当前课程知识点：线性系统理论 > 第八周（第二部分：线性系统的时域理论）：线性反馈系统的时域综合（三） > LST4-8-3 线性二次型最优控制（三） > 视频
同学们好
我们这节课来学习线性二次型最优调节系统的稳定性
这个自由最优调节系统的稳定性问题的写法是怎么样的呢
然而我们现在考虑下面这样一个线性时不变系统
x’=Ax(t)+bu(t)
我们考虑的是无限时间的线性二次型最优调节问题
这里面是一个积分型指标
积分型指标的被积函数
和我们前面讲的二次型最优控制问题的系统指标是一样的
只不过它的积分上限 终端时间是无穷大
这样一个问题就叫做无限时间二次型最优调节问题
为什么我们前面少了这么一项
与x(t)终端时刻无关 常数项没有了
是由于我希望这个系统 最终它的状态能够控制到原点
如果能控制到原点 就是g趋近于0的时候
这时候x(t)的终止应该是0 前面那一项就没有了
这里同样Q 应该是大于0
Q矩阵应该半正定对称矩阵
R是正定对称矩阵
大家注意一下实际上这个问题
我们这节课要讨论的最优控制调节系统的稳定性问题
对无限时间调节问题是有意义的
因为实际上 如果是有限时间调节问题
那就无从谈起稳定性
因为我们稳定性是时间趋近于无穷的系统的动力学性质
如果我们只关心有限时间上系统运动的话
就无从谈起稳定性
所以我们这时候就一定是对于无限时间
而我们实际上可以证明
作为有限时间二次型最优调节的极限情形
我们可以证明 对于这样一个问题
u*(t)是一个最优控制的充分必要条件
是它满足下面这样一个反馈控制律
和我们前面讲到的有限时间的控制的解释非常类似
那么u*(t)应该满足这样一个反馈控制律
-R^(-1 ) B^T Px^* (t)
其中P要满足这样一个 代数Riccati方程
所以大家可以看到这两个条件
和我们推导得到的最优控制所满足的一般条件很像
但是不太一样
像的话是 这两个条件同时包含一个反馈规律
一个Riccati方程
那它不一样的地方在什么呢
是反馈控制矩阵律里面的参数矩阵P
它不是一个随时间变化的矩阵 它是常数矩阵
而这个常数矩阵它所满足的Riccati方程
不是微分方程而是一个代数方程
或者说它是我们前面得到的Riccati微分方程
让P’等于零所剩下的代数方程
这是不一样的地方
这实际上是我们当终端时刻从有限推广到无穷的时候
它所引起的稍微一点区别
只要这个终端时刻是有限的
那这个P矩阵就一定是随时间变化的
如果当这个终端时刻趋近无穷
那这个P就是变成了一个常数矩阵
它对应的代数Riccati方程的非负定矩阵解
就定义了我们这里给出的状态反馈律
那我们来看一下 这个最优控制律下面
也就是说在这个反馈控制律下面
它形成的这个闭环系统是不是稳定的
我们刚提到这个问题只对于无限时间的LQ问题是有意义的
因为有限时间 只关心有限时间上的状态演化
这里面无从谈起稳定性问题
那我们的结论是什么呢
就是对于这样一个闭环控制系统
如果Q是正定的
因为我们前面在定义二次型系统指标的时候
我们只要求Q是半正定的
如果是Q不仅是半正定而且是正定的话
那我们讲这个时候闭环系统一定是大范围渐进稳定的
如果Q是半正定的 不是完全正定的
但是A和Q的1/2次方 这个矩阵对是完全能观的
这个时候闭环系统一定也是大范围渐进稳定的
所以说我们的结论是 如果Q是正定或者Q为半正定
但是A和Q的1/2次方 这个矩阵对完全能观的
这两个条件只要满足其一
这个最优调节系统
它所对应的闭环系统一定是大范围渐进稳定的
好我们来证明一下
如果这两个条件满足
我们首先 这个代数Riccati方程
它是存在唯一的正定解
这个如何证明 大家可以参考教材
我们这里直接给出结论
如果这个矩阵解P是正定的话
那我们就可以由这个P构造这样一个正定的李雅普诺夫函数
李雅普诺夫函数V(x)=x^T Px
首先由于这个P是正定的
它显然当x的模趋近无穷大的时候
V(x)的值也是趋近无穷大的
所以说我们只需要证明李雅普诺夫函数
它是有局部的渐进稳定性的
那加上这个条件 系统一定是大范围渐进稳定
那我们下面从这个李雅普诺夫函数出发
我们可以证明这个系统一定是局部渐进稳定
首先我们通过Riccati方程来分析一下
V(s)这个函数沿着最优轨线对时间的导数
也就是说V时间求导的时候
我们知道 由于它是一个二次型函数
它可以分成这两项
V ?(x)=x ?^T Px+x^T Px ?
