当前课程知识点：线性系统理论 > 第八周（第二部分：线性系统的时域理论）：线性反馈系统的时域综合（三） > LST4-8-4 线性二次型最优控制（四） > 视频
同学们好
我们这次来学习最优跟踪问题
我们前面讲到我们在最优控制理论里面
关心的是有两类问题
一类是最优调节问题
希望我们这个控制在满足使这个性能指标最小的前提下
使得我们系统的状态在终端时刻能够回到原点
那么还有一类问题是最优跟踪问题
也就是说使得系统在满足系统性能指标最小的前提下
它还能跟踪已知的和未知的参考输入信号
那我们这节课来证明一下
实际上最优跟踪问题是可以转化为最优调节问题的
假如说我们现在有这样一个控制对象
x’=Ax(t)+bu(t) y=cx(t)
如果我们希望这个输出y跟踪某一个信号
那么这个信号可以由这样一个线性系统
z’=Fz这个系统来描述
就像我们在前面讲的跟踪控制和干扰抑制这个问题的时候
我们这个参考输入的信号 它可以由这样一个线性系统
这个动力学系统来描述的话
那我可以把它转化为一个最优调节问题
这个参考输入信号
y~(t)就等于z(t)的一个线性组合 就是Hz(t)
那我们最优跟踪问题 实际上就是这样定义的
J等于什么呢 它是一个积分性能指标
其中第一项 它是y(t)-y ?(t)
就是系统实际输出和我们的参考输入
他俩之间的差值或者是跟踪误差
在这个Q加权矩阵下面的性能指标
还有一个是针对的u(t)输入能量的性能指标
这两个性能指标的加权
那么这个时候
我们还同样Q希望要求它是一个半正定的
R是正定对称矩阵
那我们来看这个问题
怎么去转换为一个等价的最优调节问题
这个等价的思想还是很简单
就是我们把参考输入信号的模型
和我们原来的受控对象的模型
把它联合起来看成一个更大的动力学系统
这时候把参考对象系统模型状态变量z(t)
和我们的受控对象状态变量x(t)放在一起
我们把它看成一个更大的系统
这时候对应的系统的系统矩阵就变成AF构成一个对角矩阵
那么u(t)它只作用在控制对象上
u(t)前面的系数矩阵上半块是B 下半块是0
这个时候输出是什么呢
我们知道这个时候在性能指标函数里面
y(t)是x(t)的一个线性函数
y~(t)是z(t)的一个线性函数
所以说这两个信号作差
也就是跟踪误差可以表示成x(t)和z(t)
整个扩大的状态变量的线性函数
所以说我们就可以把这个跟踪误差
表示成x(t)和z(t)的一个线性组合
这个线性组合是什么呢
前面系数矩阵就是C和-H所构成的这样一个矩阵
实际上就是Cx(t)-Hz(t) 就是y(t)-y~(t)
用状态变量去进行线性表示的这样一个表达式
所以我们把这个表达式代到这个性能指标里面
我们可以看到 就可以合并起来
把这个状态变量中间加了这三个矩阵的乘积合在一起
就变成这样一个分块矩阵
而这个分块矩阵 我们知道 由于Q是半正定的
而我们这个乘积只是对这个半正定矩阵作了一个合同变换
所以做完合同变换的这个矩阵还是一个半正定的矩阵
所以如果我们把这个矩阵叫做新的Q矩阵的话
它就是针对我被控对象状态为xz
这样一个增广的状态变量控制对象的最优调节问题
这就是我们把最优跟踪问题
转化为以扩充状态变量为控制对象
一个等价的最优调节问题
根据最优调节器理论 我们知道
我们如果要解决这样一个最优跟踪问题的时候
就可以直接运用我们最优调节器的现成结论
因为我们知道这个时候最优控制律
它应该是满足一个反馈控制律
u^* (t)=-R^(-1) [B^T 0]P［ x^* (t) z^* (t)］
因为这个时候的B矩阵它是扩充的系统
u(t)前面的系数矩阵
所以它是B的转置乘以0 然后再乘以P
用完反馈的状态是一个扩充的状态
x和z的线性组合
这个P矩阵它应该满足这样的判定方程
这里的A矩阵是增广的A矩阵
Q矩阵是我们经过变换以后的Q矩阵
B矩阵是增广系统的B矩阵
很容易列出P矩阵所应该满足的Riccati方程
我们把Riccati方程的最后一项写开
就成了这个样子
这就是我们直接利用最优调节器理论的现成结论
去解决最优跟踪问题 这样一个方法
这就是我们这节课的内容
我们这节课就到这里
-线性系统理论的一个有趣应用
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