频域里去做设计的时候
我们决定这对参数矩阵NC DC
它是否能够设计出来
这里面我们有一个先决条件
就是要求它一定是真的 或者是严格真的
那么这一点 在我们经典频域理论里头也是这样要求的
就是无非当时要求的有理分式 这一对的多项式矩阵之比呐
它本身应该是个真的有理分式 或者说严格真的有理分式
那么这个体现在物理含义上 为什么要这样去做要求呐
是因为我们已知的现有物理系统都是因果系统
所以对应的微分方程实际上都是所谓的可实现的微分方程
体现为它的输入的各阶导数肯定是不能够超过输出的各阶导数
这就符合一个因果性的联系
那么体现为我们在这个有理分式变换
拉普拉斯变换出来的这个有理分式上的要求
就是我们的这个分母矩阵的阶次不能够低于分子多项式的次数
在这我们就可以知道 这个极限
极限的存在代表了分子分母的次数之比
有这样的一个关系 就是分母的次数不低于分子的次数
在这种情况下 我们就可以判定出来 它是真的
那么严格真 就是它次数至少要小于
分母的次数要比分子次数高一次以上 这样的一个要求
那我们知道呐
对于一个MFD来说 实际上现在从它的定义出发
我们去判定它是否是真的或者严格真的
这样一个判别方法 可以从定义出发
就是把这个ND逆乘出来 然后我们去看
它到底是不是一个严格真的传递函数矩阵
这个就是 我们已知MFD的两个参数矩阵
分子分母矩阵 我们可以这样来做
但是我也提到了 其实我们这个真性的要求
它是在我们去做设计的时候
是一个附加的一个约束条件
就是补偿器方程所附加的一个条件
这个时候呐 我们很可能
就是你的NC DC 这两个待定的多项式矩阵
它本身里面包含着你的设计 包含着你的设计参数
它还没有定下来
所以呐 你如果通过求逆
把它再乘在一起去判定的话 就不大现实
因这个这个操作实际上很难去处理
那么我们接下来就探讨一下
我们这个真性的判据到底是什么样
就是如果我给出来就是一个MFD
能不能不把它的传递函数矩阵给求出来再来判断它的真性
那么你求出来再判断真性
无非就是看每个元素它的分子分母次数之比
这倒是比较简单
但是我们现在想的一个途径
就是在这个里面 我们能不能找到一种
直接根据N和D这两个矩阵来做的判断
这样的一个条件到底是什么
我在这个地方需要强调一下
就是我们整个这个复频域理论
为什么会建立在MFD 就是矩阵分式描述
这样的一个数学模型的基础上来展开呐
很大的一个原因 在这里面就可以看出来
就是说基于这样一个两个多项式矩阵之比的形式
去处理我们这个多变量问题
它跟我们传统的经典频域理论
两个多项式之比去确定一个传递函数的
这个想法之间有很好的对应关系
那么我们在这里面去做综合的时候
它相应的数学理论是比较完善的
而且能够得出很多类似于我们
类比于我们这个单变量情况的结论
在这我就给大家一个例子来看一下
就是确实对于一个MFD而言
我们可以绕过把它乘开以后
再来判断这个真性的这样一个途径
而是直接去根据N和D这两个多项式矩阵来判断
那我们给定这里的结论
如果我们给定了UMFD ND逆 分子是N 分母是D
假定这个分母矩阵D是一个列次数既约多项式矩阵
那么我们下边就会有一个判据
这个判据是ND逆是严格真的
当且仅当N的列次数小于D的各个列次数
那么它是真的充要条件
就是N的各个列次数不高于D的各个列次数
这里面delta的表示代表是把多项式矩阵的列次数取出来
这个delta_cj表示取出这个多项式矩阵Dj列的次数来
比如说delta_cjN就代表把N的第j列的次数求出来
那么delta_cjD就代表把D的第j列的列次数求出来
那么这样的话 从形式上我们就可以看出来
就是如果你有两个多项式矩阵给出来
一个分子矩阵 一个分母矩阵
那我们这个判据说的事
就是说你只要比较分子分母的列次数
只要分子的列次数不高于分母的列次数它就是真的
如果它不但是不高于
而且是至少小一次的话 它就是严格真的
这样的话 就把我们原来这个
单变量的分子分母比较次数这件事就直接推广到了
分子矩阵和分母矩阵比较次数
这个结论是非常漂亮的
就是可以看出来我们之所以用这个分式矩阵描述
原因是它可以继承了我们单变量的好多非常好的这个性质
做综合的时候 就是比较容易来展开这两方面的设计
那这里头我想强调一点
因为我们一个多项式矩阵来说 如果是个列向量
就是其中它的每一个元都是一个多项式这样一个列向量的话
我们就比较这些元当中次数最高的那个项
就是说那个次数称为这一列的次数
比如简单来说给个例子
比如说是1 作为第一个元素 s作为第二个元素
就这样的两行一列的多项式向量的话
那么我这个次数就是1次的
这个次数决定于s 它是1次的
那如果我们是s s的平方 这样一个列向量
那么它就是2次的列向量 简单就是这样来理解
那就是说我们随便给一个多项式矩阵
总能够确定它每一列的次数
那什么叫一个多项式矩阵是列既约的
或者叫列次数既约的
指的是如果把多项式矩阵的各个列的次数加起来
然后和行列式比较一下
当然因为我们在这面对是分母矩阵
我们说它是列既约的
