当前课程知识点：线性系统理论 > 第三周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（二）、系统的运动分析及稳定性 > LST 1-6-1 线性定常系统的坐标变换及其特征（一） > 视频
下面我们介绍关于状态空间模型中最后一个知识单元
这个知识单元是讲的坐标变换和坐标变换的主要特征
我们来讨论状态变量的线性变换
我们也把它叫做坐标变换
先给出它的定义
对于一个给定的动态系统
可以选择不同的状态变量组
这个我们前面已经多次提到
但是如何选取呢
我们现在还没有看出明显的例子
我们通过引入坐标变换给大家展示这样的方法
我们通过引入不同的状态变量组
可以得到不同的状态空间表达式
为了能够分析状态空间表达式之间的关系
我们来引入状态变量组之间的坐标变换关系
或者成为线性变换关系
具体来说 我们对于一个给定的系统
在这里面我们研究的都是线性定常系统
不加说明我们默认的都是线性的 时不变的
我们给出来这个系统的描述是星号事例
这里面 大家可以看到他的状态方程
它的输出方程里面的参数矩阵ABCD
全是和时间t无关的
那么给定这样一个状态变量的选取我们说
现在的状态变量是x
我们对于一个给定的系统的描述
状态方程和输出方程联立以后x星号这个式子
我们总是可以给他找一个非奇异的变换矩阵T
这个变换矩阵的维数实际上跟状态的维数是相应的
比如说我们有N维的状态
那么我们取的矩阵就是N乘N的非奇异矩阵
我们把原来的状态变量x看做一个线性变换
得到另外的状态向量
从这里我们可以用T的逆矩阵
因为他是非歧义的 就乘到x上面去
我们就得到一个新的变量z
z就等于T逆乘以x
或者我们也可以把x看做T乘以z的结构
我们如果做这样一个变换
其实就是把状态变量换成了另外一组状态变量
而这组状态变量是原来那组状态变量的线性组合
这个组合的方法是通过T逆的方法
我们把这样一个变换关系带入到原来的状态空间模型里去
就是这个新式里面去
就得到了新的状态空间表达式
这个表达式直接带入的结果是
因为x等于T乘以z 所以x1点就是p乘以z1点
那么Ax加Bu就变成了 ATz加上Bu
那么y等于Cx加Du就变成了y等于CTz加上Du
如果我们用新的状态变量来考察状态方程和输出方程
也就是说所有的状态都是针对z而言的
这是我们的状态方程就必须要调整
因为状态方程是关于
状态变化速率怎么样依赖于状态和输入线性组合
所以我们考虑的是z1点 z1点等于什么
根据我们前面的Tz1点等于ATz加上Bu我们导出了
把T两边同时求逆 那么就变成了
z点等于T逆乘以ATz加上t逆乘以Bu
所以要注意一下
这里面的状态方程是针对z而言的
所以我们所有的量不能出现x
我们都要把它换成z
我们的输出方程同样换成z和u怎么决定y的
就是y等于CTz加上Du
这就得到了两星这个式子
两星这个式子呢
如果我们把它的参数矩阵进行重新命名
就是说起一个新的名字
我们就可以更清晰的按照状态空间模型的方法
来得到状态空间表达式
我们把T逆AT称为a~ 把T逆B称为B~
CT称为C~ D称为D~
也就是通过三星所给出的矩阵的命名方法
带入到两星这个式子里就得到了一个新的状态空间模型
那就是以z为状态变量
u为输入y为输出的状态空间模型
那就是z点等于A~z加上B~u y等于C~z加上D~u
那么这样的话我们把原来的状态方程重新拿过来
跟它作为对比我们会发现
实际上经过坐标变换
就是由x等Tz或者z等于T逆x所定义的坐标变换
我们就从原来的x为变量的方程
导出了以z为变量的方程
这两个变量的方程分别是我们一星和二星这两个式子
它具有相同的输入和输出
我们把这两个模型所代表的系统成为代数等价系统
什么叫代数等价啊
意思就是说从坐标的关系上有一个互逆的关系
你可以看到x可以变成z z也可以变成x
但是我们要注意 这种变换有什么限制吗
除了对T是N乘N的可逆矩阵以外
没有任何其他限制
所以当你随意的选取T的时候
你就可以得到完全不同的A~B~C~D~这种参数
也就是说这个模型就发生了变化
所以我们可以说
由于坐标变换这个矩阵的选取无穷多
那么我们可以得到代数上无穷多个互相等价的系统
他们可以变来变去
也给我们一个途径
告诉我们状态变量的选取其实不是唯一的
虽然我们原来讲过 状态变量最好选取可以测量的
有直观的能量存储物理含义的形式
但这也不是完全必要的
那么当分析和处理问题有需要的时候
你可以根据你的需要来选取变量
但是这个选取肯定要与输入输出关系之间要有联系
我们下边给出一个具体的坐标变换的例子
来展示一下坐标变换如如何起作用
我们给出一个原来的状态空间表达式
它是x1点等于一个矩阵Ax加上Bu
这个A是[0 -2;1 -3] B是[2;0]
那么y是[0;3]乘以x
这个时候我们看到它是一个2乘2 A的一个矩阵
那么x是一个二维的向量
我们说进行坐标变换
去这个矩阵T也是一个2乘2的非歧义矩阵
在这我们选一个特别的[6 2;2 0]这样一个非奇异的矩阵
他之所以可逆
我们甚至可以把两个矩阵的逆直接换过来
是[1/2 0;1 -3]
我们利用z等于T逆乘以x这样进行坐标变换
也知道相应在z坐标底下的参数矩阵
会变成带~的这些矩阵
A~就是T逆乘以A乘以T
我们把T逆的表达式带入到这个T逆位置上来
再乘上A再乘上T
可以看到是[1/2 0; 1 -3] [0 -2; 1 -3] [6 2; 2 0]
乘出来的结果是 [0 1; -2 -3]
那么同样的B~是T逆B
他乘出来的结果是[0; 1]
C~是C乘以T等于[0 3] 乘以[6 2; 2 0]等于[6 0]
然后我们可以把z状态底下的
状态空间表达式重新整理出来
把~量带进来
我们就看到z1点就可以写成[0 1; -2 -3]z加上[0; 1]u
然后y等于[6 0]z
大家可能已经注意到了
这是我们以前所碰到过的一个特殊的形式
这就是我们的能控标准型
大家看看这个形式是不是一个A矩阵
是一个n减一维的单位阵放在这上边
底下是一些系数
b是[0;0;1]的形式 C是一个一般的形式
所以我们看到 我们原来给的这个系统
它的状态空间表达式没有什么特殊的地方
就是比较一般的一个表达式
但是哦我们通过坐标变换
把它化成我们所熟悉的能控标准型
你可以看到很有意思
也就是说我们坐标变换的选取方式方法是不唯一的
而且在这里面可以从一种表达形式转化成另外一种形式
也就是一个模型变成另外一个模型
当然我们也就看到了
如果我们原始的选取x作为变量的话
能够给出一个状态空间描述
而我们通过另外一种t逆乘以x的形式
从新定义出来两个变量z1 z2也可以作为状态变量
同样可以建立状态空间的表达式
这个是我们强调的状态空间中状态变量的坐标变化
它是很有用途的
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