当前课程知识点：线性系统理论 > 第十一周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：多项式矩阵描述 > LST7-4-2 严格系统等价（二） > 视频
我们引入了系统矩阵
然后在系统矩阵之间又定义了严格系统等价变换的这种关系
那么这种关系它的重要性到底体现在哪儿呐
就是我们现在要给大家介绍的几条它的重要的属性
第一条我们说这个s1和s2相似这种系统严格等价关系
它确确实实是一种等价关系
所谓等价关系是什么意思呐
它要满足三条性质 一个是它自己和自己等价
一个是如果s1和s2等价
那么s2要和s1也等价 这叫关系的自反性
还有就是传递性
就是s1和s2等价 s2和s3等价
那么s1和s3也要等价 我们从它的定义
就是系统矩阵这个形式的单模变换关系呐
我们就很容易证明 它确实满足这三条属性
所以我们说呐 s1和s2这种严格系统等价
这种关系它是这种等价关系
那么等价关系有什么用途呐
等价关系实际上就是系统分类的一个依据
就可以引入PMD之间的系统分类了
就是凡是相互等价的这个PMD可以归为一类
就是属于不同类的一定不等价 属于一类的一定等价
就是做一个等价类的划分
那么等价划分的一个好处是什么呐
等价关系我们的理论研究当中
非常重要的这个作用就是在于
我们可以从相互等价的这个描述当中
去选取一个最有利于我们研究这个问题的
一个最简单的形式
这个概念其实在代数等价关系
或者说我们系统之间的这种坐标变换关系
时域模型里头已经得到充分的体现
在时域模型里头
我们研究一个系统的状态空间描述的时候
我们往往会通过坐标变换把它化成我们所希望的形式
比如说我们可能把它化成对角解耦标准型
或者是约当标准型
这个时候我们就很容易去看出来它的特征结构了
当然我们也可能通过坐标变化
把它一个能控的系统给它化成能控标准型
这样便于我们去做控制器的设计等等
我们已经看到就是通过坐标变换
千方百计的把这个问题
变成一种我们便于分析和做设计的这样的一个形式
这就是等价类的重要意义
当然等价类也能够揭示出来
表面上看起来不同的这个模型之间的内在的联系
实际上也可以 我们在这对于PMD而言
这个严格系统等价关系 这也是它非常重要的一个作用
就是把我们的时域模型和频域模型
以及时域理论和频域理论的
研究问题能够有机的联系在一起
那比如说我们下面一条重要的性质就是
严格系统等价的两个PMD 它具有相同的传递函数
这个我们前面的分析已经指出了
就是它的不变量 对吧
还有我们说这个还有不变量
就是这个严格系统等价的两个PMD
具有相同的不可简约性
而这个不可简约性
在我们的时域里面表现为能控能观性
在我们的频域里表现为这个MFD的这个不可简约型
这也就本质上揭示出什么呐
就是能控能观这个性质 实际上在我们的频域里头
有一个直观的描述
就是这个分子分母矩阵的这种互质性
也就是说互质性在频域
就等价于我们的时域里面的能控能观性
这就使得我们原来认为完全不同的两个概念
有机的联系在一起
这个统一是靠着我们PMD里引入严格系统等价关系
所揭示出来的不变量
那么我们还有哪些基本属性呐
就是严格系统等价的这个PMD
那么就是说 第四条
就是严格系统等价的两个状态空间描述它是代数等价的
我们前面提到过
就是定义这个严格系统等价的这个概念
是受到状态空间描述里
代数等价关系的一个启发或者说是它的推广
但是没有说反过来 我们现在说
你只要给出来两个PMD是状态空间模型的话
那么我们去验证它的严格系统等价关系
事实上就默认的可以充分性的推出它是代数等价关系
那么就是代数等价和严格系统等价在状态空间模型上
这两者只是同一件事情的两种表示方式
所以就把代数等价和严格系统等价关系彻底说清楚了
就是对于状态空间模型而言两者完全是一回事
当然这个证明书上给出了详细的步骤
我们在这由于学时有限就不深入的去探究了
但这个结论非常重要
那么第五条基本属性就是
同一个传递函数的不可简约的PMD它都是严格系统等价的
这是什么意思呢
就是你给定一个传递函数矩阵
你可以用时域的方法建模
你也可以用频域的方法建模
你也可以用广义微分系统的方法建模
建成一个时频域联合的一个模型PMD模型
但是只要我们剪出来的这些模型
统一的符合了PMD的不可简约的条件
那么非常重要的一条就是大家都是严格系统等价的
严格系统等价就拥有所有的这些相同的不变量
那么这些相同的不变量从传递函数
到特征多项式到解耦零点
到它的能控能观性或者不可简约性都是一致的
那么作为严格系统等价基本属性的推论
我们下边有两条都是关于零极点的问题
第一个就是说同一个传递函数矩阵的所有不可简约的PMD
不论是时域的还是频域的还是跨域的
它的特征多项式都相同
就是说放在系统P位置的分母矩阵
sI-A也好或者P或者D或者A矩阵也好
它的特征多项式都是一样的