因为这时候P是常数矩阵 所以这里面包含两项
我们把x所满足的闭环系统的微分方程代进去
就得到这个样子
大家可以看到
把这两项合起来就变成了关于s的二次型函数
这二次型函数里面对应的矩阵
标红色字体的这部分和我们Riccati对照一下
可以看到这部分刚好等于Q
所以最后我们就可以整理得到
V沿着最优轨线对时间的导数
就等于-x^T (Q+PBR^(-1) B^T P)x
显然因为这两个矩阵都是半正定的
所以我只要Q是正定的
这两个矩阵加起来就一定是正定的
所以这个时候我这个V’
因为前面有一个负号 V’肯定是负定的
所以我们第一个条件 我们就很容易证明
只要Q就是正定的 V’肯定是负定的
这时候系统一定是在原点渐进稳定的
再加上我们刚才所分析的
这个系统一定是大范围渐进稳定的
那我们看另外一个
如果Q是半正定的时候
这时候一般来讲V’是半负定的
这时候我们没有办法去下结论说
这个系统是不是在原点是渐进稳定的
我们还需要证明什么呢
我需要证明V’在最优轨线上是不恒为0的
根据李雅普诺夫稳定性定理 我们知道
这个时候当V'是半负定的时候
我只需要证明不存在任何一个轨线
从任何一个非零x初值出发的轨线上
V’可以是半负定的
但它只要不恒为零
那这个系统一定渐进稳定的
所以我只要证明这个结论就可以了
这个结论我们用反证法来证明
假如说我们可以找到这样一个初值
X(t)所满足的这样一个初值
从它开始的轨线对应的V’是恒等于零的
这时候我们必然可以推出来
从V’上面这个表达式可以推出来
我们知道 这个二次型函数矩阵包含Q
和PBR^(-1) B^T P 这两个矩阵的和
而这两个矩阵都是半正定矩阵
所以说如果V’恒等于零的
那么这两个矩阵它所对应的二次型也相应的都恒为0
也就是说这个时候在这个最优轨线x(t)上面
x^T Qx一定是恒为零的
这恒等于0意味着什么呢
我们可以把Q拆开 拆成Q的1/2方
然后这个又变成了Q的1/2乘以x的转置
再乘以Q的1/2乘以x 它是恒等于0的
这个恒等于0意味着什么呢
如果我把Q的1/2乘以x 把它定义为某个输出y(t)的话
这个y(t)在这个轨线上应该是恒等于0的
这是第一项
第二项它所对应的二次型x^T*PBR^(-1)*B^T*P*x
这个二次型也应该是恒等于0
这意味着什么呢
我们在这个二次矩阵插入一个单位阵
就在这个R逆的左边或者右边
比如说R逆的左边 插入一个R逆乘以R
这是一个单位阵
这样的话我们就可以把这个 再做一下组合
R右边R^(-1)*B^(T)Px 把它看成一项
左边x^T*PBR^(-1)看成一项
我们知道这一项是什么呢
正好就是我们在这个反馈控制律下面
反馈输入的信号
u(t)=R^(-1)*B^(T)Px
所以我们就可以把这两个红色字体用u代替
所以呢我们也就推出来 这时候u(t)是恒等于0的
因为我这一项要恒为0
而且为什么呢 因为这个R是一个正定矩阵
所以这个恒等于0 那么u(t)一定是恒等于0
那么这两个等于0的条件
一个u(t)恒等于0 一个y(t)恒等于0
那这两个恒等于0条件说明什么呢
说明当输入为零的时候
我能够找到这样一个非0的x初值x(0)
使得从这个初值出发的轨线下面 输出是恒为0的
这说明什么呢
这说明这个时候对应的A Q的1/2方的矩阵对
是不完全能观的
因为我们根据完全能观性定义
如果这个系统能观的话
从任何非零初值出发的轨线下面
对应的输出函数应该是不恒为0的
这里我能找到一个反例
所以这个矩阵对是不完全能观的
这个就和我们的题设是矛盾的
所以我只要A Q的1/2是完全能观的
而且Q是半正定的
那这个时候 V(t)沿着最优轨线对时间的导数
它肯定是不恒为0的
这样我们就证明了 系统在原点是局部渐进稳定的
但x的模趋近无穷 V(x)趋近无穷这个条件
这个系统一定是大范围渐进稳定的
所以就可以证明 在这样一个反馈控制律下面
只要Q是正定或者Q为半正定
但是A和Q的1/2次方 这个矩阵对完全能观的
这个最优控制作用下面
闭环系统一定是大范围渐进稳定的
这节课就到这里
-线性系统理论的一个有趣应用
--视频
--动画文件
--课件
-系统的概念
--视频
--课件
-系统的概念--作业
-动态系统的分类
--视频
--课件
-动态系统的分类--作业
-因果系统的状态
