当前课程知识点：线性系统理论 > 第七周（第二部分：线性系统的时域理论）：线性反馈系统的时域综合（二） > LST4-5-2 状态观测器（二） > 视频
同学们好
我们这节课来学习全维状态观测器
我们前面介绍了
如果当被控系统的状态不能够完全测量的时候
可以通过引入状态观测器的办法来重构状态
间接地实现状态反馈
那么实际系统中的状态观测器我们怎么样去设计呢
这里我们首先给出一个最直观的办法
一个最直观的办法是什么呢
就是如果我们知道这个控制系统的控制模型
它是s'=As(t)+bu(t)
也就是说如果能够知道系数矩阵A和b是什么
就可以通过把这个系统布置一下来得到这个系统的状态
具体来讲
我们就可以按照A和b矩阵来构造这样一个系统sigma^
那这个系统的结构和被控系统的结构(A,b)是完全一样的
而且它们有共同的输入u 都是在u的输入下
那我们可以想象
如果这两个系统系数矩阵(A,b)是一样的话
就是这两个系统完全一样 而且输入一样
那么这两个系统的状态变量s和s^就应该是一样的
理论上大家应该可以想象有这样的结论
但实际上并不一定
因为我们知道一个线性系统的响应是由两部分来决定的
一部分是输入决定 一部分是系统的初值决定
所以我们知道如果这两个系统
(受控系统和观测器系统)结构完全一样的话
那对应于输入的这一部分
我们叫做零状态响应
这一部分响应应该是完全一样的
但是它们的零输入响应
也就是对应于初始状态这一部分响应
它们之间不一定是完全一样的
因为这取决于这两个系统的初值
我们知道可以在结构上布置
（设计状态观测器的时候）被控系统
但是在对布置系统赋予初值的时候
大家可以想象我们实际上是不可能
让这个系统的初值跟原来系统的初值完全一样
因为如果完全一样
就意味着我们就可以把原来这个系统的状态完全测量
因为如果要知道这个初值 就必须要对它完全测量
这是矛盾的
所以说一般情况下这两个系统的初值是有差别的
是未知的 是不一样的
所以一般情况下这两个系统的状态轨迹之间
实际上是有误差的 是有差别的
那我们怎么样来估计这个差别呢
我们可以简单来看一下
我们定义一下
这个观测误差叫做s~ = s - s^
就是这两个系统状态变量之间的差
那我们把这两个系统状态方程
其中被控系统状态方程是s'=As+bu
观测器系统的状态方程是s^'=A*s^+bu
那这两个方程中(A,b)完全一样
因为两个系统结构完全一样
它们的输入也一样 都是u(t)
所以这两个方程简单的做一个减法
方程的左边就变成了s~的导数
方程的右边bu(t)这一项就消掉了
所以剩下的就是A*(s-s^) 也就是A*s~(t)
所以大家可以看到
这个时候观测误差s~它就满足这样一个自治方程
这个方程只跟s~的初值有关 而跟输入没有关系
我们很容易可以解出来s~(t)=exp(At)*s~(0)
所以大家可以看到如果我们这个系统
（被控系统）是一个渐进稳定的系统
也就是A的所有特征值的实部都是负数的话
随着时间的增长 s~也就是观测误差它的值是趋于零的
这也就意味着观测误差的值趋于零
这个时候观测器的状态s^
跟被控系统状态s应该是渐进相等
所以这个时候我们布置的系统
就可以构成一个状态观测器
当然我们也可以看到这个观测器
虽然物理上非常直观 非常简单 但它有它的局限性
第一个局限性
就是这个观测器到底能不能观测原来系统的状态
取决于这个被观测系统是不是稳定的
但如果这个被观测系统不稳定
那这个系统观测误差就不收敛
所以这个时候是没有办法对原系统状态进行状态重构
第二个如果即使这个被观测系统是一个渐进稳定的系统
但是呐 这个渐进稳定系统呐 它响应比较慢的时候
我们也可以看到
也就是说我这个A的特征值如果比较靠近虚轴的话
那这个观测误差收敛速度可能比较慢
所以它的收敛速度是没有办法调节的
因为它只依赖于我们这个被控对象这个系统矩阵A
那么第三个局限是什么呐
就是我这个观察误差容易受矩阵AB的不确定性影响
因为我们推导出来x~观测误差它所满足的方程