只要我们把它的系数首一化以后那么它的根都是相同的
而且它都等于传递函数的特征多项式
我们知道传递函数矩阵的特征多项式
定义为Psi多项式的乘积
那么也是传递函数有理分式
所有各阶子式最后通分的最小公倍式
那么我们现在看的很清楚就是
你如果给它一些时域或者频域模型
只要这些模型是不可简约的
那么大家给出来的特征多项式
都跟传递函数矩阵的特征多项式是一致的
从而由于传递函数矩阵的极点
都是通过它特征多项式来确定的
也就可以看出来对应于同一个传递函数矩阵的
所有不可简约的PMD的特征多项式的根都是相同的
也都是说它的传输极点都是相同的
那么我们使得传递函数对应它的零点的这些根
那么在严格系统等价这个描述里边
也都是相同的都是使系统矩阵降秩的这些s
当然这里面的前提是说
系统矩阵所对应的PMD都是不可简约的
只要满足这个不可简约的条件
那么你通过这个系统矩阵降秩
或者我们看这个系统矩阵作为多项式矩阵
求它smith形的不变多项式等于零的根
就可以把传递函数矩阵的那些零点都求出来
也就是传递函数e多项式等于零的根
我们都可以通过这种方式直接来确定
那么这是很重要的推论
还有一个重要推论就是严格系统等价的PMD
它的解耦零点都是相同的
这里面我们并没有要求这个PMD一定是不可简约的
可简约也可以
只要你论证了两个PMD
可以通过严格系统等价的关系来联系起来
那么它的解耦零点都是一致的
就是说有相同的输入解耦零点也有相同的解耦输出零点
那么到此为止我们就揭示出来了
就是我们用这个多项式矩阵描述这种形式
给出一个系统的模型以后
我会发现这个模型
它的基本的结构有两大方面
一是能控能观性
其实就体现在这个PMD是不是不可简约的
那么特别的我们说 这儿最后做个总结的话
PQ如果是互质的 它就是能控的 那么PR是互质的
它就是能观的
PQ不互质就是不能控的
PR不互质就是不能观的
这就是说能控能观这个结构性质
那么还有一个就是零极点
就是对于一个PMD来说
它只要是相互等价的PMD
其实大家定义出来的零极点都是一样的
那么它分成两类
一类就是它的传输零极点
传输零极点就是它的传递函数的零极点
那么通过我们的分析就知道
前面那个推论就知道
这个PMD的传输零极点
也可以通过PMD本身的P矩阵和系统矩阵分别来确定
就是只要这个PMD是不可简约的
我们进行通过约简以后得到
那就直接通过P的行列式的根来确定传输极点
通过这个不可简约的系统矩阵
它降秩的这些s
我们可以直接确定它的传输零点
那么如果给出来PMD它是可简约的
这个时候还包含了这个解耦零点这部分
那么也是只要严格系统等价
我们就可以通过任意一种
比较方便的PMD的描述来确定它的解耦零点
这个解耦零点是PQ的最大公因子
求出来的这个根
它的行列式根就是我们的输入解耦零点
那么PR最大公因子的行列式的根
就是它的输出解耦零点
那么当然这里也要提到
如果这个系统本身
它的状态空间模型里面
跟它等价的状态空间模型里面有
既不能控又不能观的这种模态的话
那么我们在这个地方
就会出现输入解耦零点和输出解耦零点有公共的部分
这部分就是既是输入解耦零点又是输出解耦零点
最后一点我们要强调的
就是说PMD的所有的极点包含什么呢
所有极点包含两部分
一部分是它的传输极点
就是不可简约的这部分
另外一部分就是它的最大公因子部分贡献的
这个极点就是它的输入和输出的解耦零点
也都是它的极点
那么它的零点是它的传输零点加上它的解耦零点
那么这里面又发现系统PMD的零点极点有一部分是重合的
那么这部分重合的零极点是由于这个零极相消造成的
那么它们表现为要么是输入解耦零点要么是输出解耦零点
对应于卡尔曼结构分解的话 就会发现
这个系统传输的极点
就是这个系统既能控又能观的部分A的特征根
那么输入解耦零点就是
只要是不能控的
也可能能观也可能不能观这部分的这个极点
那么输出解耦零点就是它的不能观的部分
也可能能控也可能不能控
这样就完整的搞清楚
就是说对于一个PMD而言
最重要的两个方面的结构性质就是
能控能观性体现为它的不可简约性
那么它的零极点分成两大类
一类是传输零极点
一类是解耦零极点
但是我们一般称为解耦零点
但是大家一定要注意的就是说
解耦零点本身是那些被消去的极点
跟零点对消的那部分极点
所以它解耦零点的本身也是极点
当我们计算这个极点 或者分析这个极点的时候
这部分不能够忽略 到此为止我们就把这个PMD
就是多项式矩阵描述这种既概括了时域又概括了频域的模型
统一的表述 以及它的最主要的基本性质
和PMD之间等价的分类关系 给大家介绍完成
为我们后面系统的来讨论
在频域里面怎么对一个多变量的系统
做控制器的设计 包括分析复合系统
包括做这个矫正的时候 整个这个系统的分析方法
已经奠定了基础 好我们这部分就介绍到这
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