当前课程知识点：线性系统理论 > 第十周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：传递函数的结构 > LST6-2-2 结构指数，无穷远处的极点和零点（一） > 视频
我们前面给大家介绍了
传递函数矩阵的Smith-McMillan形
并且通过Smith-McMillan形
来定义了传递函数矩阵的零极点
这样大家就看到这个Smith-McMillan形是非常重要的
那么大家脑子里直接的一个问题
就是通过我们前面举的这个例子
心里就有一个疑问
就是说这个Smith-McMillan形在确定的时候
这两个变换阵感觉上
就是如果你去找的话 觉得有一定的随意性
好像就是说 变换的过程还比较麻烦
它这个步骤不是特别清楚
那我们就接下来讨论一下
和确定Smith-McMillan形有关的一些问题
在这个地方 我们接下来介绍的
就是这个传递函数矩阵的结构指数
这个结构指数应该是一种辅助的描述方式
这种描述方式可以帮助我们引导到
通过非常有效的途径来确定Smith-McMillan形
甚至进而确定零极点的重数这些基本问题
就是说避免了我们去做这些初等变换比较繁琐的手续
那我们对于这个给定的传递函数矩阵而言
我们把它的零极点的集合
有限的零极点集合 我们把它记做S_pz p就是极点
z就是零点 代表这个意思
S_pz就是它的零极点集合
对于属于这个零极点集合的某一个复数ξ来说
我们要定义属于这个ξ的传递函数矩阵的结构指数
我们把它记做σ1(ξ) 一直到σr(ξ)
那么这些σ1(ξ)到σr(ξ)称为这个结构指数集合的话
那么在这代表什么意思呐
其实这个意思很直观
就是对于一个G(s)的Smith-McMillan形 M当中
这个对角线上边 (s-ξ) 这样的因子
它出现的次数 比如说吧
我们看到这个结构指数的形式
如果某一个像咱们前面讲到的例子
它是这个第一个元素上面
分子上是s出现了
那么底下是s+1的平方乘以s+2的平方
像这样的一个例子 那我们看到
比如我们关心的是ξ=0的地方 那就是s-0也就是s
它出现的次数 那么既然它在分子上出现一次
我就把这个σ 这个0 出现的这个位置
σ1(0)就把它称为是等于1 就是出现一次就是1
要是出现在分母上怎么办
出现在分母上幂次就是负的
比如说s+1的平方 如果是这样
s+1这个因子出现了-2次 就这个意思
那么我们由此定义这个结构指数以后
我们就可以定义进而构造这个结构矩阵
这个结构矩阵是对于每个ξ都指定的
比如说mξs是什么呐
就是我们s-ξ的σ1次方一直到s-ξσr次方
这样一个对角型的矩阵
其他的没有标出来的这些非对角元素
我们都约定为0
这样的话 我们实际上就把Smith-McMillan形
做了一个结构分解
实际上大家知道我们这个Smith-McMillan形
只有r个主对角元是非零的
所以本质上你确定Smith-McMillan形
无非就等价于
确定这样一个对角线上的r个非零的有理分式
那么这件事我们实际上是可以通过
依次扫描这个可能的零极点位置然后把它的结构矩阵
如果能够通过某种方式得到的话
把它乘到一起
就能够恢复出来整个这个Smith-McMillan形
每个对角元上面这些有理分式
那么这个思路是对我们这个确定Smith-McMillan形
做了一个结构上的分解
那么使得我们原来要把整个这个
?和ψ全部挨个都给它求出来这件
相对来说比较复杂的事情给它简化到了
我对每一个ξ的位置
不管是零点还是极点位置
我单独来把它这个s-ξ这个方次
给它一个一个都定下来
最后乘在一起就可以了
这就是引入这个结构指数和结构矩阵的目的
就是做一种结构上的分析
那我们看一个例子 我们在这给出的例子
就是前面举过的
首先呐这个是一个Smith-McMillan形
它的第一个元是s除以(s+1)的平方(s+2)的平方
第二个元是s乘以(s+1)除以（s+2）
那么这样我们通过Smith-McMillan形
我们可以看出来它的零极点的这个位置呐
只有0 -1 -2 三个位置
然后我们看一下它的这个秩
就是到底有多少非零的这个对角元
在Smith-McMillan形里面
那么它是两个 对吧
那我们接着就对它进行分解
我们首先看这个M0(s)
M0(s)的意思就是在ξ=0的这个位置上
s-0这样的一个幂次出现分别在1 2两个位置上
出现的这个次数 我们看到呐它都是一次
所以呐我们说σ1(0)等于1 σ2(0)也等于1
那我们再看这个M(-1)
M(-1)这个结构矩阵是s+1 -2 和s+1
那原因是什么呐
我们在这看到了 就是在第一个对角元上面
s+1的幂次出现在分母上
出现了两次 所以它是一个σ1(-1)
它是-2 然后这个σ-1(2)就是s+1出现在第二个位置上
它出现的是正1次 所以σ2(-1)是1
这样它写出来的这个结构矩阵
就是M_-1(s)等于(s+1)^-2
然后s+1 这是第二个位置
那么s_-2(s)这个结构矩阵 就是(s+2)^-2 (s+2)^-1
那么分别对应的这个结构指数是
σ1(-2)=-2 σ2(-2)=-1
这样我们就看清楚了
就是说实际上 我们这个结构矩阵和结构指数的引入
确确实实把我们最终要确定的这个M这件事
给分成了确定三个m的这个事情
这个三个m分别是m0(s) m-1(s)和m-2(s)
这样一个逻辑上的关系 那么我们在这个里头
有一些对这个结构指数的一些性质的观察
给定一个传递函数矩阵G(s)
在给定的这个位置上 比如说ξ的位置上
它的这个结构指数σ1(ξ) 一直到σr(ξ)
首先我们根据这个Smith-McMillan形的一个基本要求
就是这些?依次能整除
然后这个ψ也是倒过来依次能整除的话
我们很容易看到
就说这个σξ是按照从1到r是一个单调不减的一个过程
就是它的次数是不会降低的
它只能是越来越高 那这个是它的一个特点
另外一个 我们这里头特别强调的就是
结构指数的引入
它的一个很大的好处就是它能够
把我们这个零极点以及重数这个件事可以给出
一个统一的表示
原因就是我们零点极点它分别都是在
s平面上的一个固定的位置 那么我们的G(s)
它在ξ处的零点的重数等于什么呐
就是它这个结构指数当中所有正数的和
那么这个G(s)在ξ处的极点到底有多少重呐
那就是这个σ1一直到σr(ξ)里面
这些负数的和的绝对值
比如说我们刚才看到这个例子里面
大家可以看到 我们举一个例子
比如说这个-1的位置上的重数
那么我们就可以知道它的σ1(-1)=-2 σ2(-1)=1
这就意味着什么呐
就是说G(s)在-1这个复平面上这个位置呐
它有两重的极点
而在-1的位置 同时又有一重的零点
那么同样对于0和-2 我们也可以做相应的结论
但这里面重点是要强调一下
一旦我们能够知道结构指数了
那么我们也就可以根据结构指数的正负来区分零极点
并且它们的重数
这是一个除了Smith-McMillan形之外附带的一个好处
就是这个结构指数和零极点的重数位置之间的关系
那我们下边就很期待
那既然是这样的话 我们这个结构指数怎么来求
显然不是通过单模变换得到Smith-McMillan形
而是通过其他的途径
而这点呢我们接下来回去做介绍
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