是依赖于我们的一个假设
就是我们这个AB是完全知道的
只有AB是完全准确的知道的话
我才能够复制出这样一个结构
一模一样的系统 如果AB矩阵呐
我对它们的知识是不确定性的
那x~会受到别的因素的影响
这也会影响观测误差
所以说呐 这个观测器的构造给了我们一个思路
但是我们实际工程应用中的观测器
它应该在这个基础上作进一步的改进
怎么来改进它呐 我们来看一下
实际上我们可以看出来
假设我们现在知道这样一个被控系统
我们可以复制一个这样系统
那我们实际上在这个复制的系统里面呐
实际上我们利用了原来这个系统的输入信息u
以及它的的结构信息A和B
那实际上还有一些信息 实际上我们没有用到
那这些信息是什么呐
就是我们的输出信息
包括系数矩阵C以及输出变量y
所以说呐 我们如果能够把这些信息也利用上
我们就有可能对我们观测器性能作进一步的改进
在这里面呐
我们利用这样一个结构
就是说什么呐 就是把这个被复制系统里面呐
也同样的对它的观测状态x^
乘以同样的系数矩阵C得到一个y^
就是我们观测器的输出
我们把它和我们实际系统输出y做一个比较
比较出来得到一个误差
我们把这个误差做一个线性变换L
把这个误差信号去反馈到我们观测器的输入端
就形成我们这样一个观测器的结构
这个结构呐 在我们刚才观测器结构上
进一步的利用我们受控系统的输出信息
和结构矩阵C的信息
那我们看一下 在这个结构下面
这个观测器的性能是不是能够得到改善
如果能够得到改善
怎么样去选择这样一个反馈增益矩阵L
我们来看一下 根据系统结构框图
我们去列写这个观测器的方程 我们知道呐
观测器的方程是在我们刚才这个结构的基础上
x一点^=Ax^+bu的基础上
方程右边再加上这样一个对于观测误差的
这样一个修正项 L(y-y^)这一项
我们可以把它整理一下
y=Cx 因为我们知道呐 这个输出方程是y=Cx
y=Cx代进去以后呐
我们就可以把Ly这一项合到Ax^这一项
就变成什么呐
(A-LC)x^+Ly+Bu这一项
所以说我们这个全维观测器这个观测偏差
就可以去计算出来
那我们结合被观测系统它满足的状态方程呐
我们可以把这两个系统做差
做差以后我们就可以推导出 x~=x-x^
观测偏差叫做x~
那么这个观测偏差应该满足一个这样微分方程
这个微分方程它也是一个自治系统
它不依赖于我们系统输入u 只依赖于我们x~的初值
那这个线性方程系数矩阵是什么呐
A-LC
大家可以看到这个方程和我们刚才方程是不一样的
那这个方程系数矩阵
是依赖于我们在这个观测器里面的反馈系数矩阵L
所以说呐我们这个观测偏差性能
收敛性能 它是不是收敛 收敛速度有多快
我们就可以通过调节这个L矩阵去影响它
所以这个有可能通过这个结构去
改善这个系统的观测性能
所以说呐我们全维观测器在这个结构下
它可重构状态的一个条件实际上
我们就可以得到
就是说呐
它的充分条件就是我能够找到这样一个反馈矩阵L
使得我们这个
估计状态x^能够渐进跟踪我们系统实际状态的
这样一个充分必要条件是什么呐
就是被观测系统不能观的这一部分是渐进稳定的
这就证明 其实很简单
就是利用一下对偶原理
就是我们利用对偶原理 我AC的能观性实际等于什么呐
就等于A的转置和C的转置这一对矩阵对的能控性
这是对偶原理 所以说呐
我们从观测器误差满足的微分方程 我们可以看到
如果x^等于0 它趋近于0
当且仅当A的转置和C的转置这个矩阵对是可正定的
就是能够找到
这样一个反馈矩阵让系统变成一个稳定的系统
而这个可正定的系统等价于什么呐
A的转置和C的转置这个矩阵对
它所对应的不能控部分是稳定的
不能控部分是稳定的
这个结论我们可以通过对偶原理来翻译回去
那A的转置C的转置对应的不能控部分
实际上就对应于A和C这一矩阵对它所对应的不能观部分
所以说我们最后就可以得到结论
这个条件就等价于系统的不能观部分是渐进稳定的
也就是说呐 我这个全维状态观测器可以重构的条件
就是不能观部分要渐进稳定
那我们这时候呐
全维观测器的极点配置的配置算法也同样的
