当前课程知识点：线性系统理论 > 第十二周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：复频域方法在系统设计方面的主要结论 > LST8-1-2 具有补偿器的输出反馈（二） > 视频
我们前面给大家介绍了
具有并联补偿的这样一种输出反馈系统的结构
并且用PMD对它的闭环的渐进稳定条件进行了分析
大家可以看到
这样一个系统给出的闭环渐进稳定的条件很有意思
让我们能够想起来最初在讲频域方法中
给大家简单提到的补偿器方程的形式
那么我们在这里再给大家介绍一种
就是跟经典的频域理论中作校正设计
直接对应的具有补偿的单位输出反馈
这样一种串联校正的模式
这样一个系统它的渐进稳定条件
大家也可以看到有类似的结论
首先我们在这里讨论的是这个图中所示的
就是具有补偿的单位输出反馈的情况
现在这个补偿装置我们称为C(s)
是串联在被控对象Go的前面一起形成一个单位输出反馈
在这里面我们假设被控对象Go是真的
并且由一个不可简约的MFD
(Go=No(s)*Do^(-1)(s))来表征
补偿器C(s)令它由一个左MFD给出
C(s)=Dc^(-1)(s)*Nc(s)
并且满足稳态时的一个非奇异矩阵的条件
就是I+Go(s)*C(s)整个矩阵的行列式
在s趋于无穷时不等于零
那么在这个时候我们可以给出闭环系统
渐进稳定的一个充分必要条件
就是Dc(s)*Do(s)+Nc(s)*No(s)
这样一个方阵的行列式等于零的根都具有负实部
这个条件其实跟我们前面介绍过的
并联补偿的输出反馈形式看起来比较类似
都是补偿装置的分母与对象的分母相乘
再加上分子分别相乘
这样得到的一个多项式矩阵它的行列式等于零的根
那么从这个形式上大家就可以非常清晰的看到
如果我们把求行列式的符号去掉
整个得到的这个矩阵如果给出的是一个理想的
或者说期望的闭环的分母矩阵的话
也就是要求闭环的分母矩阵
是一个具有期望的特征值的矩阵
那么这样的话我们可以通过指定闭环的特征多项式的形式
来要求整个系统具有期望的性质
特别地 如果要求所有的闭环极点都具有负实部
那么自动的就保证了整个系统的闭环渐进稳定性
如果我们进一步对这些极点的位置
包括它的衰减速度和阻尼等等有进一步的要求的话
我们还可以给出更具体的提法
那么这个时候就不仅仅是保证补偿器方程
(也就是Dc(s)Do(s)+Nc(s)No(s)=DCF^*(s))
这样一个星号矩阵它是渐进稳定
更进一步的是可以提定量的指标要求
在这里我们就是来介绍一下这个稳定性条件
实际上可以看出来跟补偿器方程之间的关系
下面我们类似于之前的讨论来给出稳定性条件的一个分析
就是说为什么需要满足这个条件
那么我们的分析方法
仍然是基于PMD的这样一种建模的分析工具
同样地 我们对这样一个具有补偿器的单位输出反馈系统
要选取系统的广义状态向量
这里面我们对组合系统总是约定整体的广义状态向量
是由各个部分的广义状态向量进行分块组合得到
所以我们在这里选取的整个系统的广义状态向量ξ
是由ξo和ξc这两部分构成的
那么ξo就是对象的广义状态向量
ξc就是控制器或者说补偿装置的广义状态向量
那么这样选取之后 我们可以根据对象和控制器的MFD的描述
相应地导出对应的广义状态方程和输出方程
再加上信号之间的连接关系
我们可以有条件地来推导整个系统PMD的模型
那我们首先看一下这两个系统满足的
广义状态方程和输出方程
那我们有Do*ξo=uo yo=No*ξo 那么Dc*ξc=Nc*uc yc=ξc
那么这里的uc(就是补偿装置的输入)是一个误差信号 是u-yo
yo是由单位负反馈引回来的Go的输出
uo=yc 也就是对象的输入是校正装置的输出
然后整个系统的输出是对象的输出 是这样一种形式
那么类似于我们前面对组合系统的推导
我们以ξo和ξc作为广义状态向量
然后和-u合在一起构成一个广义的输入向量
乘上一个系统矩阵 得到的是输出向量[0;0;-y]
这样一个分块向量
那么这个中间系统矩阵也是一个3*3的分块矩阵
那么第一行是[Do -I 0] 第二行是[NcNo Dc Nc]
第三行是[No 0 0]
大家也可以去验证一下
实际上每一行都分别对应了第一个子系统的广义状态方程
第二个子系统的广义状态方程
当然中间需要进行一些信号的代入
最后一行对应的是输出方程
那么对这样一个系统来说
我们同样如果要求它的特征多项式
也就是PMD的特征多项式 我们关注的是Ps的行列式
那么Ps现在是一个2*2的分块矩阵
我们把它取出来 这里用红框标出来
它实际上是[Do -I; Nc*No Dc]
那么我们对它简单的进行初等变换
同样地也可以知道这个行列式
和下面的行列式之间只差一个非零的常数
这个行列式就是DcDo+NcNo
那么这个矩阵求行列式
跟Ps这个多项矩阵求行列式 只差一个非零的常数
因为它只经过一个初等变换
那么这样的话我们就可以看到
就是需要这个PMD的所有极点都具有负实部的话
实际上等价于DcDo+NcNo
这个多项式矩阵的行列式等于零的根具有负实部
那么在设计过程中我们的要求其实就可以体现为
对DcDo+NcNo这个矩阵给它一个期望的形式
这个期望的形式我们不妨把它叫做补偿器方程的右端DCF^*(s）
那么这个DCF^*(s)显然它的设计是我们一个期望的目标
那么我们通过选取Dc和Nc来达成要求
这就是我们所谓的解补偿器方程问题
也就是设计C(s)这个校正装置MFD两个参数矩阵的过程
当然这个具体的内容也正好对应于我们要给大家讲解的
就是在复频域中怎么去做补偿装置的综合设计问题
那么是我们下面紧接着要介绍的内容
好 这一节就先介绍到这里
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