当前课程知识点：线性系统理论 > 第五周（第二部分：线性系统的时域理论）：状态变量的能控性和能观性（二） > LST3-4-2 对偶性原理（二） > 视频
在这里 我们就赶紧来看一下
这个什么是对偶原理 之所以看它是因为它非常重要
我们前面也已经说了一大堆这个重要性了
那么我们下面就来看 对偶原理的数学描述
对偶原理是这样 由给定两个系统
一个系统叫sigma1 一个系统叫sigma2
也就是表示这个系统的符号
我们把两个模型给出来
一个变量是都带下标1的 一个变量下标都带2的
这两个变量 这个模型之间
如果它满足下面这个对偶条件 就称为互相对偶
这个条件是什么
就是A2等于-A1转置 B2等于C1转置 C2等于B1转置
那么这是由（*）来给出这个对偶条件 它分成三个方面啊
这三个方面我们看到 这个对偶条件是针对谁来说的
是分别要求了两个系统的系统矩阵之间的关系
以及输入矩阵和输出矩阵之间的关系 分为三个条件
那我们看到A2等于-A1转置这件事
那么实际上是对两个系统矩阵做了规定
那么由于这个转置关系
我们就可以判断 这两个系统的维数得是一样的
都是n*n的 如果一个n维的和一个m维 m又不等于n
这俩没法对偶啊 这是一个前提条件
另外一个 就是这个参数之间的关系严格的规定了
就是A1的元素作一个转置 位置转置啊
然后填上负号 必须得等于A2
否则我们不是这样 这个就不满足我们的对偶条件
那么输入输出之间的关系是什么
就是我们的输入矩阵B2啊 它等于这个C1的转置
就是第一个系统的输出矩阵转置一下
等于第二个系统的输入矩阵
这个要求其实在这个系统的这个维数上也有一个相应的含义
就是说要求我们 第一个系统输入的维数
和第二个系统输出的维数得是一样的
那么C2等于这个B1的转置 这个就要求什么
第二个系统输出的维数
和第一个系统输入的维数得是一致的
那么这样的话
而且不但是维数一致 它们的参数也是转置关系
那么这三条都满足 就是这个（*）是成立的话
我们就把这个sigma1和sigma2称为互为对偶的两个系统
这就叫对偶系统
那么对偶系统 告诉我们这个
在这个对偶系统定义好了以后
就是这个对偶原理的表述
就可以表示成为就是sigma1的能控性
等价于sigma2的能观性
而sigma1的能观性等价于sigma2的能控性
换而言之 如果这个sigma1是状态完全能控
或者状态完全能观
那么sigma2 它的对偶系统
就是一个状态完全能观或者状态完全能控的
那么这里面 大家可以看到啊 这个对偶原理啊
它是针对能控能观性来说的 那么是在对偶系统的之间
这个能控和能观性的这种等价
那么如果用通俗的我们用普通的这个语言来描述一下
简单的说 就是对偶系统的能控性等价于原系统的能观性
那么对偶系统的能观性等价于原系统的能控性
那么这儿sigma1和sigma2到底谁是原系统
我们看到这个对偶性的条件
它的要求 其实是完全对称的
就是如果sigma2是sigma1的对偶系统
那么反过来也是成立的
我们看再返回到这个条件里看一下啊
这个条件里头看 A2等于-A1的转置
那么你可以看看 A1是不是等于-A2的转置
这显然是的 因为你可以把A2代到这个-A1转置里面去
就是添两个负号变成正的
然后转置两次也可以还原到A1
同样的这个我们B2和C1的这个关系
我们也是 这两个式子互换一下 我们也是可以看出来
所以我们说 这个对偶性是个对称关系
两个系统它是一个互为对偶的关系
这就把我们刚才说的对偶性原理就简单的归结成了
对偶系统能控能观性的一个等价的原则
那么这个对偶原理为什么是对的
我们对于这个sigma2来说的话
根据这个对偶关系 我们可以有这样的一个关系
我们就光看一下能控性的等价
那么看出来是A2等于-A1转置 然后B2等于C1转置
于是我们去看一下 就是用Gram矩阵判据
我们看一下这个第二个系统sigma2的Gram矩阵
它这个W是什么
那我们把它代进去以后
我们首先是e的-A2*t*B2*B2转置*e的-A2转置乘以t
做0到t1上的积分 那么这个积分
当我们把A2的参数和B2的参数换成这个A1和C1的话
我们会发现 这个结果计算出来就是底下这个式子
就是变成了 e的A1的转置t乘以C1的转置
然后乘上C1的转置的转置再乘以e的A1的转置的转置t
那么C1的转置的转置就是C1
然后e的A1t 转置的转置 就变成A1
所以我们会发现 如果你稍微对照一下我们前面
曾经讲到过的就是这个Gram矩阵形式下的
能观性的这个判据的话
你会发现其实这个东西啊
就是这个系统1的这个能观性的Gram矩阵
就是这个Wo1[0,t1]
那么这样的话 我们说第二个系统的能控性
实际上依赖于Wc2的这个是不是非奇异的
那么它又等于Wo1
也就是说是第一个系统的能观性矩阵是不是奇异的
这就证明了sigma2的能控性等价于sigma1的能观性
那么能控性 也是（一样的）
就是说sigma2的能观性等价于sigma1的能控性
也可以类似的证明
所以就是说 让我们看到了这个对偶原理啊
实际上是把两个互为对偶的系统
它的能控性能观性建立了它的等价关系
那么这个对偶原理有什么意义
实际上它的意义非常重大
就是说 我们前面所讨论的问题 表面上看来
我们看一个系统的输入
是不是有能力去任意的调控我们的这个状态变量
这件事 是能控性能来解决的问题
而根据这个测量的输出信号
能不能推断初始的这个状态 内部的这个状态信息
这是一个估计的问题
这两个问题从工程上看
它是完全不同的两类问题
但是大家有没有想一想
实际上 我们的对偶原理告诉我们什么
就是一个系统我总可以对它构造出一个对偶系统
那么我的这个sigma2的这个能控性
就是对偶系统的最优控制问题
实际上 等价于我sigma1它的 这个原系统的能观性问题
也就是说 我可以把能控性研究
归结为另外一个系统的能观性
那么另外一个系统的能观性
也可以归结为原系统的这个能控性的研究
所以 这就把我们研究能控性和能观性
这两个看起来不一样的问题
最终简化到只研究能控性或者只研究能观性就行了
只要你把对所有系统的能控性研究透了
它的最优控制问题研究透了
你也就把所有系统的能观性和它的最优估计问题研究透了
因为这个当把所有系统放在一起的时候
也无所谓哪个系统是原系统还是对偶系统
它们是互为对偶的
就基于这个原理 我们看到对偶原理实际上
在工程上大大简化了对问题的研究
把原来看起来两类不相同的问题
实际上最终在理论上归结为了一类问题来研究
好 我们到这
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