--视频
--课件
-线性系统和非线性系统
--视频
--课件（1）
--课件（2）
-线性系统和非线性系统--作业
-定常系统和时变系统
--视频
--课件
-非线性系统的线性化
--视频
--课件
-非线性系统的线性化--作业
-时变系统的定常化
--视频
--课件
-时变系统的定常化--作业
-LST1-1-1 状态、状态空间及系统的状态空间描述（一）
--视频
--课件
-LST1-1-1 状态、状态空间及系统的状态空间描述（一）--作业
-LST1-1-2 状态、状态空间及系统的状态空间描述（二）
--视频
--课件
-LST1-1-2 状态、状态空间及系统的状态空间描述（二）--作业
-LST1-1-3 状态、状态空间及系统的状态空间描述（三）
--视频
--课件
-LST1-1-3 状态、状态空间及系统的状态空间描述（三）--作业
-LST1-2-1 由输出输入描述导出状态空间描述（一）
--视频
--课件
-LST1-2-1 由输出输入描述导出状态空间描述（一）--作业
-LST1-2-2 由输出输入描述导出状态空间描述（二）
--视频
--课件
-LST1-2-3 由输出输入描述导出状态空间描述（三）
--视频
--课件
-LST1-3-1 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（一）
--视频
--课件
-LST1-3-2 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（二）
--视频
--课件
-LST1-3-2 由方框图输入输出描述写出状态空间表达式（二）--作业
-LST1-4-1 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（一）
--视频
--课件
-LST1-4-2 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（二）
--视频
--课件
-LST1-4-2 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（二）--作业
-LST1-4-3 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（三）
--视频
--课件
-LST1-4-3 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（三）--作业
-LST1-4-4 由系统状态空间描述导出传递函数矩阵（四）
--视频
--课件
-LST1-5-1 线性定常系统的特征结构
--视频
--课件
-LST 1-6-1 线性定常系统的坐标变换及其特征（一）
--视频
--课件
-LST 1-6-1 线性定常系统的坐标变换及其特征（一）--作业
-LST1-6-2 线性定常系统的坐标变换及其特征（二）
--视频
--课件
-LST1-6-2 线性定常系统的坐标变换及其特征（二）--作业
-LST1-6-3 线性定常系统的坐标变换及其特征（三）
--视频
--课件
-LST1-6-3 线性定常系统的坐标变换及其特征（三）--作业
-LST1-6-4 线性定常系统的坐标变换及其特征（四）
--视频
--课件
-LST1-6-4 线性定常系统的坐标变换及其特征（四）--作业
-LST1-6-5 线性定常系统的坐标变换及其特征（五）
--视频
--课件
-LST2-1-1 线性连续定常系统状态方程的解
--视频
--课件
-LST2-1-1 线性连续定常系统状态方程的解--作业
-LST2-2-1 状态转移矩阵及其属性和算法（一）
--视频
--课件
-LST2-2-1 状态转移矩阵及其属性和算法（一）--作业
-LST2-2-2 状态转移矩阵及其属性和算法（二）
--视频
--课件
-LST2-3-1 脉冲响应矩阵
--视频
--课件
-LST2-4-1 系统的模态
--视频
--课件
-LST2-5-1 系统的外部稳定性
--视频
--课件
-LST2-6-1 线性定常系统的内部稳定性判据
--视频
--课件
-LST3-1-1 能控性与能观测性的定义（一）
