当前课程知识点：线性系统理论 > 第十二周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：复频域方法在系统设计方面的主要结论 > LST8-1-1 具有补偿器的输出反馈（一） > 视频
同学们好 我们今天进入这个课程的最后一个单元
要讨论的主要内容针对的是多变量频域的综合方法
那么综合的运用前面关于矩阵分式描述的模型
还有多项式矩阵描述建模的分析框架
来讨论一下如何在复频域中
针对多输入多输出的传递函数矩阵做设计
当然由于这个课程的学时有限
所以这个单元是把一些主要的方法和思路给大家介绍一下
通过典型的综合问题给大家加以介绍和讲解
那么更详细的内容
还是希望大家借助于教材能够有更深的研读
也可以通过我们在线课堂的讨论大家可以展开一些互动
我们这个介绍首先先从运用PMD的建模方法对组合系统
特别是两类的输出反馈组合系统做稳定性分析入手
我们先介绍组合系统添加补偿器以后
整体闭环系统的极点应该满足什么样条件的时候
可以保证系统的稳定性
那么我们首先介绍一类具有补偿器的输出反馈
它的结构是在这个图中显示的
就是具有并联补偿的这样一个输出反馈的形式
它有一个前向通道(就是被控对象s1构成)
在它的反馈通道中有一个补偿装置
是并联的s2这个系统
我们假定被控对象的传递函数是G1
补偿器的传递函数是G2
那么这两个都是传递函数矩阵(对于多输入多输出的情况)
我们假设这两个传递函数矩阵都是真的
并且分别是由两个不可简约的MFD来给出它们的表征
其中G1是用右MFD的形式 就是N1(s)*D1^(-1)(s)
G2是由一个左MFD给出
也就是D2^(-1)(s)*N2(s)这样的一个形式给出
为了让整个系统讨论起来有意义
我们还补充假定一个稳态存在的条件
就是I+G1(s)*G2(s)这样一个矩阵的行列式
在s趋于无穷的时候不等于零
也就是s趋于无穷的时候
极限是存在的一个非奇异的矩阵
那么我们要讨论的一个具有
并联补偿输出反馈结构的组合系统
它的闭环渐近稳定的充分必要条件
我们在这里给出一个渐近稳定的充分必要条件是
D2*D1+N2*N1这个矩阵的行列式的根都具有负实部
这个时候我们就把这个系统能够得出来的保证
是一个闭环渐近稳定的条件
当然我们在传递函数矩阵这个框架中讨论所谓的闭环渐近稳定
这里面一定要强调一下
就是这里面指的是这个组合系统
当我们选取G1和G2这两个模块的最简PMD描述
比如说是不可简约的MFD的形式(象这里给出来的)
或者其他的等价的最简描述
象时域中也可以考虑它的最小实现
那么这类的组合中
当我们用这样的最小实现给出模块的PMD描述之后
我们通过约定选取整个系统的广义状态
也就是把两个模块的状态向量拼接起来
形成一个整体的广义向量的时候
我们说这个在广义向量模型下的系统
如果它是渐近稳定的
那么整个系统就是渐近稳定的
这有一个解释 那么接下来我们就看一看
为什么说这样一个条件
就是D2*D1+N2*N1行列式等于0的根 都具有负实部
是可以保证整个闭环系统的渐近稳定性
那么我们这个分析实际上就是在里面要给大家介绍的
就是我们在做综合当中一个理论基础
就是要通过引入各个单元系统的PMD描述
然后建立整个组合系统的PMD描述
当然在我们这里面 在频域模型里头
常用的是对每个模块建立它的MFD的不可简约的描述
但是整个这个组合系统
并不能直接写成一个闭环的MFD的形式 不太容易写出
那么更容易去建模的这个方法
就是我们给大家介绍过的
就是这个PMD描述 那这个PMD描述呐
我们在这基于PMD描述
就对这样一个具有并联补偿的输出反馈系统
给出它的稳定性分析这个过程
这也是给大家一个实例 实际上对于将来你研究的问题
那么具有其他的结构 也可以仿照这个方法来建模
并且给出它的稳定性条件
那么我们在这选择这个组合系统
它的每个子系统不可简约的MFD的广义状态向量
组成整个系统的广义状态向量 那么这就有
我们把这个大的广义状态向量ξ
就令为两个分块的列向量 就是ξ1和ξ2
那么其中ξ1是第一个模块G1它的这个广义状态向量
ξ2是第二个模块反馈通道当中的补偿器的广义状态向量
那么根据这样的一个选取
再加上我们这个MFD作为PMD的一个特例的话
我们可以列写出来两个分块的
这个广义特征方程和输出方程
然后再结合着这样一个组合系统的信号之间的组合关系
我们有下边这样一些关系
首先我们看一下这个第一个模块
就是这个被控对象G1的广义状态方程和输出方程
那我们在这看到是D1*ξ1=u1 然后y1=N1*ξ1
那么对于第二个系统 我们有这个左MFD的描述
所以这个地方 它的广义状态向量是D2ξ2=N2u2
然后是y2=ξ2 那么这个信号之间的联系是这样的
就是我们第一个模块的输入u1
它是等于整个这个系统的输入u减去第二个模块的输出
是因为是一个负反馈 所以是u-y2
给出来是u1 那么u2正好是我们这个系统的G2的输入
那么它等于G1的输出 所以是u2=y1
