当前课程知识点：线性系统理论 > 第十二周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：复频域方法在系统设计方面的主要结论 > LST8-1-3 具有补偿器的输出反馈（三） > 视频
大家好 我们前面给大家介绍了
两类的输出反馈的这种补偿器的问题
并且给大家用到了这个PMD的这种建模方法
分别导出了它渐进稳定的条件
大家也通过这个渐进稳定条件能够自然的看出来
就这个补偿器的方程
和我们整个系统的闭环特性之间的联系
那么我们下边就在这个基础之上
给大家介绍 输出反馈极点配置问题的补偿器综合
目标就是让整个这个闭环系统的极点
具有我们期望的极点位置
同时我们所采用的矫正的方式 也是大家所熟悉的
比如我们在这给大家举例的就是这种单位输出反馈的这种形式
它是一个串联的补偿
那么这个补偿装置是和被控对象是串联在一起
然后通过一个整体的输出反馈做闭环
那么就是像我们图所示
那么对于这样一个单位输出反馈的一个控制的结构
我们假设被控对象Go
仍然假设它是真的 并且它的阶次是n
是由一个不可简约的右MFD
Go写成了No*Do逆的形式来表征
那么我们约定这个补偿器Cs 它的阶次约定为m
然后我们指令整个这个闭环系统的期望极点集合为
λ1* λ2*一直到λ_n+m*
为什么是有n+m个指定的期望极点
原因就是当我们把一个补偿装置Cs
引入到整个闭环系统当中来的时候
根据我们对组合系统建模的约定
大家很容易知道前面我们的渐进稳定性分析也给出了
就是整个系统的极点个数是由两个广义状态向量拼接
然后形成一个整个Ps的阶次
那么它这个阶次里面又包含了
来源于被控对象的n个状态贡献的极点
同时也包含了我们新引入的这阶次为m的这个Cs
它的这个m个状态所对应的极点
所以整个极点数就扩充了 变成了n+m个
我们对这n+m个极点都指定了期望的位置以后
我们这个输出反馈极点配置问题
它这个提法就变成了我们要去寻找一个真的补偿器Cs
就这个补偿器本身它得是真的
也就是在物理上是可以实现的
那我们前面也介绍过
如果用MFD形式来表征的话 这个Cs它是要满足一定条件
构成的这个期望的传递函数矩阵
每一个元才能够是真的有理分式
才能够用物理的装置把它实现出来
我们要求是找到真的补偿器Cs
使得整个这个闭环极点就是我们期望的闭环集合
λ1* 一直到λ_n+m*
这个就是我们在复频域里头讨论这个极点配置问题的这种提法
大家可以看到跟我们这个状态反馈还是稍有差别
因为我们在提到时域里面这个状态反馈的极点配置时候
我们实际上引的这个反馈都是从状态出发
引出的这些反馈的增益系数
那么并不给这个系统直接增加新的极点
当然如果我们有这个带观测器的情况
那是例外的 是另外一个情形
但是现在我们做输出反馈补偿的时候
在这个里面我们的控制器必然是
一般来说是有一定的阶次的
所以我们在指定极点的时候
就联合的把这个补偿器和被控对象的极点都要指定下来
然后在设计过程当中
需要让整个这个闭环系统极点都满足这个要求
那么大家很容易想象我们前面给大家介绍的
就是我们对这个PMD的建模
显然是有利于我们来构造
这样一个需要满足的补偿器方程的条件
那我们下边再展开介绍具体的这个补偿器综合方法之前
我们首先给大家介绍一点预备的知识
这个就是我们接下来要讨论的
就是我们对这个输出反馈极点配置问题的求解
通常是把它分成两个类型的问题
一类问题就是被控对象Go(s)
是所谓的循环的有理分式的情况
另外一类是非循环的情况
那么为此我们就要介绍一个概念
就是什么叫一个有理分式它是一个循环的有理分式
那么这个循环的有理分式它的定义是这样的
我们在这给出来了
就是这个有理分式如果它的特征多项式
等于它的最小多项式的话
那么我们就吧这个有理分式称为一个循环的有理分式
那么特征多项式这个概念
我们在这稍微给大家复习一下
就是所谓的特征多项式Δ(s) 对一个给定的G来说
它是这个Gs所有的各阶子式的最小公倍式
那么最小多项式φ(s)
指的是所有的一阶子式的最小公倍式
我们在这不妨举一个例子
让大家能够比较清晰的看到这两者之间的联系和区别
我们在这给大家举的例子是由两个被控对象
第一个数值的例子是G1(s)
它是s+1分之1 s+1分之2 然后是s+1分之1和0
这样一个2*2有理分式矩阵
那么对它来说 我们就求它的特征多项式Δ(s)的时候
就可以知道是它三个非零元再加上一个二阶子式
这个二阶子式实际上是s+1分之1
乘以s+1分之2 是s+1平方分之-2
那么这四个有理分式进行通分
它的最小公倍式 那么我们很容易看出来
最小公倍式是s+1的平方
那么相应的它的最小多项式是谁呐
就是它的这个三个非零元 0的话讨论我们是频繁的
所以我们就讨论非零元
这个非零的一阶子式它通分最小公倍式是多少
那么这三个一阶子式它通分的话 它最小公倍式是s+1
这样我们就看到了对于G1这个例子
它的特征多项式是s+1的平方 最小多项式是s+1
那么这两者是不相等的
所以呐 我们就可以根据定义来判定
就是这样一个有理分式 是非循环的有理分式
那么循环的有理分式的例子是什么呐
我们下面给大家举一个G2的例子
这个G2实际上跟刚才很像
但是它现在变成了这个四个元都不等于0的这样一个有理分式
那我们通过计算这个有理分式
它的特征多项式的话是s+1
这里面大家看到跟刚才的情况不一样
就是说它的各阶的一阶子式 仍然是公分母最小公倍式是s+1
但是它的二阶子式现在由于它特别的情况
二阶子式求出来以后正好出来也是s+1分之1个常数
所以这种情况整个这个各阶子式
最后通分的时候 最小公分母就是s+1
那么也很直观的可以看到这个例子来说
它的最小多项式φ(s)是s+1
在这种情况我们就碰到了
就是Δ(s)等于φ(s)的情况
所以我们可以判定这个G(s)它是一个循环的有理分式
那么我们接下来的讨论关于补偿器的综合补偿问题
就区分这两种情况
然后我们说对于循环的情况
它相对来说比较简单
所以我们先来讨论它这个循环的情况
那是我们接下来的内容 好
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