--视频
--课件
-LST3-1-1 能控性与能观测性的定义（一）--作业
-LST3-1-2 能控性与能观测性的定义（二）
--视频
--课件
-LST3-1-2 能控性与能观测性的定义（二）--作业
-LST3-1-3 能控性与能观测性的定义（三）
--视频
--课件
-LST3-1-3 能控性与能观测性的定义（三）--作业
- LST3-1-4 能控性与能观测性的定义（四）
--视频
--课件
- LST3-1-4 能控性与能观测性的定义（四）--作业
- LST3-1-5 能控性与能观测性的定义（五）
--视频
--课件
- LST3-1-6 能控性与能观测性的定义（六）
--视频
--课件
- LST3-1-6 能控性与能观测性的定义（六）--作业
- LST3-2-1 能控性与能观测性的判据（一）
--视频
--课件
- LST3-2-2 能控性与能观测性的判据（二）
--视频
--课件
-LST3-2-3 能控性与能观测性的判据（三）
--视频
--课件
-LST3-2-4 能控性与能观测性的判据（四）
--视频
--课件
-LST3-2-5 能控性与能观测性的判据（五）
--视频
--课件
- LST3-2-6 能控性与能观测性的判据（六）
--视频
--课件
- LST3-2-6 能控性与能观测性的判据（六）--作业
-LST3-2-7 能控性与能观测性的判据（七）
--视频
--课件
-LST3-2-8 能控性与能观测性的判据（八）
--视频
--课件
-LST3-3-1 能控性能观性指数
--视频
--课件
-LST3-3-1 能控性能观性指数--作业
-LST3-4-1 对偶性原理（一）
--视频
--课件
-LST3-4-1 对偶性原理（一）--作业
-LST3-4-2 对偶性原理（二）
--视频
--课件
-LST3-4-2 对偶性原理（二）--作业
-LST3-5-1 系统结构的规范分解（一）
--视频
--课件
-LST3-5-1 系统结构的规范分解（一）--作业
-LST3-5-2 系统结构的规范分解（二）
--视频
--课件
-LST3-5-3 系统结构的规范分解（三）
--视频
--课件
-LST3-5-4 系统结构的规范分解（四）
--视频
--课件
-LST3-5-4 系统结构的规范分解（四）--作业
-LST3-6-1 能控标准型和能观标准型（一）
--视频
--课件
-LST3-6-2 能控标准型和能观标准型（二）
--视频
--课件
-LST3-7-1 传递函数矩阵的实现问题（一）
--视频
--课件
-LST3-7-1 传递函数矩阵的实现问题（一）--作业
-LST3-7-2 传递函数矩阵的实现问题（二）
--视频
--课件
-LST3-7-3 传递函数矩阵的实现问题（三）
--视频
--课件
-LST3-7-4 传递函数矩阵的实现问题（四）
--视频
--课件
-LST4-0 绪论
--视频
--课件
-LST4-0 绪论--作业
-LST4-1-1 状态反馈与输出反馈（一）
--视频
--课件
-LST4-1-1 状态反馈与输出反馈（一）--作业
-LST4-1-2 状态反馈与输出反馈（二）
--视频
--课件
-LST4-1-2 状态反馈与输出反馈（二）--作业
-LST4-1-3 状态反馈与输出反馈（三）
--视频
--课件
-LST4-1-3 状态反馈与输出反馈（三）--作业
-LST4-2-1 极点配置（一）
--视频
--课件
-LST4-2-1 极点配置（一）--作业
-LST4-2-2 极点配置（二）
--视频
--课件
-LST4-2-2 极点配置（二）--作业
-LST4-2-3 极点配置（三）
--视频
--课件
-LST4-2-4 极点配置（四）
--视频
--课件
-LST4-2-5 极点配置（五）
--视频
--课件
-LST4-2-5 极点配置（五）--作业
-LST4-2-6 极点配置（六）
--视频
--课件
-LST4-2-6 极点配置（六）--作业
-LST4-3-1 状态反馈镇定
--视频
--课件
-LST4-4-1 状态反馈解耦（一）
--视频
--课件
-LST4-4-1 状态反馈解耦（一）--作业
-LST4-4-2 状态反馈解耦（二）