同时y1也是整个这个系统的输出 所以我们说y=y1
由这些关系我们不难导出
整个这个组合系统所满足的广义状态方程
那么我们是用这个系统矩阵的形式写出来
也就是我们这个输出的向量0 0 -y
它等于系统矩阵乘上广义的输入向量
这个ξ1ξ2是我们的广义状态向量ξ
和 -u 这是输入信号 他组成的一个广义的输入向量
那么乘上这个系统矩阵
这个系统矩阵是一个3*3的分块的多项式矩阵
那么它的第一行是D1(s) I 和I
那我们可以验证实际上就是D1(s)*ξ1
然后是加上ξ2 那么再减去u应该等于0
那么第二行分块的形式是N2*N1
这是第二行的第一块 然后是-D2和0
那么也可以验证它实际上是我们说的这个
就是D2ξ2=N2u2 这个式子代入这个连接关系以后得到的
那么第三行实际上是输出方程
那么-y等于N1 0 0乘以ξ1 ξ2 -u 那你可以验证出来
就是相当于说y=y1 又等于N1*ξ1 这样一个形式
那么这样就可以简单的验证
就是我们列写出来的这个组合系统
它的这个以ξ1 ξ2 构成的这个分块的广义向量
作为整个系统的广义向量
所满足的广义状态方程和输出方程
那么我们对这个系统矩阵特别的把大的系统矩阵的P求出来
实际上是在这个式子当中用红框给表示出来的这部分
这部分矩阵它求行列式
实际上就得到了
整个组合系统的所有的极点所对应的特征多样式
那么它这个特征多样式 我们求这个行列式的话
就是由这个D1 I N2N1 –D2 这样一个2*2的分块矩阵
它求行列式 那么不难验证
通过简单的初等变化的话就知道
实际上这样一个分块矩阵
我们可以通过初等变换
把它变成一个斜的三角形的矩阵
然后分别把对角线上的元素相乘
中间跟原始的行列式之间差一个乘数k
那就得到了D2*D1+N2*N1
这样一个方阵行列式
实际上跟组合系统的特征多样式
中间差一个非零的常数
这样的话我们就把讨论整个系统渐进稳定的条件归结为
就是最后给出的这个行列式等于零的根
它是否都具有负实部
那么也就是说这个整个组合系统
它以kxi_1 kxi_2作为广义状态向量的前提下
那么整个系统渐进稳定的必要条件
当然这里面我想提一下就是说我们在这个建模过程当中
是有一个约定 就是我们整个系统状态是要满足
选取的方法要是把所有的子系统的广义状态向量全部纳入
虽然我们这两个分块
就是g1和g2在它的表征模型当中
我们约定是不可简约的
但是这样一种连接过后
并不能直接的保证整个的这个组合系统
在新的PMD模型之下建立出来以后
就一定是不可简约的
也就是它本身组合系统未必是不可简约的
所以这个时候我们才引入这个概念叫
整个这个系统是内部的渐进稳定的条件
也就是说它的所有的极点都具有负实部
这是容易理解的 因为这样一个系统PMD
它的极点像我们前面提到的
PMD零点极点的问题
那么其中包含了两种类型的极点
一种类型就是所谓的整个这个系统的传输极点
那么这个传输极点对应的是整个组合系统的传递函数矩阵
它的这个极点
那么还包括一部分所谓的解耦零点
这部分就是产生了零极相交的情况
那么我们也知道所有的解耦零点产生都源自于PQ或者PR
也就是输入或者输出的 产生零极相消的这样一种状况
那么我们保证渐进稳定
实际上要求它的传输极点和
被对消的这部分解耦零点都具有负实部
那么这是一种内部的稳定性
如果我们的模型整个都是用状态空间来表征的
比如说我们的g1 g2
都是用最小实现的形式状态空间模型给出
那么这样建立出来的
由kxi_1 kxi_2拼接起来的
就是一个真正的状态向量
那个状态向量所对应的状态空间描述
它的稳定性对应于在时域里面
一个系统内部渐进稳定的条件
但是如果我们换成其它的描述
这个PMD模型给我们一个足够一般的描述
也是可以提渐进稳定的这个概念
那么与之相对应的
就是整个系统如果它有解耦零点的话
那么会产生一个差异
就是也许它的这个传输极点都是稳定的
也就是传输极点都具有负实部
那么这个时候我们这个系统能够保证的仅仅是
所谓的这个系统的传递函数是一个稳定的传递函数矩阵
那么这种情况我们把它称为外部稳定性
也就是BIBO稳定性
那么对于多变量的情况呢
这个BIBO稳定性和渐进稳定性之间是可能存在着区别的
那么我们在这给出来的这个条件
就是D2*D1+N2*N1行列式等于零的根都具有负实部的话
它保证的是内部稳定性
当我们能够保证内部稳定性的时候
实际上自然的也就保证了整个系统的内部和外部的稳定性
因为我们传输极点也包含在整个极点集合当中
但是反过来就不见得成立
就是说如果我们能够保证输入输出稳定的话
未必能够保证它内部是渐进稳定的
这里面等价的条件恰恰体现在
组合系统本身也是不可简约的
这样一个条件下
但是我们在这讨论的这个行列式等于零的根
它实际上并没有直接能够提供这样的保证
好 我们这节内容就讲到这
-线性系统理论的一个有趣应用
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