实际上我们只要知道这个极点配置
这个状态反馈的极点配置怎么配置的
那么这个算法完全可以去推广过来
就是利用对偶原理就可以推广出来
这是相应的把A转置和C转置
通过状态反馈极点配置做一个配置
那这个配置结果就可以推广到
转移到我状态观测器的配置
那这样就可以得到我这个观测器的设计的一个结论
所以说呐 我们有了这个结论
如果系统是完全能观的
我们就可以让观测器的误差以任意速度去收敛
可以通过这个极点配置算法以任意速度去收敛
这就是我们刚才介绍的一种标准的全维观测器的结构
它是基于对原有系统结构的复制
再引入附加的反馈实现的全维状态观测器
实际上这种设计方案还可以推广到更一般的设计方案
就是我们所谓的方案二
实际上任何一个状态观测器
它不一定是对原来系统结构的复制
它可以是任何一个线性时不变系统
这个线性时不变系统假设它的状态变量是z
它的输入是依赖于
原来系统的输入u依赖于原来系统的输出y
从这一点结构上来讲
是和我们状态观测器的结构是类似的
只不过它的系数矩阵
F G H我们假设它可以是一般的系数矩阵
不一定是A B C
如果动态系统的输出是z就是z的一个线性函数
假如说我们能找到一个T矩阵 T是一个可逆矩阵
(T^-1)z=x~
那么x~能够渐近的跟踪系统的状态变量的话
那么我们就可以把这样一个系统也叫做一个状态观测器
由于我们这个z的维数和我们系统的维数一样的
叫做全维状态观测器
系统的系数矩阵待定矩阵F G H以及变换阵T是待定矩阵
只要这些矩阵满足一定的条件
我们就可以保证
x~与x在时间趋于无穷的时候趋于一致
而且这个趋于一致的性质
在任何的初值z(0)和x(0)下面
对任何的输入函数u(t)都是成立的
所以它就可以成为一个状态观测器
可以证明
这个系统可以成为一个状态观测器的一个充分必要条件
就是这样三个条件
第一个条件是TA-FT=TC而且T是一个非奇异矩阵
第二个条件是H=TB
F矩阵必须是一个稳定矩阵
就是它所有的特征值是负实部的
这是我们下面要证明的一个充分必要条件
在证明以前我们说明一下
实际上刚才提到的这样一个特殊结构的
状态观测实际上是这个结构的一个特例
也就是说如果F=A-LC
G=L H=B T=I正好就满足这个性质
刚才是一个特例 这个是一个更一般的结构设计
好我们来证明一下
我们现在就是来证明充分性
就是说如果这个条件满足
最后的状态误差一定是趋于零的
首先定义e=z-Tx
我们来看一下e的变化是什么样的
对e求导diff(e)=diff(z)-Tdiff(x)
然后把z满足的状态方程和x满足的状态方程分别代进去
整理一下就可以得到这样一个方程
(见PPT)
很容易看到
刚才讲的前面这两个矩阵方程矩阵关系如果成立的话
那么diff(e)右边
x前面的系数矩阵和u前面的系数矩阵就变成0
最后就剩下diff(e)=Fe
F如果是一个稳定矩阵
就是它所有的特征值是负实部的
那么e随时间趋于无穷它趋于0
这时候也很容易推导出x~(t)=(T^-1)e(t)
如果e(t)趋于0 x~(t)趋于0
所以我们就证明了充分性
如果这些条件满足的话
这个系统的观测误差一定是趋于0的
所以这时候这个动态系统一定是一个全维观测器
它的必要性也是可以证明
就是我由e满足的条件
可以知道条件(i)-(iii)必须是成立的
为什么呢
我们还看上面这个e所满足的微分方程
(见PPT)
大家可以看到如果这里面任何一个条件不满足
也就是u前面的系数矩阵H-TB=0这个条件不满足
那可以证明总能够找到一个输入函数u
由于系数矩阵不为0
所以u是影响e的演化的使e(t)不收敛
同样道理如果e前面的系数矩阵F是不稳定的
它有正实部的特征根
我也可以找到一个e的初值使得误差是不收敛的
所以e最后要趋于0这三个条件就必须成立
这样我们就证明了必要性
好 我们这节课的内容就到这里
-线性系统理论的一个有趣应用
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