--视频
--课件
-LST4-4-2 状态反馈解耦（二）--作业
-LST4-4-3 状态反馈解耦（三）
--视频
--课件
-LST4-4-3 状态反馈解耦（三）--作业
-LST4-5-1 状态观测器（一）
--视频
--课件
-LST4-5-1 状态观测器（一）--作业
-LST4-5-2 状态观测器（二）
--视频
--课件
-LST4-6-1 分离性原理（一）
--视频
--课件
-LST4-6-1 分离性原理（一）--作业
-LST4-6-2 分离性原理（二）
--视频
--课件
-LST4-6-3 分离性原理（三）
--视频
--课件
-LST4-7-1 跟踪控制和扰动抑制（一）
--视频
--课件
-LST4-7-1 跟踪控制和扰动抑制（一）--作业
-LST4-7-2 跟踪控制和扰动抑制（二）
--视频
--课件
-LST4-7-2 跟踪控制和扰动抑制（二）--作业
- LST4-7-3 跟踪控制和扰动抑制（三）
--视频
--课件
- LST4-7-3 跟踪控制和扰动抑制（三）--作业
-LST4-7-4 跟踪控制和扰动抑制（四）
--视频
--课件
-LST4-7-4 跟踪控制和扰动抑制（四）--作业
-LST4-8-1 线性二次型最优控制（一）
--视频
--课件
-LST4-8-1 线性二次型最优控制（一）--作业
-LST4-8-2 线性二次型最优控制（二）
--视频
--课件
-LST4-8-3 线性二次型最优控制（三）
--视频
--课件
- LST4-8-4 线性二次型最优控制（四）
--视频
--课件
-LST5-0 复频域理论概论
--视频
--课件
-LST5-1-1 传递函数阵及其MFD
--视频
--课件
-LST5-1-1 传递函数阵及其MFD--作业
-LST5-2-1 MFD的真性及其判别准则
--视频
--课件
-LST5-2-2 由非真MFD导出严格真MFD
--视频
--课件
-LST5-3-1 不可简约MFD（一）
--视频
--课件
-LST5-3-1 不可简约MFD（一）--作业
-LST5-3-2 不可简约MFD（二）
--视频
--课件
-LST6-1-1 Smith-McMillan形
--视频
--课件
-LST6-1-1 Smith-McMillan形--作业
-LST6-2-1 多变量系统的极点零点定义和属性
--视频
--课件
-LST6-2-1 多变量系统的极点零点定义和属性--作业
-LST6-2-2 结构指数，无穷远处的极点和零点（一）
--视频
--课件
-LST6-2-3 结构指数，无穷远处的极点和零点（二）
--视频
--课件
-LST6-2-3 结构指数，无穷远处的极点和零点（二）--作业
-LST6-2-4 传递函数阵在极点零点上的评价值
--视频
--课件
-LST6-3-1 零空间
--视频
--课件
-LST6-3-2 最小多项式基和Kronecker指数
--视频
--课件
-LST6-3-2 最小多项式基和Kronecker指数--作业
-LST6-3-3 传递函数阵的亏数
--视频
--课件
-LST7-1-1 多项式矩阵描述
--视频
--课件
-LST7-1-2 不可简约的多项式矩阵描述
--视频
--课件
-LST7-1-2 不可简约的多项式矩阵描述--作业
-LST7-2-1 解耦零点
--视频
--课件
-LST7-2-1 解耦零点--作业
-LST7-3-1 系统矩阵
--视频
--课件
- LST7-4-1 严格系统等价（一）
--视频
--课件
- LST7-4-1 严格系统等价（一）--作业
-LST7-4-2 严格系统等价（二）
--视频
--课件
-LST7-4-2 严格系统等价（二）--作业
-LST8-1-1 具有补偿器的输出反馈（一）
--视频
--课件
-LST8-1-2 具有补偿器的输出反馈（二）
--视频
--课件
-LST8-1-3 具有补偿器的输出反馈（三）
--视频
--课件
- LST8-1-4 具有补偿器的输出反馈（四）
--视频
--课件
-LST8-2-1 输出反馈动态解耦控制（一）
--视频
--课件
-LST8-2-2 输出反馈动态解耦控制（二）
--视频
--课件
