当前课程知识点：线性系统理论 > 第五周（第二部分：线性系统的时域理论）：状态变量的能控性和能观性（二） > LST3-6-1 能控标准型和能观标准型（一） > 视频
我们曾经给大家介绍过能控性和能观性的概念
那么能控能观的概念从逻辑上和从计算的角度
揭示出来就是系统在什么样的结构或者条件底下
输入对状态有完全的操控能力
或者输出可以对状态进行完整的估计
但是一般说我们的状态空间模型给出来啊
即使是能控的的系统
那么它给出来这个参数矩阵A和B
也是有非常一般的形式
而我们在做系统的设计 我们后边会提到
就是我们去设计一个我们希望的状态反馈
或者是控制器的时候
我们往往需要去设计控制器的参数啊需要去做一些综合
而这些事情在操作的时候对于一般的给出来的系统
一般的描述形式显得就不是很方便
而能控标准型啊有时候也把它称为能控规范型
在这个方面就有非常出色的表现
我们在不改变能控性的前提下
它的指导思想是我们通过坐标变换得到代数等价的系统
而它的描述方式
非常有利于我们去求解各种控制的设计问题
那这个时候就引入了
所谓的我们要获取一个给定的能控系统
或者一个能观系统它的规范性或者标准型的过程
我们首先先来介绍一下
把这个状态方程化成能控标准型的方法
那我们首先假定一个单输入单输出系统
给定了一个*式所代表的这个系统
把它化成一个能控标准型
那么这个系统我们假定它是完全能控的
我们这个能控标准型我们首先介绍一下
它到底是个什么样子的形式
我们先把它的形式介绍一下
如果有一个坐标变换
能把这个系统化出来一个*式所给出的标准型
而这里面的参数矩阵满足这样的形式
就是A~是这样一个分成四块的矩阵
有一个是n-1维的列向量
然后底下有一大行是一些负的系数
然后在它的上边的这个分块
(1,2)的这个位置上有一个n-1维的单位阵
这是A矩阵的要求形式
然后b矩阵因为是单输入所以它这个输入就是一个列向量
它就是一个01的形式
就是除了它第n个行以外其它的元素全是零
就是第n行这个元素是1
然后c是一个b_n到b_1这样一个一般的形式
如果我们经过一个坐标变换把一个能控的系统
化成了这种形式
那么我们就成这个系统已经化成了能控标准型
对能控标准型而言我们很容易做一个初步的分析
就是看一下这个能控标准型它的能控性怎么样
显然我们把它称为能控标准型
代数变换以后肯定不改变能控性 所以它能控
但是这个能控标准型有一个什么好处
就是它可以直接把它的能控性矩阵啊给它的结构揭示出来
我们可以看一下这个Q_c~式
那我们就把b~一直到(A~^n-1)*b~s给它逐列的带入
比如说b那就是0,1代进来
那我们再继续这样算
我们经过计算以后会发现实际上Q_c~具有很特殊的形式
它是一个斜的下三角矩阵
这个写的对角线是全1的
然后另外的一个写的对角线是-a_1
其它的是一些和分析秩没有关系的向量
然后它的斜的上三角这部分全是零
那么很显然这个矩阵是满秩的
因为它的写的对角线全1
我们很容易验证这是非奇异的矩阵
所以我们也可以从能控标准型角度来看
这个系统它完全是能控的
我们下边的结论说
就是对于一个单输入单输出的能控的系统
一定存在着一个线性变换矩阵
把它化成我们*式所给的能控标准型的形式
下边我们就来探讨一下变换阵是怎么构造的
这个变换阵的形式非常有意思
是和我们给定的参数有密切关系的
首先这个变换阵T可以写成两个矩阵相乘
一个矩阵就是把能控性矩阵
它的b的这个列的排列进行一个调换
就是把第1列排到第n列
第n列排到第1列这样一个调换
所以它的第一列是(A^n-1)*b
依次降幂的过程是Ab和b
第二个相乘的是一个下三角的矩阵
这个下三角的矩阵主对角线是1
然后次对角线是a_n-1
然后依次到最后这个位置是a_1这个数
那么这个a_1到a_n-1是什么
就是我们A矩阵特征多项式的系数
我们这个特征多项式的展开成（见PPT）
也就是说我们刚才用到这个乘积矩阵里边
用到这个系数a_1就是这个多项式里边一次项的系数
a_n-1就是s_n-1前边的系数
那么我们可以证明什么
我们可以证明如果我们这么来选取变换阵
并且利用这个新的坐标(T^-1)*x
那么我们就可以得到能控标准型
下边我们就用刚才说的构造变换阵的方法
来实际检验一下啊
因为证明我们略去了
我们就检验一下这样构造到底好不好使
就是说能不能把一个一般给定的能控性的系统
化成能控标准型的形式
所以我们看一个二阶系统的例子（见PPT）
那么化的时候我们先来判断一下这个能控性
我们很容易Q_c=[-1 -1;1 3]
并求出它特征多项式s^2-3s+2
然后我们看这个T是什么
这个T是把Q_c的两列交换一下位置就是[-1 3;-1 1]
然后乘上什么 就是一个[1 0;-3 1]
这样我们乘开以后就知道T=[2 -1;0 1]
然后T^-1也可以相应求出来
这样我们就可以知道A~是谁了
A~=（T^-1）*A*T
然后把我们的T^-1和T计算的结果代到里边再和A相乘
乘出来的结果发现它确实满足我们能控标准形里边的要求
它是一个分块的矩阵
这个分块里头有一个n-1阶的单位阵
就是我们现在A_21的位置
这个单位阵就是1维的
然后它的底下最后一行是一些系数
这里面就有-2，+3
这正好是我们特征多项式里面的系数取个负号
然后b~取个变换是0,1的形式也符合0,1的标准要求
这就是说如果只给定了状态方程我们就可以做变换
但实际当中有输出方程的话你还需要对
输出矩阵或者向量作相应的变换
当然我们可以看到现在这个变换确实
是通过这个方法能够造出来的
这就是我们的一个介绍
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