当前课程知识点：线性系统理论 > 第四周（第二部分：线性系统的时域理论）：状态变量的能控性和能观性（一） > LST3-2-8 能控性与能观测性的判据（八） > 视频
我们前面讲的模态判据是针对能观性的
那么很自然的问题就是说
能观性到底有没有类似于秩判据和M矩阵判据等等
那实际上都是有的
那在这里由于课时有限
内容进行了适当的整理
我们给大家整理了常用的判据
就是秩判据 PBH判据
我们在这看一下呐 那么首先我们来看一下
能观性的秩判据 类似于能控性
我们要定义一个判别矩阵 这个称为Qo这个矩阵
它呐 形式上是这样的 它只和A和C有关
那么C是作为第一个分块 CA作为第二个分块
这样按照列来排开的分块矩阵是n个块
最后一块是CA^n-1 那么这样定义出来的这个矩阵呐
我们来看 就是说这个能观性的充要条件是什么呐
就是这个矩阵它是列满秩的
那这个矩阵有多少列呐 也是n列
所以呐 仍然是要判别矩阵是列满秩并且秩等于n
那这称为它的秩判据 我们在这不给出它的证明了
那么还有就是能观性的PBH判据 也是特征值判据
这个呐 跟我们讨论过的这个能控性类似
也是说呐 我们对于任意的复数s
如果我们构造出来的这个复数矩阵
sI-A 和C啊 构成这个按列排列的分块矩阵
它是列满秩的并且等于n的话
那么我们就说这个矩阵是完全能观测的
或者我们不需要关心所有的s
我们只需要集中在A的所有特征值来检验这个矩阵
λI-A 和C的分块矩阵
到底是不是这个列满秩的 如果是的话呐
我们就说这个矩阵
这个PBH判据得出来的结论是完全能观的
那么同样的
我们也可以讨论这个能观性对于代数等价系统是否改变
我们根据秩判据很容易证明
坐标变换前后的能性观判别矩阵
它实际上可以根据坐标变换矩阵T联系在一起
这样我们就知道
在坐标变换前后判别矩阵的列秩是完全一致的
坐标变换不改变能观性
下面我们再看一下电桥那个例子
看一下秩判据在给出能观性条件
和电路参数之间关系的优势
我们把它的方程重新在这列一下 大家可以看一下
这是我们上来要判断能观性
我们根据输出的测量结果
输出是电感的电流信号
我们要判断能不能推测出来v_c这个信号
就是电容两端的电压
那么在这里面
我们先根据判据的条件构造能观性矩阵 Qo
它实际上是C和CA合在一起
这里因为是二阶矩阵
所以n-1就等于1
就是直接用C这个输出向量[1 0]
和[1 0]行向量乘以A矩阵
乘出来的结果放在这边
我们看到组成这个Qo
同样可以检验它的秩
因为这是一个方阵
所以它满秩的条件就是对角元相乘不等于0
我们得出来的条件仍然是电桥平衡条件下
Qo是会降秩的
它的秩不是2 就变成1
这种情况不完全能观
也就是在电桥平衡的条件下
我们光侧电感的电流根本没法推断电容的电压是多少
那我们下面再通过一个数值的例子看一下
判断能观性怎么利用秩判据
秩判据就是直接和A和C有关的
不需要经过坐标变换
不用进行相似变换
所以它的判据运用起来比较简洁
A B两个例子
A例子是一个单输出的例子
输出向量是[1 -1]
我们根据这个 可以看Qo到底出来是多少
C这个向量和C向量乘以A出来的结果
是一个[1 -1 -5 5]这样一个结果
那么很明显 这是一个不满秩的矩阵
所以它的秩小于2
这是一个不完全能观的例子
那么B这个系统
它是一个双输出的系统
我们不需要经过相似变换或者化约当标准型
我们直接套用判别矩阵秩的方法
这个Qo也同样可以看出来
由于它是二阶系统
所以我们也只要把C和CA 组成的分块去判断就够了
于是我们得到的结果是一个四行二列的矩阵
算出来的结果显然这个矩阵是满秩的
它是列满秩的 秩等于2
所以这个系统是完全能观的
-线性系统理论的一个有趣应用
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