当前课程知识点：线性系统理论 > 第九周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：矩阵分式描述 > LST5-1-1 传递函数阵及其MFD > 视频
那我们现在就给大家来介绍一下
在浮频率理论里面
它用了一个对我们传递函数矩阵的一个描述方法
首先我们来看一下传递函数矩阵
我想大家在过去学习经典频率理论的时候
大部分时间接触的是传递函数
传递函数是什么 我们先回顾一下
它指的是输出信号它的拉普拉斯变换
怎么样能够表示成为
在输入的拉普拉斯变换之间的一个函数关系
而这个函数关系是用一个有理分式来给出的
那它对应的一个时域的模型
实际上是对应的高阶的维恩方程的变换关系
这是传递函数的来源 它的物理意义
那传递函数矩阵很自然的
它其实就是把我们原来单个的输入
和单个输出之间的关系给推广到有多个输入
比如说我们有p个输入 有多个输出 是q个输出
这样的线性定长系统
那么这个时候
传递函数矩阵它就表达了
如下的一个有理分式这样的一个形式
表达的是我们作为输出向量的拉普拉斯变换向量
和输入的拉普拉斯变换向量之间的这样一个变换关系
那这个变换关系我们用一个矩阵来表示
它就是我们在这里面Y(s)=G(s)U(s)这里面的G(s)
那么这个G(s)它是矩阵的话
如果我们有p个输入 q个输出
那么我们很容易确定下来它的维数
就是一个p列而q行的这样的一个有理分式矩阵
其中 每一个元素都是
比如说这个GIJ 它都是一个有理分式
我们也可以理解为 比如说GIJ代表的意思
就是由我们第J个输入U(J)
它怎么样来决定我们第I个输出的这样一个之间影响
当然这个第I个输出Y(I)的话
它肯定在我们矩阵关系里面很容易看出来
它不紧紧取决于某一个输入 它是输入的一个线性组合
这个组合系数就是我们矩阵的第I行
那么这个矩阵的第I行乘以整个输入向量
就确定了其中某一个输出
所以根据矩阵相乘的关系大家可以看出来
在我们研究的这个
就是说在传递函数矩阵的这个框架底下
我们每一个输出都受到多个输入的影响
而这个定量的来说 它这个影响关系是通过矩阵来给出的
我们前面在简介当中曾经提到过
就是浮频率理论它不是直接用传递函数矩阵
虽然传递函数矩阵是我们最终综合的目标
但是它用的是一个矩阵分式描述
矩阵分式描述它的英文缩写是MFD
所以我们后面有的时候也会
用MFD代替矩阵分式描述这个说法
大家要逐渐的熟悉
我们现在就给出这个矩阵分式描述它的定义
我们如果给定了一个系统的传递函数矩阵G(s)的话
如果把这个G(s)表示成一对多项式矩阵
D(s)和N(s)的这样一个
或者是A(s)和B(s)的一个所谓的一个比的关系
那么其实就是写成数学的表达式就是我们这列出来的这个
G(s)=N(s)D逆(s)=A逆(s)B(s)这样的一个形式的话
也就是说你可以找到这样两对矩阵
那么我们就把其中这个N(s)D逆(s)这种表示形式
称为G(s)的一个右MFD
这里面的右就代表分母出现在右边
就是D逆这个逆运算它出现在右边
就是N和D这个相对的排列关系里边
那么这个D逆是出现在N的右边
就称为右MFD
那如果我们找到的是A逆B这种形式
这个A和B都是多项式矩阵的话
那我们就把这个A逆B
称为G的一个左MFD
这个左同样也代表着分母出现在左边
这里边大家就看到了
我们这个乘机关系是区分左右的
这个道理在什么地方呢
我想大家学过矩阵
学过线性代数都很明白
就是说 我们这个矩阵相乘
一般来说是和乘的顺序有关的
所以不能够任意的交换顺序
所以我们在这里头可以看到
你要用一对多项式的比值的关系
描述一个有理分式矩阵
也就是这个传递函数矩阵的话
那么 你需要区分到底比值的分母
出现在左边还是右边
这就带来了一个所谓的左右MFD的区别
那我们把G（s）同时也成为这些MFD的
包括ND逆 A逆B
它的所谓的它所对应的传递函数矩阵
那么其中的这个多项式矩阵ND里面
我们把N称为是它的分子矩阵
把这个B 同样的这个N逆B里头的B也称为分子矩阵
而把这个D和A都成为MFD的相应的分母矩阵
所以我们可以看到用MFD来描述
这个G（s）的这种传递函数矩阵的话
其实就是用一个分子矩阵
用一个分母矩阵配上对
让它乘在一起构成
分母矩阵的逆乘到分子矩阵上边去
那么得到传递函数矩阵
那么我们约定这个分母矩阵
它必须是个可逆的多项式矩阵
那么大家可以理解
如果对一个单变量的情况
就是我们的这个分母矩阵你不能
分母多项式实际上
那你不能够选成零
除零是没有意义的
那么在多项式矩阵这个框架里面呢
那么这个可逆的概念
首先指的它必须是个方阵
同时它的行列式还是非零的多项式
这样一个概念
所以我们这里面实际上就是在构造
这个乘机关系的时候是有这个约定的
那么这就是矩阵分式描述MFD它的定义
那么有了这个定义以后
我想在这个地方跟大家探讨两个问题
我们可以看到就是MFD的定义的引入
它的目标是去描述一个有理分式矩阵
也就是用一对多项式矩阵去描述有理分式矩阵
那么这里面自然的有个问题
就是当我们考虑这种描述的时候
我们会问这种描述是不是一定存在呢