那这里面约定 显然这个矩阵本身是个方阵
那也就是说它的矩阵是可以求行列式的
我们对这个矩阵如果求了行列式以后
可以求出一个多项式
这个多项式的次数如果恰好等于它的各个列次数之和
那么我们就把这个矩阵称为是列次数既约的
这里面大家可以看出来
这个列次数既约这个概念表示了一个什么东西呐
就是表示了我们表面上不去求行列式的情况下
把各个列次数加起来
这样代表了一个这样矩阵的一个次数高低
和直接求它的行列式的结果 是完全一致的
那么也就是在某种意义下 可以看出来这个矩阵
它的各个元素次数里边是不包含水分的 所以叫既约
这个既约的意思就是已经化简的意思
那么就是列次数已经化简过的矩阵
我们把它称为列既约的矩阵
那我们再回到刚才说的这个判据里面
它就是这样来说的
就是当我们给定了一个MFD的时候
把它的分子分母两个矩阵拿来
如果它的分母矩阵里面列次数不包含水分的话
那么我们做真性的判断就非常简单
就直接比较这个分母矩阵和分子矩阵各个列的相应的次数
看它的这个大小关系
那我们只要分母矩阵总是控制着这个分子的矩阵
比它要大 或者说至少不比它小
那我们这个矩阵就是真的 这样的一个判据
在这里面呐 我们给出来一些分析 这也是能够展示一下
就是说这里面的基本道理 所以我们给一个简要的证明
这个证明就是说这个判据为什么说是对的
那我们不把它算出来
这种情况到底我们行不行
那我们先证明它的必要性 这个必要性是说什么呐
就是说如果我们给定了G(s)
它是ND逆这个表示形式 我们由于这个G(s)
它本身我们假定是真的
那么这个时候我们就知道这个Gij
是满足了当我们s趋于无穷的时候
它是存在的 这就意味着
它的分母矩阵次数是不低于分子次数的
这种情况我们就知道你如果把Gs乘到Ds上边
根据MFD的定义 就是G=ND逆
那么显然这个GD就等于N
这个时候我们就知道N可以表示成为
Gik*Dkj这样一个sigma求和的形式
那么对于真的情况 我们就可以看出来
如果G的分母次数是不低于分子的次数
这样的有理分式都乘到D的多项式上面以后
我们如果把乘出来的结果再去求它的列次数的话
固定这个列的位置
那么就是delta_cjN就是在这个sigmak
k遍历了j以后 Gik*Dkj 这里面呐
求和以后 各个元求它的最高的次数
它都是不超过deltajD的
因为这里面每一个有理分式
都不会使它乘上的相应的那个D元次数升高
那么对于严格真的情况
那我们也可以有相应的证明 这就是必要性
我们如果知道ND逆乘出来的结果是真的话
那么我们就反过来可以推出来
这个N的各个列次数是不能超过D的各个列次数
那我们再来看这个充分性
也就是说如果我这个D是列既约的
然后N和D的列次数有这个控制关系
那我们就来确定
就是推出这个G他一定本身也是 s趋于无穷 极限存在
这个时候 我们看一下
就是首先当我们知道列既约的这个性质满足的时候
我们可以证明呐 D是可以分解成一个非奇异的矩阵
就是Dhc的系数矩阵乘上H加上Dlc的形式
其中这个Dhc是一个非奇异的常数矩阵
而这个H是一个对角型的矩阵 这个对角元是s的幂次
而这个幂次恰好对应于D的各个列次数
这样s的列次数幂作为对角线这样一个方阵
这是这个H 那么Dlc呐
这个矩阵是各个列次数均低于D的列次数的
这样一个多项式矩阵
那么根据我们已知的条件
就是N的各个列次数是不超过D的各个列次数
那么这个时候 我们就同样可以推出来
就是N也可以用这个H去进行分解
那么把N写成NhcH+Nlc(s)
同样的这里面Nhc是一个常数矩阵
然后Nlc是各个次数都不超过D的列次数的
相应的一个多项式矩阵
我们把ND^-1当s趋于无穷时求极限
这个极限表达式就可以写成按照H
给它分解的分子分母分别分解的这样一个乘积形式
这个乘积形式里边当我们把H在分子分母上分别做除法
也就是把NLc去除一下H DLc也除以H
然后我们取极限的时候就会发现什么呢
分子分母交换顺序以后s趋于无穷的这个极限呢
分子方面就是NHc+NLc*h 分母方面是DHc+DLc*h^-1
因为NLc和DLc的次数是不超过D的列次数的
所以当s趋于无穷时NLc*h^-1和DLc*h^-1的极限都是0
所以就剩下两个常数矩阵之比
这里面要看一下NHc*DHc的逆
也就说这里面DHc的逆就是
最后乘上去以后给出来的总的极限
DHc为何是可逆的呢 这就取决于D这个矩阵
本身是列次数既约的性质
也就是说 行列式的次数等于各个列次数之和
这个条件要求DHc本身是一个非奇异的常数矩阵
这是从列次数既约矩阵的性质推导出来的
所以我们就完成了关于判据充分性的证明
也就是说 当已知D是列既约 那么
N D逆的乘积的结果是否是真的这件事呢
完全可以由D和N的列次数之间的比较来判定
这就为我们基于MFD这个框架去做补偿性方程里面
控制器参数矩阵的设计
考虑什么条件下是可实现的 提供了一个理论上的依据
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