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我们介绍过这个能控性分解 它的基本的概念
以及从理论上指出了 能控性分解这个坐标变换阵
所应该可以采取的一个方案
那么我们接下来
通过一个具体的实例 数值的例子 告诉大家
就是说这个具体的变换的过程是怎么进行的
我们看一下这个例子
假设下面我们这个状态空间的描述啊
给的系统啊是一个3个状态 单输入单输出系统 如下给出
那么我们希望能够求取这个系统的能控子系统
当然我们还没有判断它是否能控
但是我们是想 看一下这个能控性系统子系统是怎么样的
如果它完全能控 那就是它本身 如果它不能控
我们可以求一个低于这个维数三维的这样一个子系统出来
下面我们给出这个分析过程啊
首先 我们看一下它的这个能控性矩阵
由于是3阶的 所以我们是b Ab和A方b
我们可以把它经过计算 很容易计算出来
这个过程我们在这略过去了
直接把结果写出来是这个0 -1 -4 然后是0 0 0; 1 3 8
那么很容易看出来 这个矩阵它是不满秩的
就是它的行不是满秩的 它的秩是2
根据我们理论上的分析
那它的能控部分变量的个数 应该是2
也就是说能控的维数是2 下面我们就来求这个变换阵
首先 我们从它的这个能控性矩阵当中啊
选取线性无关的两个列
我们把这个第一列和第二列给取出来
0 0 1和-1 0 3取出来
然后我们再任意的选一个
跟这两列都线性无关的三维的一个向量
这个向量我们把它选成0 1 0 当然你为了便于计算
你可以选择尽量简单的形式 那我们这个t就给出来
t给出来以后 我们因为要完成这个坐标变换
我们要求出这个逆矩阵 我们就把t逆也给求出来
当然对一个3*3的矩阵怎么求t逆的话
这是线性代数的基本问题
有很多的方法
我们常用的对低维问题的方法 可以是伴随矩阵的方法
我们在这不给出具体的过程
那么经过计算以后 我们就知道变化完了以后
这个A矩阵 B向量和C向量 分别变成出来形式
我们看到这个A~它具有一个 这个上三角的分块形式
那么上面的一个2*2的块 是0 -4; 1 4 然后 底下是0 0
这个在21的位置它是0 0
那么底下 是一个一维的这个对角的分块矩阵 它是1
然后我们的B矩阵 就是现在是B向量了
它是一个B~ 它是 被分成了一个2和1的两个分块
上面这个分块 是不等于0的 它是1 0 底下一个分块是0
那么正好对应于 我们就说不能控这部分的输入
那么C矩阵也有相应的变化
但是我们看到C矩阵没有什么特殊的地方
这样的话 我们可以从这个原系统当中
把它的这个能控部分给它提取出来
也就是按照X1~ 也就是变化新的坐标以后的前两个状态分量
我们把它提取出来以后
相应的系统的模型参数矩阵也可以给出
分别是我们A1 就是现在的0 -4;1 4
然后我们的这个B1~ 对吧 然后我们的这个C1~
就说是1 0和1 2这两块
这样我们就完整的给出了这个分析的结果
这就是我们这个例子
-线性系统理论的一个有趣应用
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