就是我们能不能
是不是总是找到这样的描述
如果有些问题里面它找不到的话
那我们这种描述它的适用范围
显然就受到限制
就不能处理我们通常所接触到的所以问题
那么这个问题其实就是说
是否对每一个有理分式矩阵
也就是我们的传递函数矩阵
都存在着MFD的描述
比如说我们在这个地方
给大家写出来这个G
它一般来说是p格输入q格输出的话
我们这个G（S）写在这个地方
我们有它的具体表达式
它是由gig这样一个元素来代表的分量的形式
同时我们把这个gig又知道
我们每一个都是一个单独的
从G输入I输出这样的一个通道上面的一个有理分式
那就是GIG可以写成我们这个D分之N的形式
就是DIG分之NIG
这样的一个多样式之比的形式
当然我们一般约定这个DIG和NIG
本身是个集约分式
就像我们经典的平舆理论里头一样
那么我们是约定分子分母
已经约分是互质的情况
那我们的问题就变成
如果我给出来这样一个G
它的元素是DIG分之NIG这样的一个形式的话
我是不是总能给它找到至少一个MFD的描述呢
那么大家可以思考一下这个问题
我想可能有的同学已经想到了
应该说它是存在的
我们的课本页也给出了它存在的证明或是构造方法
我在这个地方给出来一个构造方法
也许跟书本上太不一样
但是结论都是对任何一个传递函数矩阵
总能够找出一个MFD
我们是用一个构造性的方法来回答这个问题
也就是答案肯定是 yes
那么我们最简单的方法是什么呢
我在这里给出来的思想其实很简单
就是我们把G(s)里面所有的有理分式
如果能够对它进行通分
就会发现 有限个有理分式我们总是可以通分
找到它的最小公分母
我们把这个最小公分母成为φ(s)的话
很自然的我们将φ(s)分之一给提出来以后
就使得我们提出最小公分母以后的
通分的结果 它所有的分子可以写成一个矩阵
就是我们在这有n上面加一个横杠这样的表示
它代表当我们把最小公分母提出来通分以后
得到的分子多项式
这样我们可以把G(s)表示成
φ(s)分之后面乘的多项式矩阵
我们再做进一步的推导
可以把φ(s)分之一看成是一个
由φ(s)分之一这样一个有理分式作为对角线的对角矩阵
它作为一个对角矩阵以后我们可以求逆
然后乘到后面的多项式矩阵上面
那么同样也能够得到G(s)算出来的结果是一致的
而这样的一个构造我们可以看出来
它是对于任意给定的G(s)总是可以找到的
所以我们通过这样一个构造
就给出来一个左MFD
同样的道理 如果我们把φ(s)除到分子矩阵的右边的话
我们就可以构造一个右MFD出来
正是因为这样一个构造的方法
我们很容易就回答了前面提出来的问题
就是说我们对每一个传递函数矩阵总存在着MFD的描述
这个结论非常重要 他告诉我们
矩阵分式描述这样的一个数学模型是普遍适用的
对一个一般的多变量的线性定长系统来说
我们总是可以给它至少用一个MFD描述出来
这是存在性的问题
那我们下面还有一个响应的问题 就是唯一性问题
这个唯一性问题是什么呢
就是刚才说到MFD是否总是能存在呢
已经回答了 可以
但我们的描述方法是不是唯一的呢
那么这个问题大家可以思考一下
就是说对于一个给定的G(s)
是否给它构造的左 右MFD ND逆和A逆B
N和D这一对分子分母矩阵
是不是唯一的呢
那我们可以考虑一下这个问题
大家可以考虑一下最简单的情况
比如说 一个单变量的情况 那就是一个传递函数
传递函数由分子分母两个多项式之比得到他的MFD
实际上我们可以看到
这种描述形式大家想一想这是唯一的吗
你们可以考虑一下
我想很多同学也想到了
就是说这个唯一性是不能保证的
也就是说通常来说我们是不能保证MFD描述
对一个传递函数是唯一的
事实上你可以很容易通过一个给定的MFD
它的分子分母矩阵同时乘上一个非歧义的多项式矩阵
总是可以得到一个新的MFD
以这个单变量的传递函数为例
比如说是2/(s+1)
那么我么可以把它的分子分母同时乘以一个多项式
比如乘上s
那就是2s/(s*(s+1)) 那这个就不唯一
我们对于一个一般的多项式矩阵
分子分母都是多项式矩阵的这种多变量的情况
也很容易知道
我们同时给它们乘上非奇异的多项式矩阵
比如右MFD的话我们在分子分母N和D这两个多项式矩阵上
同时乘以P这样一个非奇异的多项式矩阵
那我们会发现乘出来的结果经过运算
P分子分母会相互抵消
结果仍然是N(s)*D^(-1)(s) 也就是原来的G(s)
这就表明它是不唯一的
在这里顺便提一下 什么叫做一个非奇异的多项式矩阵
那这里实际上它的概念是非奇异数值矩阵的一个推广
它就是说 对于一个多项式矩阵来看
如果它是方阵并且可以求它的行列式
这个行列式是一个非零的多项式的时候
那么我们就把这个多项式矩阵为非奇异的矩阵
当然我们可以看到 对于单变量的情况
是一个非零的常数和一个非零的多项式
都是符合非零多项式矩阵的定义
那么对于一般的情况 我们可以通过求解它的行列式
看行列式是不是非零多项式来判断
好 我们关于矩阵分式描述的介绍就先到这里
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